1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , s.(9.10)Отметим, наконец, что уравнения Лагранжа сохраняют свой вид, если умножить функцию Лагранжа на постоянный множитель. Взяв в качестве функции Лагранжа не L = T − U , а L = λL (T — кинетическаяэнергия, U — потенциальная, λ = const), мы получим те же уравнениядвижения, только умноженные на λ, что несущественно с точки зрения интегрирования этих уравнений.3Вболее подробной записи соотношение (8a) гласит (ср. (8.5)):dq dqdt, t(q , t ) · ,L q , , t = L q(q , t ),dtdtdt(9.8b)где ∂qi dq dqidqi (q , t )∂qidqi k=+,= dt , dtdtdtdtdt∂t∂qkk ∂t ∂q dt(q , t )∂tk= +.
dtdt∂t∂qkk§ 10. Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле45В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Если двесистемы движутся независимо друг от друга, то можно формально объединить их в одну систему, состоящую из независимых частей. При этом ихфункции Лагранжа достаточно сложить. Но нередко в дальнейшем возникает необходимость учесть взаимодействие. Например, движение двух планетпод действием притяжения Солнца задается лагранжианамиGM mLi = 1 mi vi2 + r i ,i2i = 1, 2,или, если угодно, единым лагранжианом L = L1 + L2 (здесь M — масса Солнца, m1,2 — массы планет, r1,2 — их радиус-векторы, v1,2 = ṙ1,2 —их скорости, G — постоянная в законе всемирного тяготения Ньютона).Взаимодействие планет друг с другом учтем, если добавим к L лагранжиан взаимодействия: Lвз = Gm1 m2 /|r1 − r2 |.
Очевидно, при заменах видаL → L = λL необходимо, чтобы множитель λ был одинаковым для всехслагаемых.§ 10. Функция Лагранжа для частицыв электромагнитном поле. Неоднозначностьвыбора функции ЛагранжаПусть частица с зарядом e находится в электромагнитном поле, заданном скалярным ϕ(r, t) и векторным A(r, t) потенциалами. Электрическоеи магнитное поля E и B связаны с потенциалами соотношениями∂∂ϕ 1 ∂A−, B(r, t) =,A ,(10.1)E(r, t) = −∂rc ∂t∂rгде c — скорость света. Нетрудно показать, что уравнения Лагранжа∂Ld ∂L=dt ∂v∂rсовпадают с известными уравнениями движенияmv̇ = eE +e[v, B],c(10.2)(10.3)если выбрать функцию Лагранжа в видеL(r, v, t) =e1mv2 − eϕ + Av.2c(10.4)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА46Для этого достаточно проверить, что x-компоненты уравнений (2) и (3)совпадают.
Предоставим это читателю.В функции Лагранжа слагаемые 12 mv2 и eϕ — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а последнее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщенный импульсp=e∂L= mv + A.∂vc(10.5)Известно, что поля E и B, а следовательно, и уравнения движениячастиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т.
е. при заменеϕ → ϕ = ϕ −1 ∂f,c ∂t(10.6)∂f,∂rгде f = f (r, t) — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что потенциалам ϕ, A и ϕ , Aсоответствуют лагранжианы L и L , отличающиеся на полную производную по времени от функции ef /c:A → A = A +1emv2 − eϕ + A v =2ce ∂f∂fe df (r, t)1e+v =L+,= mv2 − eϕ + Av +2cc ∂t∂rc dtL =и эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.Из этого примера видно, что выбор функции Лагранжа неоднозначен.Справедливо следующее общее утверждение: если к функции Лагранжадобавить полную производную по времени от любой функции координати времени F (q, t), то полученное выражение можно также рассматриватькак иную функцию Лагранжа, приводящую к тем же уравнениям движения.Действительно, еслиL (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +dF (q, t),dt(10.7)§ 11.
Функция Лагранжа в релятивистском случае47то значения действий S и S отличаются лишь величинами, не зависящимиот выбора пробной функции,t2S =t2L dt =t1t2Ldt +t1t1dFdt = S + F (q (2) , t2 ) − F (q (1) , t1 ),dtа потому совпадают и уравнения движения. Из неоднозначности функцийЛагранжа следует неоднозначность обобщенных импульсов:pi =∂L∂L∂ dF∂F= pi +=+.∂ q̇i∂ q̇i∂ q̇i dt∂qi(10.8)Обсуждение некоторых вопросов, связанных с такой неоднозначностью, можно найти в [3, задачи 4.7–4.9].§ 11. Функция Лагранжа в релятивистском случаеОбобщение формул предыдущего параграфа на релятивистский случайдостигается заменой нерелятивистского лагранжиана (10.4) на релятивистский:2e2(11.1)L(r, v, t) = −mc 1 − v2 − eϕ + Av.ccУравнения Лагранжа (10.2) с таким лагранжианом совпадают с релятивистскими уравнениями движенияdmve= eE + [v, B] .dt 1 − (v 2 /c2 )c(11.2)Обобщенный импульс равенp=mv∂Le=+ A.22∂v1 − (v /c ) c(11.3)В нерелятивистском пределе (при v c) из (1) получаем1eL = −mc2 + mv 2 − eϕ + Av,2cчто с точностью до константы −mc2 совпадает с (10.4).(11.4)Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА48t2Лагранжиану (1) соответствует действие S =Ldt, которое легкоt1переписать в явно релятивистски инвариантном виде. Действительно,(11.5)c 1 − (v2 /c2 )dt = (cdt)2 − (dr)2 = ds,где s — интервал, а слагаемое(cϕ − Av)dt = A0 dx0 − Adr = Aμ dxμ(11.6)представляет собой скалярное произведение двух 4-векторов: 4-потенциалаc контравариантными Aμ = (ϕ, A) или ковариантными Aμ = (ϕ, −A) компонентами и dxμ = (cdt, dr). Таким образом, действие есть лоренц-инвариантная величинаB e−mcds − Aμ dxμ(11.7)S=cA(здесь начало и конец интегрирования соответствуют мировым точкамA(ct1 , r1 ) и B(ct2 , r2 )).
Если переход (t, r) → (t , r ) есть лоренцево преобразование, то из инвариантности действия следует, что L dt = Ldt. Приэтом L (r , dr /dt , t ) как функция новых переменных имеет точно такойже вид (1), как и L(r, dr/dt, t) как функция старых переменных.Напомним, что уравнения движения системы нескольких частиц можно получить с помощью функции Лагранжа, содержащей энергию взаимодействия (8.2b). Описать движение нескольких взаимодействующих релятивистских частиц, обобщив подобным же образом функцию (1), релятивистски инвариантным образом невозможно. Дело в том, что при преобразованиях Лоренца время, относящееся к каждой из частиц, окажется своим.Это может привести в составленных таким образом уравнениях движенияк нарушению принципа причинности.
Пусть, например, окажется, что «персональное» время частицы B, tB , меньше, чем время, относящееся к частице A, tB < tA . Тогда получится, что сила, действующая на частицу B состороны частицы A в момент tB , определяется положением и скоростью частицы A в более поздний момент tA . Избежать подобых неприемлемых ситуаций удается, включив в теорию поля̀, обеспечивающие взаимодействиечастиц (например, электромагнитные). Разумеется, поля в физике играюти самостоятельную роль. Уравнения, описывающие изменение со временем полей (например, уравнения Максвелла), также можно представлять§ 12.
Идеальные голономные связи49в виде уравнений Лагранжа (разумеется, несколько обобщенных по сравнению с теми, которые рассматриваются в механике). Эти вопросы лежат запределами нашего курса.Тем не менее, существуют случаи, когда удается определять движение систем, содержащих поля, описывая их небольшим количеством переменных. Пример — электромеханические системы (см. далее § 18). Функцию Лагранжа, приближенно учитывающую взаимодействие через посредство электрического и магнитного полей частиц, скорости которых малы посравнению со скоростью света, можно найти, например, в [10].§ 12. Функция Лагранжа для систем с идеальнымиголономными связямиВсе рассматриваемые в классической механике объекты (например, материальная точка, твердое тело и т.
п.) представляют собой результат идеализации, идеализированным является и их взаимодействие. Нередко такиеидеализированные взаимодействия можно описать как связи, ограничивающие движение материальных точек и уменьшающие число степеней свободы.Для обширного класса систем с идеальными голономными связями,определение которых будет дано ниже, лагранжев подход оказывается весьма эффективен. Начнем с примера математического маятника переменной длины: грузик массы m подвешен в поле тяжести на нерастяжимомневесомом стержне, длина которого изменяется по заданному закону l(t)(рис. 15). Мы рассмотрим лишь движение грузика в вертикальной плоскости xy (ось x направлена по силе тяжести, ось y — горизонтальна, началосистемы координат в точке подвеса). Радиус-вектор грузика r удобно задатьв полярных координатах r и ϕ.
Условие нерастяжимости стержня означает,чтоr = l(t).(12.1)На грузик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения стержня (или сила реакции связи) R, направленная вдоль r. Заметим, что нашасистема фактически является одномерной: с учетом условия (1) для ее описания достаточно знать ϕ(t). Проще всего найти уравнения движения длякоординаты ϕ, используя известное свойство уравнений Лагранжа, а именно возможность записывать эти уравнения в любых обобщенных координатах.Чтобы сделать это, удобно временно «расшифровать» смысл идеализации «нерастяжимый стержень».
Разумеется, в действительности стерженьГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА50является просто чрезвычайно жестким, настолько жестким, что величинаего деформации мала по сравнению со всеми другими рассматриваемыми в задаче длинами. Эта продольная деформация приводит к появлениювполне существенной в задаче силы реакции связи, но во всех других отношениях ею можно пренебречь. Временно откажемся от такой идеализациии введем потенциальную энергию Ũ (q̃), гдеq̃ = r − l(t)— увеличение длины стержня, связанное с его силовой деформацией,а функция Ũ (q̃) очень быстро возрастает с ростом |q̃| (рис. 16). Теперьможно записать уравнения движения как двумерные уравнения Лагранжав полярных координатах ϕ и r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
