1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 9
Текст из файла (страница 9)
21). На грузик действует потенциальная сила тяжести mg, соответствующая потенциальнаяэнергияU = −mgl cos ϕ,Рис. 21. Маятник,который колеблется во вращающейся плоскостигде ϕ — угол отклонения маятника от вертикали вовращающейся плоскости. Кинетическая энергия грузикаравнаT = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ).2Легко разобраться, почему в данном примере суммаT + U = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ) − mgl cos ϕ2(13.9)не сохраняется. На грузик помимо потенциальной силы тяжести действуетеще и непотенциальная сила реакции R со стороны стержня. Составляющая этой силы вдоль стержня R ортогональна скорости грузика и не совершает работы, а составляющая R⊥ в поперечном к стержню направлении (заставляющая стержень вращаться с постоянной угловой скоростью)как раз и является той непотенциальной силой, которая ответственна занесохранение суммы T + U .§ 13.
Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе57С другой стороны, данный пример представляет собой систему с однойстепенью свободы с идеальными голономными связями. Эти связи задаютрасстояние грузика от точки подвеса стержня и угол поворота в горизонтальной плоскости, так что обобщенная координата ϕ полностью определяет положение грузика. При фиксированном значении времени t наложенныесвязи позволяют грузику двигаться только в неподвижной вертикальнойплоскости, а при таком движении работа сил реакции R⊥ равна нулю, такчто связи, действительно, являются голономными и идеальными.
В такомслучае функция Лагранжа оказывается равнойL(ϕ, ϕ̇) = T − U = 1 ml2 (ϕ̇2 + Ω2 sin2 ϕ) + mgl cos ϕ.2Эта функция не зависит от времени, поэтому сохраняется энергия, равнаясогласно (7)∂Lϕ̇ − L = 1 ml2 (ϕ̇2 − Ω2 sin2 ϕ) − mgl cos ϕ.(13.10)E=2∂ ϕ̇Отметим, что слагаемое 1 ml2 Ω2 sin2 ϕ, отвечающее кинетической энергии,2связанной с вращением, вошло в выражение энергии со знаком «минус»,т. е.
наша энергия (10) не равна сумме кинетической и потенциальной энергий T + U в инерциальной системе отсчета (9). Мы увидим далее (см.§ 17.2), что E — это энергия во вращающейся системе координат.13.4. Неоднозначность определения энергииРассмотрим еще вопрос о неоднозначности энергии, связанный с неоднозначностью выбора функции Лагранжа. Пусть функции Лагранжа Lи L , различающиеся на полную производную по времени от произвольной функции F (q, t):dF (q, t).dtМы отмечали в § 10, что соответствующие уравнения движения совпадают.Однако лагранжевы энергии E, определяемая формулой (4a), и ∂Lq̇i − L(13.4b)E (t) =∂q̇iiL (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +оказываются, вообще говоря, различными:E (t) = E(t) −∂F (q, t).∂t58Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАВ частности, если энергия E сохраняется, то E может оказаться зависящейот времени.Дополнительные обсуждения затронутых здесь вопросов можно найтив § 17, 18 и [3, задачи 4.13а, 4.15, 4.16].§ 14. Симметрия и интегралы движения. Теорема НётерУтверждения предыдущего параграфа представляют собой частноепроявление общего свойства механических (и не только механических!)систем — наличие интеграла движения является следствием определеннойсимметрии системы. Поясним это на двух ранее рассмотренных примерах.14.1.
ПримерыВ качестве первого примера рассмотрим движение частицы в центральном поле U (r). В этом случае сохраняется момент импульса частицы M. Наличие этого интеграла движения является следствием сферической симметрии рассматриваемой системы. В самом деле, в центральномполе функция Лагранжа (8.8a) не изменяется при повороте вокруг оси z,т. е. при преобразовании ϕ → ϕ + ε, где ε — произвольный угол поворота.Следствием этого является сохранение обобщенного импульса pϕ = Mz .Далее, в центральном поле направление оси z можно выбирать произвольно, что и приводит к сохранению вектора M.В качестве второго примера рассмотрим движение частицы в постоянном потенциальном поле U (r). В этом случае сохраняется энергия E == 12 mṙ2 + U (r). Наличие этого интеграла движения является следствиемтого, что функция Лагранжа L(r, ṙ, t) = 12 mṙ2 − U (r) не зависит от времени, т.
е. не изменяется при преобразовании t → t + ε, где ε — произвольныйсдвиг по времени.Рассмотрим теперь несколько более сложный пример движения заряженной частицы в поле бесконечной равномерно заряженной винтовой линии с шагом h. Выберем ось z вдоль оси винтовой линии. Данная системаобладает винтовой симметрией — ее функция Лагранжа не изменяется припреобразованияхϕ → ϕ + ε,z → z + h ε,2πгде ε — произвольный угол поворота вокруг оси z. Если параметр ε мал, тоиз указанной симметрии следует, чтоδL = ∂L ε + ∂L h ε = 0.∂ϕ∂z 2π(14.1)§ 14.
Симметрия и интегралы движения. Теорема Нётер59Используя уравнения Лагранжа в форме (13.2):d ∂Ldpϕ∂Ld ∂Ldpz∂L==,==,∂ϕdt ∂ ϕ̇dt∂zdt ∂ żdtполучим из (1)d p + h p = 0,ϕz2πdtт. е. в рассматриваемом поле существует дополнительный интеграл движения (напомним, что pϕ = Mz )(14.2)Mz + h pz = const.2πВ этом примере отдельно Mz и pz не сохраняются, но сохраняется их комбинация (2).14.2.
ОбобщениеТеперь уже не трудно понять, что если функция Лагранжа не изменяется в результате некоторого совместного сдвига по времени и координатам,то сохраняется какая-то определенная комбинация из энергии и обобщенных импульсов, хотя по отдельности обобщенные импульсы или энергиямогут и не сохраняться. Именно, пусть бесконечно малое преобразованиевремени и координат имеет видt → t + εct ,qi → qi + εci ,i = 1, 2, . .
. , s,(14.3)где ε — бесконечно малый параметр, а ct и ci — некие постоянные величины, и пусть при этом преобразовании функция Лагранжа системы неизменяется (с точностью до слагаемых порядка ε включительно):s∂L c = 0.(14.4)δL = ε ∂L ct +i∂t∂qii=1Тогда величинаEct −spi ci = const,(14.5)i=1т. е. является интегралом движения. Для доказательства подставим в (4)соотношения (13.2), (13.5) и немедленно получимsd −Ec + p c = 0,ti idti=1откуда следует сохранение величины (5).Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА6014.3.
Теорема НётерДо сих пор мы ограничивались инвариантностью функции Лагранжаотносительно преобразования (3), в которых ct и ci — некоторые постоянные. Оказывается, можно получить и более общее утверждение, когдав преобразовании (3) вместо постоянных ct и ci будут фигурировать произвольные функции координат и времени. Только в этом случае требованиенеизменности предъявляется не к функции Лагранжа, а к действию. Такимобобщением является следующая теорема Эммы Нётер.Пусть бесконечно малое преобразование времени и координат имеетвидt → t = t + εh(q, t),qi → qi = qi + εfi (q, t),i = 1, 2, . .
. , s,(14.6)где ε — бесконечно малый параметр, и пусть при этом преобразовании виддействия не меняется (с точностью до слагаемых порядка ε включительно)5t2t1t2 dq dqL q, , t dt = L q , , t dt .dtdt(14.7)t1Тогда величинаEh −spi fi = const,(14.8)i=1т. е. является интегралом движения. Простое доказательство этой теоремыбудет дано в § 39.3.Полученным соотношениям можно придать еще и такой, иногда болееудобный в приложениях, вид.
Обозначимεh(q, t) = δt,εfi (q, t) = δqi .Пусть при преобразованииt → t + δt,qi → qi + δqi ,i = 1, 2, . . . , s,(14.9)действие не изменяет своего вида в указанном выше смысле. Тогда величинаspi δqi = const.(14.10)Eδt −i=1что в левой и правой сторонах равенства (7) стоит одна и та же функция L,но от разных аргументов.5 Подчеркнем,§ 14. Симметрия и интегралы движения. Теорема Нётер61Теорема Нётер представляет собой, в сущности, единый вывод различных законов сохранения при наличии определенной симметрии системы. Важность ее возрастает в связи с тем, что подобная же теорема имеетместо и в теории поля (см. [7, 8]).Для иллюстрации применения теоремы Нётер рассмотрим движениечастицы в поле диполя.
В этом случае функция Лагранжа равнаar1mv2 − U (r), U (r) = 3 ,(14.11)2rгде постоянный вектор a равен произведению электрического дипольногомомента на заряд частицы. Эта функция Лагранжа явным образом не зависит от времени и не изменяется при повороте вокруг вектора a, поэтомупри движении в этом поле сохраняются энергия E = 12 mv2 + U (r) и проекция момента импульса на направление диполя m[r, v]a.
Однако эта системаобладает еще и дополнительной симметрией.Легко убедиться, что для лагранжиана (11) соотношение (7) выполняется при преобразовании подобияL(r, v) =r → r = λr,t → t = λ2 t,(14.12)где λ — произвольное число, так как1drdtv= L(r, v) 2 = L(r, v) .L r , = L λr,dtλλdtТеорема Нётер позволяет найти еще один интеграл движения, связанныйс симметрией относительно преобразования подобия. В качестве λ возьмемλ = 1 + ε, тогдаδr = εr, δt = 2εtи из (10) следует2Et − mvr = const ≡ C1 .(14.13)Используя этот интеграл движения, легко найти зависимость r(t). Действительно,2C1 = 2Et − mṙ r = 2Et − m dr ,2 dtоткуда получаем2 (Et2 − C t) + C ,r(t) = m12где C1,2 — постоянные, определяемые начальными условиями.При получении интеграла движения (13) существенным был не конкретный вид потенциальной энергии (11), а лишь тот факт, что U (λr) == U (r)/λ2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
