1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В действительности эти утверждения справедливы, пока собственные частоты двух разных подсистем не совпадают. Если же эти частотысовпадают или близки, то влияние даже слабой связи на движение системыоказывается весьма значительным.Рис. 27. Слабо связанные системы: а — связанные маятники; б — нормальные координаты слабо связанных маятников (x = l1 ϕ1 , y = l2 ϕ2 )Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим пример двух математических маятников одинаковой массы m1 = m2 = m, но разной длины l1 и l2 ,связанных пружинкой малой жесткости k (рис. 27, а).
Пусть углы отклонения маятников от вертикали ϕ1 и ϕ2 малы: |ϕ1,2 | 1. В этом случаефункция Лагранжа системы в переменныхx = l1 ϕ1 ,равнаy = l 2 ϕ2 L(x, y, ẋ, ẏ) = m ẋ2 − ωx2 x2 + ẏ 2 − ωy2 y 2 + 2αxy ,2()2)gklgklk,2ωx = * +α= 2.,ωy =+m2l1lml21ml1При α = 0 имеем два независимых маятника с частотами ωx и ωy (мы будемназывать их парциальными частотами). Примем для определенности, чтоl1 l2 , тогда ωx ωy .
На первый взгляд, при α ωx2 связь этих двух маятников является слабой и ее влияние на движение системы незначительно.Прямым расчетом проверим, так ли это.§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот85Легко получить, что переход к нормальным координатамQ1,2 (t) = a1,2 cos (ω1,2 t + χ1,2 )соответствует повороту на угол ψ в плоскости xy (см. рис. 27, б):x = Q1 cos ψ − Q2 sin ψ,tg 2ψ =y = Q1 sin ψ + Q2 cos ψ,2α ,ωy2 − ωx2а собственные частоты равны+21222222ωy − ωx + 4α ,ωx + ωy ∓ω1,2 =2причем ω1 < ωx , а ω2 > ωy . Отсюда видно, что угол поворота ψ мал не приα ωx2 , а при(20.9)α ωy2 − ωx2 .Иными словами, связь является слабой при выполнении условия (9).
Тогдаψ ≈ 0 и нормальные колебания локализованы:x ≈ Q1 ,y ≈ Q2 ,а собственные частоты близки к парциальным:ω1 ≈ ωx ,ω2 ≈ ωy .Если же α ωx2 , но парциальные частоты близки, так что α ωy2 −ωx2 ,то ψ ≈ π/4 и нормальные колебания перестают быть локализованы:x≈Q1 − Q2,√2y≈Q1 + Q2.√2(20.10)В этих условиях могут возникнуть биения, соответствующие значительнойперекачке энергии колебаний от одного маятника к другому. Пусть, например, l1 = l2 = l и в начальный момент возбуждены лишь колебания первогомаятника:y(0) = ẋ(0) = ẏ(0) = 0,(20.11)x(0) = x0 ,тогда нормальные колебанияxQ1 (t) = √0 cos ω1 t,2xQ2 (t) = − √0 cos ω2 t,2Глава III. КОЛЕБАНИЯ86g,ω1 =lа движения маятников имеют видϕ1 (t) =x0cos εt cos ωt,lгдеε = 1 (ω2 − ω1 ) ≈ k22mω2 =g 2k+ m,lϕ2 (t) =x0sin εt sin ωt,l1lg ω = 2 (ω2 + ω1 ) ≈(20.12)g.lИз ответа (12) видно, что через время τ = π/(2ε) окажутся возбужденнымилишь колебания второго маятника, затем через время 2τ система вернетсяв исходное состояние и т.
д.Задачи20.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 28,при которых частицы движутся только вдоль прямой AB. Рассмотреть случаи: а) m1 = m2 ; б) m1 m2 ; в) m1 m2 . Для случая а найти нормальные координаты и выразить через них функцию Лагранжа.Рис. 28. Частицы двигаются вдоль прямой ABРис.
29. Частицы на кольцеРис. 30. Симметричная система20.2. Найти нормальные колебания трех частиц (рис. 29) на первоми втором кольцах2 . Рассмотреть переход M → m.2 Здесь и в дальнейшем предполагается, что кольца гладкие и остаются неподвижными придвижении частиц.§ 21. Вынужденные колебания. Резонансы8720.3. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 30).Найти свободные колебания этой системы, если в начальный момент смещения частиц вдоль кольца x1 (0) = −x2 (0) = a, x3 (0) = 0, а начальныескорости равны нулю. Найти свободные колебания при тех же начальныхусловиях для системы, полученной из описанной при изменении жесткостипружинки, соединяющей частицы 2 и 3, на малую величину δk.§ 21. Вынужденные колебания.
РезонансыПусть на систему, совершающую одномерное колебание, действует(помимо упругой силы fупр = −kx) внешняя сила f (t). Соответствующаядобавка к потенциальной энергии ΔU (x, t) = −x f (t), поэтому лагранжиантакой системы имеет видL(x, ẋ, t) =1(mẋ2 − kx2 ) + xf (t).2Приведем решение соответствующего уравнения движенияẍ + ω 2 x = f (t)/m, ω = k/m,(21.1)(21.2)для произвольной силы f (t) и начальных условий x(0) = x0 , ẋ(0) = v0 :v0x(t) = x0 cos ωt +sin ωt +ωtf (τ )0sin ω(t − τ )dτ.ωm(21.3)Его можно проверить прямой подстановкой. Здесь последнее слагаемое соответствует вынужденным, а первые два — свободным колебаниям.При наличии малого трения первые два слагаемых с течением времени исчезают, а последнее лишь незначительно изменяется.
В дальнейшем,говоря о вынужденных колебаниях, мы подразумеваем именно такие установившиеся колебания. Примеры процессов установления колебаний можнонайти, например, в [3, задача 5.11].Для частного случая гармонической силыf (t) = f cos(γt + ϕ)вынужденные колебания имеют видx = b cos(γt + ϕ),b=f.(ω 2 − γ 2 )m(21.4)Глава III. КОЛЕБАНИЯ88Зависимость амплитуды b от частоты внешней силы γ показана на рис. 31.При γ < ω колебания совершаются в фазе с действующей силой (b/f > 0),а при γ > ω — в противофазе (b/f < 0), причем при γ ω амплитудаколебаний мала (b/f 1/k):b≈−f,mγ 2γ ω.(21.4a)При γ → ω амплитуда b → ∞, наступает резонанс.
Обобщение на случаймногих степеней свободы достаточно простое, поскольку переход к нормальным координатам в данном случае сводит исходную систему к наборуодномерных осцилляторов, совершающих вынужденные колебания.Рис. 31. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний b от частоты вынуждающей силы γПусть добавка к лагранжиану свободных колебаний (19.17) имеет видΔL =xi Fi (t).iВведем вектор силытогдаL(x, ẋ, t) =⎛⎞F1 (t)⎜F2 (t)⎟⎟F(t) = ⎜⎝ ..
⎠ ,.Fs (t)11(ẋ, m̂ ẋ) − (x, k̂ x) + x F(t) ;22(21.1a)m̂ ẍ + k̂ x = F(t).(21.2a)§ 21. Вынужденные колебания. Резонансы89Перейдем в этом лагранжиане от переменных x к нормальным координатам Q с помощью замены (19.25), при этомxF(t) =A(α) F(t) · Qααи исходный лагранжиан перейдет в сумму лагранжианов типа (1):L=sLα =Lα ,α=11(Mα Q̇2α − Kα Q2α ) + Qα fα (t),2(21.5)где Mα и Kα определены в (20.6), а силаfα (t) = A(α) F(t).(21.6)После этого уравнения движения для Qα совпадают с одномерным уравнением (2):f(t)KααQ̈α + ωα2 Qα =, ωα =.(21.2b)MαMαРассмотрим случай гармонической силы F(t) = F cos(γt + ϕ); тогдаFα (t) = fα cos(γt + ϕ),fα = A(α) F,(21.7)и вынужденные колебания нормальных координат имеют видQα = bα cos(γt + ϕ),bα =(ωα2fα.− γ 2 )Mα(21.3a)Перейдя от нормальных координат к исходным, имеемx=sA(α) bα cos(γt + ϕ) =α=1=sα=1A(α)(A(α) , F) cos(γt + ϕ).(ωα2 − γ 2 ) A(α) , m̂ A(α)(21.8)Отметим, что этот ответ не зависит от нормировки векторов A(α) .Сила fα = A(α) F, действующая на α-е нормальное колебание, определяется проекцией вектора силы F на направление данного нормальногоГлава III.
КОЛЕБАНИЯ90колебания. Поэтому если F и A(α) взаимно ортогональны, F A(α) = 0, тосоответствующее слагаемое A(α) bα cos(γt + ϕ) вообще отсутствует в сумме (8).В частности, в этом случае не возникает резонанса при γ → ωα . Еслиже F A(α) = 0, то при γ → ωα возникает резонанс, причем вблизи резонанса всеми слагаемыми в сумме (8), кроме одного, можно пренебречьи x ≈ A(α) bα cos(γt + ϕ).Вопрос. Пусть вектор F параллелен какому-либо нормальному колебанию, например,F = const · A(1) .Ясно, что при γ → ω1 возникает резонанс. Может ли такая сила возбудитьдругие нормальные колебания (т. е. будет ли резонанс при γ → ω2 , γ →→ ω3 , . .
. , γ → ωs )?Для вынужденных колебаний переход к нормальным координатам удобен тем, что сводит многомерную задачу к набору одномерных. В частномслучае гармонической силы можно обойтись и без такого перехода. Ищемрешение уравнений (2а) в видеx = B cos(γt + ϕ).Для определения амплитуды B получаем уравнение(−γ 2 m̂ + k̂)B = F,откудаx = (−γ 2 m̂ + k̂)−1 F cos(γt + ϕ).(21.9)Задача21.1.
Найти установившиеся колебания системы, описанной в задаче 20.1а, если точка A движется по закону a(t) = a cos γt. При какой частоте γ амплитуда вынужденных колебаний первой частицы обратится в нуль?Тот же вопрос для цепочки из трех одинаковых частиц, которая получается, если ко второй частице прикрепить с помощью такой же пружинки ещеодну.§ 22. Колебания при наличии силы тренияВ макроскопических системах всегда есть трение. Оно качественноизменяет как собственные колебания систем, так и резонансный отклик§ 22. Колебания при наличии силы трения91на внешнюю гармоническую силу. Характер сил трения различается прискольжении соприкасающихся твердых тел и при движении твердого телав жидкости или газе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
