1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Важно, однако, что в третьем приближении появятся новые поправки третьего порядка по a и их надоучесть. Действительно, при подстановке второго приближения в квадра(2)тичный член уравнения появятся члены, пропорциональные a0 a cos ωt(2)и a2 a cos 2ωt cos ωt, порядка a3 , учет которых изменит равенства (4), (6)и приведет к еще одной поправке в частоте2 2δω (3) = − 5α a312ω0§ 29. Нелинейные колебания. Ангармонические поправки121и добавке к амплитуде третьей гармоники2 3(3)a3 = α a 4 .48ω0Легко убедиться, что еще одна итерация не поменяет поправок второгои третьего порядков по a.
Окончательно имеем с учетом всех поправоквторого и третьего порядков по a:232βαaaαx(t) = a cos ωt −cos 3ωt,(3 − cos 2ωt) ++26ω0216ω02 3ω02δω =23β− 5α 38ω012ω0a2 .(29.8)Уточним теперь условия применимости полученных формул. Из требования малости амплитуд гармоник по сравнению с a и малости поправкик частоте по сравнению с ω0 получим, что должны выполняться неравенства2αa 1, βa 1.(29.9)ω02ω0229.2. Многомерные нелинейные колебания.Комбинационные частотыИтак, в одномерном случае в первом (линейном) приближении мы получили гармонические колебания на основной частоте, а при учете нелинейности (во втором приближении) — смещение равновесия и колебания на удвоеннойчастоте.
При проведении подобной программы для многомерных колебаний в первом приближении мы также получим колебания, отвечающие первым гармоникам с частотами ω1 , . . . , ωα , . . . , ωβ , . . . , ωs . Однако уже во втором приближении возникнут принципиально новые явления — ко- Рис. 50. Малебания с так называемыми комбинационными частотами ятник на пру|ωα ± ωβ |.жинкеДля иллюстрации того, как возникают нелинейные поправки в многомерном случае и к каким результатам они приводят, рассмотрим простой пример маятника массы m на пружинке жесткости k в поле тяжести g (рис. 50).
Мы будем рассматривать лишь колебания этого маятникаГлава III. КОЛЕБАНИЯ122в вертикальной плоскости и примем, что длина ненапряженной пружинкиравна l0 . В положении равновесия длина пружинки равна l = l0 + (mg/k).В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты x и yотклонения маятника от положения равновесия. Функцию Лагранжа маятника2(l − y)2 + x2 − l0 − mgyL = m ẋ2 + ẏ 2 − k22разложим в ряд по малым отклонениям до третьего порядка включительно:L = m (ẋ2 − ωx2 x2 + ẏ 2 − ωy2 y 2 + 2αx2 y),2где введены обозначенияg,ωx =lωy =km,α=(29.10)kl0.2ml2Решение уравнений движенияẍ + ωx2 x = 2αxy,ÿ + ωy2 y = αx2ищем методом последовательных приближенийx = x(1) + x(2) + .
. . ,y = y (1) + y (2) + . . . .В качестве первого приближения получаем гармонические колебания с частотами ωx и ωy :x(1) = a cos (ωx t + ϕx ),y (1) = b cos (ωy t + ϕy ).(29.11)Во втором порядке получаем из первого уравненияẍ(2) + ωx2 x(2) = 2α x(1) y (1) = α ab [cos (ω+ t + ϕ+ ) + cos (ω− t + ϕ− )] ,гдеω± = ωy ± ωx ,ϕ± = ϕy ± ϕx .Решение этого уравнения представляет собой гармонические колебанияс комбинационными частотами ω± :x(2) =+α abcos (ω+ t + ϕ+ ) +2ωy (2ωx + ωy )α abcos (ω− t + ϕ− ).2ωy (2ωx − ωy )(29.12)§ 30.
Нелинейные резонансы123Подобным же образом из второго уравнения получаем2α a2cos (2ωx t + 2ϕx ),y (2) = α a2 −2ωy2(4ωx2 − ωy2 )(29.13)т. е. у координаты y во втором порядке появился постоянный сдвиг и колебание с удвоенной частотой 2ωx .Полученные решения справедливы, пока частота ωy не близка к 2ωx .При ωy = 2ωx ангармонические поправки перестают быть малыми и могутприводить к значительной перекачке энергии из x в y колебания и обратно.Этот случай, имеющий отношение к связи продольных и изгибных колебаний молекулы CO2 (так называемый резонанс Ферми) и к удвоению частотысвета в нелинейной оптике, рассмотрен, например, в [3, задача 8.10].§ 30. Нелинейные резонансыЗадача об отклике гармонического осциллятора на периодическоевнешнее воздействие решается точно и приводит к представлению о резонансе как резком возрастании амплитуды вынужденных колебаний причастоте внешней силы близкой к частоте собственных колебаний осциллятора.
Как мы уже знаем, учет нелинейной зависимости возвращающейсилы от отклонения от положения равновесия приводит к двум качественно новым эффектам, проявляющимся уже в собственных колебаниях нелинейного осциллятора: появлению высших гармоник и нелинейному сдвигучастоты. Учет нелинейности уравнений движения изменяет и явление резонанса. Выясним, в чем состоят эти изменения.Эта задача точно не решается, и мы будем искать приближенное решение методом последовательных приближений, как и в § 29. Добавим в уравнение для нелинейного осциллятора (29.1) внешнюю периодическую силуf (t) = f cos γt и слабое трение fтр = −2mλẋ:fẍ + ω02 x = m cos γt − αx2 − βx3 − 2λẋ.(30.1)Зная, что в линейном осцилляторе установившееся решение имеет частотувнешней силы, но сдвинутую фазу: x = b cos(γt + δ), будем искать решениедля ангармонических вынужденных колебаний в видеx = b0 + b cos(γt + δ) + b2 cos 2(γt + δ) + b3 cos 3(γt + δ) + .
. . .(30.2)Глава III. КОЛЕБАНИЯ124Как и при изучении свободных колебаний нелинейного осциллятора безтрения, следует подставить решение в виде ряда (2) в уравнение (1) и выполнить две итерации последовательных приближений. В задаче о свободных колебаниях нелинейного осциллятора амплитуда a была заданаи мы вычисляли амплитуды гармоник и сдвиг частоты колебаний. В задаче о вынужденных колебаниях заданы частота γ и амплитуда f внешнейсилы, а требуется определить амплитуду b основной гармоники (амплитудыостальных гармоник могут быть найдены способом, повторяющим использованный ранее, и даются теми же формулами, что и ранее с заменой ω0на γ).
Амплитуда основной гармоники b и сдвиг фазы δ находятся из уравнения, которое получается при приравнивании вкладов, соответствующихколебаниям на основной частоте 2f−γ + ω 2 b cos(γt + δ) − 2λγb sin(γt + δ) = m cos γt,(30.3)где ω = ω0 + δω и δω — нелинейный сдвиг частоты собственных колебаний(29.8), пропорциональный квадрату амплитуды. Далее будем писатьω = ω0 + κb2 ,κ=23β− 5α 3 .8ω012ω0(30.4)Подставивcos γt = cos(γt + δ − δ) = cos (γt + δ) cos δ + sin (γt + δ) sin δв правую часть уравнения (3) и приравняв коэффициенты при cos(γt + δ)и sin(γt + δ) в правой и левой частях полученного уравнения, находимf(ω 2 − γ 2 ) b = m cos δ,f−2λγb = m sin δ.Отсюда можно найти b и δ.
Уравнение для определения b отличается отсоответствующего уравнения (22.4) в линейном случае лишь заменойω02 → ω 2 = (ω0 + κb2 )2 ≈ ω02 + 2κω0 b2(30.5)и представляет собой уравнение третьей степени по b2 :b22f2ω02 + 2κω0 b2 − γ 2 + 4λ2 γ 2 = 2 .m(30.6)§ 30. Нелинейные резонансы125Рис. 51. Зависимость амплитуды линейных (тонкие кривые) и нелинейных (жирныекривые) колебаний b от частоты вынуждающей силы γ для различных значенийкоэффициента затухания λПоложение максимума кривой b(γ) и его величина формально определяются соотношениями (22.5) и (22.6) с заменой (5).
Поэтому при положительном κ можно ожидать, что по сравнению с линейным случаемположение максимума нелинейного резонанса сместится направо, а его величина уменьшится (при отрицательном κ положение максимума нелинейного резонанса сместится налево, а его величина увеличится). Зависимостьb(γ) для разных значений λ при фиксированном положительном значенииκ изображена на рис. 51 жирными линиями.
Для сравнения тонкие линииизображают кривые для тех же значений λ при κ = 0. Видно, что с уменьшением λ не только происходит смещение максимума кривых, но появляются перегибы и возникает область значений γ, в которой данной частотевнешней силы отвечает три разных значения амплитуды b(γ). Рассмотримподробнее окрестность резонанса в случае слабого трения λ ω0 . Обозначая расстройку частоты = γ − ω0и используя приближенные соотношения (22.8), получаемb2 [( − κb2 )2 + λ2 ] =f2.4m2 ω02(30.7)Это уравнение является кубическим относительно b2 , а относительно —квадратным. При каждом b < bmax ≈ f /(2mω0 λ) имеется два значения :2f2− λ2 .(30.8) = κb ±2mω0 b126Глава III.
КОЛЕБАНИЯВ отсутствие нелинейности (κ = 0) резонансная кривая совпадает с полученной в линейном случае (рис. 52, а). Легко представить, как она деформируется с ростом κ при постоянной амплитуде силы f . Будем считатьκ > 0. Максимальная амплитуда колебаний осталась приблизительно такойРис. 52.
Зависимость амплитуды нелинейных колебаний b от расстройки частотывынуждающей силы = γ −ω0 для различных значений параметра нелинейности κже, как и в линейном случае. По сравнению с линейным случаем каждая пара точек, соответствующая заданной амплитуде b, смещена вправо по оси на κb2 (рис. 52, б), при этом наибольшее смещение испытывает точка,соответствующая bmax . Поэтому с ростом κ на правой ветви резонанснойкривой b() касательная станет вертикальной в некоторой точке. Одновременно это будет точка перегиба. Качественно новым резонанс становитсяпри еще больших κ.
Теперь имеется интервал значений 1 < < 2 , внутри которого заданному значению соответствует три значения амплитудыколебаний (рис. 52, в). Найдем критическое значение κк , при котором про-§ 30. Нелинейные резонансы127исходит переход к этой качественно новой зависимости. Приравнивая нулюпервую и вторую производные функции (b2 ) из уравнения (8) по b2 , найдем, что касательнаябудет вертикальной в точке перегиба с координатой√b2 = 2λ/( 3κ) при условииm2 ω02 λ3κ = κк ≡ 32.√f23 3(30.9)(Заметим, что при отрицательном κ максимум резонанса сдвигается влевои «опрокидывание» резонансной кривой происходит при κ < −κк .) Если рассматривать изменение резонансной кривой b() с ростом амплитудывнешней силы f при постоянном значении κ, то «опрокидывание» резонансной кривой произойдет при())m2 ω02 λ3.(30.10)f > f к = * 32√|κ|3 3Проследим теперь за изменением амплитуды колебаний при медленном (адиабатическом) изменении для резонансной кривой ABCDEF ,изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
