1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это кориолисова сила2m[v , Ω],центробежная сила инерцииm[Ω, [r , Ω]]и сила инерцииm [r , Ω̇],обусловленная неравномерностью вращения.В системе отсчета, связанной с Землей, силы инерции проявляютсяв крупном масштабе в отклонении направления ветра (в северном полушарии вправо, в южном — влево), морских течений, течения больших рек.Обратим внимание на задачи 9.22 и 9.25 из [3], в которых переходк вращающейся системе отсчета оказывается естественным.17.3. Теорема ЛармораПереход во вращающуюся систему отсчета оказывается весьма эффективен в следующей задаче. Рассмотрим финитное движение заряженнойГлава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА70частицы в потенциальном поле U (r). Пусть дополнительно имеется однородное постоянное магнитное поле B. Как будет выглядеть движениечастицы в этом случае? Если магнитное поле мало, нетрудно получить достаточно общий результат, известный под названием теоремы Лармора.Запишем функцию Лагранжа рассматриваемой задачи L в инерциальной системе отсчета K:L=1emv2 − U (r) + vA(r),2c(17.10)где e — заряд частицы, а A(r ) — векторный потенциал, который можетбыть выбран в видеA(r) = 1 [B, r].(17.11)2Рассмотрим теперь это же движение в системе отсчета K , которая вращается с постоянной угловой скоростью Ω по отношение к системе K. Соотношение между радиус-векторами r и r и скоростями v и v в системахотсчета K и K дается формулами (3).
Подставив эти выражения в (10), мыполучим лагранжиан нашей задачи L в системе отсчета K :L =1e2m (v + [Ω, r ]) − U (r ) +(v + [Ω, r ]) · [B, r ].22cЕго можно представить в видеL = L0 + δL ,δL = mv [Ω, r ] +L0 =1m(v )2 − U (r ),2(17.12)e 1ev [B, r ] + m[Ω, r ]2 + [Ω, r ] · [B, r ].2c22cЕсли выбрать для Ω значение (называемое ларморовской частотой)ΩL = −eB,2mc(17.13)то величины первого порядка по полю B точно сократятся и δL окажетсявеличиной второго порядка:δL = −e22[B, r ] .28mc(17.14)§ 18. Эффективная функция Лагранжа для электромеханических систем71Отсюда видно, что если магнитное поле является достаточно малым, тослагаемое δL мало (при финитном движении частицы!) и им можно пренебречь.
Таким образом, движение частицы в системе отсчета K определяется только потенциальным полем U (r ).В качестве примера рассмотрим движение заряженной частицы в кулоновском поле U (r) = −α/r и малом однородном и постоянном магнитномполе B при энергии E < 0. При переходе к системе отсчета K орбитачастицы представляет собой обычный эллипс. А все влияние слабого магнитного поля в исходной системе отсчета K сводится к прецессии этогоэллипса вокруг направления поля B с ларморовской частотой (13).
Приэтом и момент импульса частицы также прецессирует вокруг направлениямагнитного поля.§ 18. Эффективная функция Лагранжадля электромеханических системУменьшение числа рассматриваемых координат с сохранением лагранжевой формы уравнений возможно не только за счет идеальных голономных связей. Приведем другой, менее очевидный пример. Движение столбика жидкости в вертикальной U -образной трубке (рис. 23) можно исследовать, основываясь на функции ЛагранжаL=1mgx2mẋ2 −,2l(18.1)где m — масса, l — длина столба жидкости, x — высота уровня в одномколене, отсчитанная от положения равновесия. При этом мы отвлекаемсяот возможности отклонения формы поверхности жидкости от плоской, оттрения и т.
д.Еще пример. Рассмотрим малые колебания грузика массы M , подвешенного на пружинке жесткости k и массы m в поле тяжести. Если пренебречьмассой пружинки,то частота малых колебаний грузика ω0 = k/M . Считая пружинку однородной, найдем поправку к частоте колебаний, обусловленнуюучетом малой массы пружинки, m M . Пружинка представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Однако в интересующем нас Рис.
23. Трубка с жиддвижении она испытывает только такие растяжения костьюГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА72и сжатия, которые могут быть описаны заданием всего одной величины —длины пружинки. Для изучения такого движения достаточно ограничитьсяв функции Лагранжа одной степенью свободы. Выбрав в качестве координаты отклонение x грузика от положения равновесия, добавим к «обычной»функции ЛагранжаL0 = 1 M ẋ2 − kx22кинетическую энергию пружиныρT =2lv 2 (ξ)dξ.0Здесь ρ = m/l — линейная плотность пружинки, l(t) — ее длина, v(ξ) == ẋξ/l — скорость точки пружинки, находящейся в данный момент на расстоянии ξ от точки подвеса, так что T = mẋ2 /6.
Таким образом, в функцииЛагранжа к массе грузика добавляется треть массы пружинки, и частотаколебаний оказывается равной kk 1− m .ω=≈(18.2)M6MM + (m/3)В этих простых примерах мы не доказывали, что движения описываются небольшим числом координат, а принимали это «из физических соображений». В сущности, так же поступаем мы и в более сложных случаях,принимая, например, что связи являются идеальными.
Здесь будет, пожалуй, уместно напомнить, что все рассматриваемые в классической механике объекты (например, материальная точка, твердое тело, идеальные связии т. п.) представляют собой результат идеализации, а результаты расчетовявляются приближенными.Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящуюиз конденсатора емкости C и соленоида индуктивности L (рис. 24). Пусть q(t) — заряд на верхней пластинеконденсатора, тогда ток в соленоиде есть q̇.
Пренебрегаяпотерями на сопротивление и излучение, получаем в качестве уравнений Кирхгофа уравнение колебаний контуРис. 24. Колеба- ра (в системе единиц СИ):тельный контурLq̈ +q= 0.C(18.3)§ 18. Эффективная функция Лагранжа для электромеханических систем73Легко видеть, что это уравнение можно получить как уравнение Лагранжаиз лагранжиана1q2L(q, q̇) = Lq̇ 2 −(18.4)22Cс обобщенной координатой q, равной заряду на пластине конденсатора.Роль кинетической энергии играет энергия магнитного поля в соленоиде,а роль потенциальной — энергия электрического поля в конденсаторе.
Отметим, что из лагранжиана (4) получается правильное значение энергиисистемы1q2.(18.5)E = Lq̇ 2 +22CРассматриваемые в этом параграфе электромагнитные поля образуютнепрерывную систему. Они описываются уравнениями Максвелла. Последние также могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа (длянепрерывной среды). Переходя к цепям с сосредоточенными параметрами, мы фактически задаем электрическое поле в конденсаторе всего одной обобщенной координатой — зарядом конденсатора q, а магнитное поле в соленоиде — током q̇.
При этом мы отвлекаемся от возможности«возбуждения» других степеней свободы электромагнитного поля (скажем,электромагнитных волн). Переход от лагранжиана электромагнитного поля к лагранжиану вида (4) демонстрируется, например, в [3, задача 4.22].Такое описание непрерывной системы с использованием небольшого числа«существенных» обобщенных координат аналогично описанию движениястолбика жидкости в системе рис. 23.Замечательно, что таким подходом могут бытьохвачены и системы, для движения которых существенны как механические, так и электродинамические степени свободы.В качестве примера рассмотрим системурис. 25, состоящую из колебательного LC-контураи груза — подвешенного на пружинке сердечникасоленоида, причем индуктивность соленоида зависит от смещения груза.
Функция Лагранжа этойэлектромеханической системы с двумя степенямисвободыРис. 25. Электромеха22L(x)q̇ 2q2L(x, q, ẋ, q̇) = mẋ +−− kx (18.6)2222Cническая система74Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАприводит к уравнениям движения, связывающим заряд конденсатора qи смещение сердечника соленоида x (смещение сердечника отсчитываетсяот его положения равновесия в отсутствие тока). Другие примеры электромеханических систем см. в [3, задачи 4.23, 4.24].ГЛАВА IIIКОЛЕБАНИЯ§ 19.
Линейные колебанияПрактически невозможно указать область физики, в которой не приходилось бы сталкиваться с линейными колебаниями. На примере одномерной системы напомним основные определения и введем обозначения.19.1. Одна степень свободыПусть лагранжиан системы с одной степенью свободы естьL(q, q̇) = T (q, q̇) − U (q),T (q, q̇) =1a(q) q̇ 2 0.2(19.1)Если q0 есть точка минимума потенциальной энергии, то разложение U (q)в ряд по малому отклонению x = q − q0 начинается с положительногоквадратичного слагаемого1 2dU d2 U (19.2)U (q) = U (q0 ) + kx , = 0, =k>02dq dq 2 q0q0(случай k = 0 соответствует нелинейным колебаниям).
Разложим функциюa(q) вблизи q0 :(19.3)a(q) = m + O(x), m = a(q0 ).В итоге, ограничиваясь членами второго порядка по x и ẋ = q̇, получаем(отбрасывая константу U (q0 ))L(x, ẋ) =Уравнение Лагранжа11mẋ2 − kx2 .22mẍ + kx = 0(19.4)(19.5)Глава III. КОЛЕБАНИЯ76подстановкойx = A cos(ωt + ϕ)(19.6)приводится к алгебраическому уравнению−mω 2 + k = 0,откуда(19.7)k.(19.8)mВеличина A называется амплитудой, ωt+ϕ — фазой, ϕ — начальной фазой,а ω — (круговой) частотой колебаний. Период колебанийω=T = 2πω.(19.9)Из положительности m и k вытекает положительность ω 2 = k/m.
Конечно, переход от исходной механической системы (1) к линеаризованной (4)справедлив лишь при достаточно малых x (или A).19.2. Колебания систем со многими степенями свободыРассмотрим теперь случай нескольких степеней свободы:L = T − U (q1 , q2 , . . . , qs ),T =s1aij (q)q̇i q̇j 0.2 ij=1(19.10)Так как произведение q̇i q̇j симметрично относительно замены i ↔ j, томатрицу aij (q) всегда можно выбрать симметричной:aij (q) = aji (q).(19.11)Пусть qi0 (i = 1, 2, .
. . , s) — точка минимума потенциальной энергии, тогдаразложение потенциальной энергии в ряд по малым отклонениям xi = qi −− qi0 начинается с квадратичных слагаемых∂ 2 U 1kij xi xj + const, kij =(19.12)U (q) = = kji .2∂qi ∂qj ijql0Поскольку при xi = 0 потенциальная энергия минимальна, квадратичнаяформа (12) является положительно определенной:kij xi xj 0.(19.13)ij§ 19. Линейные колебания77Разложим функцию aij (q) вблизи qi0 :aij (q) = mij + O(xk );mij = aij (qk0 ) = mji .(19.14)Из положительности кинетической энергии следует, что квадратичнаяформаmij ẋi ẋj 0(19.15)ijтакже является положительно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
