1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако такая форма уравнения движения удобна, в частности, для перехода отдекартовых координат x к любым другим координатам q, т. е. к заменеx = x(q, t).(8.4)§ 8. Уравнения Лагранжа39Оказывается, что если сделать такую замену в лагранжианеdx(q, t), t ≡ L (q, q̇, t),L x(q, t),dtто уравнение движения можно представить в виде∂Ld ∂L=,dt ∂ q̇∂q(8.5)(8.6a)совпадающем по форме с (3). Независимость вида уравнений движения,выраженных через функцию Лагранжа, от выбора координат и называетсяих ковариантностью. Это свойство уравнений Лагранжа легко проверитьпрямым вычислением (см. задачу 4.3 из [3]).
Другое доказательство будетприведено в § 9.8.2. Обобщенные координаты и импульсыПрямой проверкой легко убедиться, что если для системы N материальных точек в декартовых координатах взять функцию Лагранжа в видеразности кинетической и потенциальной энергий в некоторой инерциальной системе отсчетаNL = T − U (r1 , r2 , . . . , rN , t);T =1ma ṙ2a ,2 a=1(8.2b)то второй закон Ньютона запишется в видеd ∂L = ∂L ,dt ∂ ṙa∂raa = 1, 2, .
. . , N.(8.3b)Аналогично одномерному случаю функция Лагранжа (2b) заменойra = ra (q1 , . . . , q3N , t)может быть выражена через 3N других координат qi и их производных q̇i(называемых обобщенными координатами и обобщенными скоростями):L(q1 , . . . , q3N , q̇1 , . . . , q̇3N , t).Тогда уравнения Лагранжа имеют вид (здесь и далее для упрощения записибуквы q и q̇ без индекса обозначают весь набор обобщенных координати скоростей)∂L(q, q̇, t)d ∂L(q, q̇, t)=,dt∂ q̇i∂qii = 1, 2, . . .
, 3N.(8.6b)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА40При этом переходы к криволинейным координатам, координатам в неинерциальных системах отсчета, «коллективным» координатам групп частиц(скажем, описывающим движение их центра масс и относительное движение) и т. п. математически оказываются совершенно одинаковыми и делаются по стандартной процедуре.Кроме обобщенной скорости q̇i вводится также обобщенный импульс,соответствующий координате qi и определяемый соотношениемpi ≡∂L.∂ q̇i(8.7)Если qi — декартова координата, например, qi = x, то обобщенный импульсpi = mẋ совпадает с x-й компонентой обычного импульса.
В общем жеслучае обобщенная координата не обязательно имеет размерность длины,соответственно, обобщенный импульс не обязательно имеет размерностьпроизведения массы на скорость.Рассмотрим, например, движение частицы в центральном поле. В этомслучае удобно выбрать в качестве обобщенных координат сферические координаты r, θ, ϕ, при этом1L=1m(ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 + r 2 ϕ̇2 sin2 θ) − U (r),2pr = mṙ,pθ = mr 2 θ̇,pϕ = mr 2 ϕ̇ sin2 θ.(8.8a)(8.8b)Легко проверить, что обобщенные импульсы pr , pθ и pϕ связаны с импульсом p = mv и моментом импульса M = [r, p] соотношениямиpr = (p)r = p · rr ,2p2 = p2r + M2 ,rpϕ = Mz ,p2θ +p2ϕsin2 θ= M2 . (8.9)Задача8.1. Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферическойсистеме координат.1 Если начало системы координат поместить в центре глобуса заданного радиуса r с северным полюсом, лежащим на оси z, то полярный угол θ отсчитывается вдоль меридиана к югу,а азимутальный угол ϕ — вдоль широты к востоку.
Обозначим через er , eθ и eϕ взаимноортогональные единичные векторы вдоль радиус-вектора, вдоль меридиана и вдоль широты,тогда r = er r, dr = er dr + eθ rdθ + eϕ r sin θdϕ, компоненты скорости dr/dt равны vr == ṙ, vθ = r θ̇, vϕ = r ϕ̇ sin θ, а v2 = ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 + r 2 ϕ̇2 sin2 θ.§ 9. Принцип наименьшего действия41§ 9. Принцип наименьшего действия9.1. Принцип Гамильтона. Ковариантность уравнений Лагранжаотносительно замены координатУравнения Лагранжа имеют прямое отношение к определенной математической задаче — задаче вариационного исчисления (см. Дополнение А).Рассмотрим сначала одномерный случай.
Пусть имеется некоторыйкласс функций ỹ(x) таких2 , что все они проходят через точки A(x1 , y1 )и B(x2 , y2 ), т. е. ỹ(x1 ) = y1 , ỹ(x2 ) = y2 . Среди этих функций надо найтитакую функцию y(x), при подстановке которой в интегралx2J=f (y, y , x) dx,y =x1dy,dxгде f (y, y , x) — заданная функция трех переменных, он принимает экстремальное значение.Согласно вариационному исчислению, искомая функция y(x) находится как решение дифференциального уравнения:∂fd ∂f= 0.−dx ∂y ∂y(9.1)Это уравнение называется уравнением Эйлера данной вариационной задачи.ВеличинаδJ∂fd ∂f≡−δy(x)∂ydx ∂y называется вариационной производной от J по y(x), а вариацией (точнее,первой вариацией) J называется величина δJ, определенная соотношениемx2δJ ≡x1δJδy (x) dx.δy(x)Аналогично ставится и решается задача определения экстремума интегралаx2J = f (y1 , .
. . , ys ; y1 , . . . , ys ; x) dx,(9.2)x12 Подразумевается,что функции ỹ(x) являются достаточно гладкими.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА42зависящего от многих неизвестных функций yi (x) (при этом предполагается, что эти функции независимы). Необходимое условие экстремума (1)должно выполняться по отношению к каждой из этих функций:d ∂f∂f−= 0,dx ∂yi∂yii = 1, 2, . . . , s.(9.3)Очевидно сходство уравнений Лагранжа (8.6a), (8.6b) с уравнениями Эйлера (1), (3). Это дает возможность сформулировать следующийпринцип для задач механики — принцип наименьшего действия (принципГамильтона). Сформулируем его сразу для произвольных криволинейных координат, хотя из обнаруженного сходства уравнений его справедливость доказана пока только в декартовых координатах.
Пусть система времени t1 находится в точке A с координатами частиц в момент(1) (1)(1)q1 , q2 , . . . , qs , а в момент времени t2 — в точке B с координатами(2) (2)(2)q1 , q2 , . . . , qs . Движение системы частиц между этими точками происходит по такому закону qi (t), чтобы интегралt2S=L (q1 (t), . . . , qs (t), q̇1 (t), . . . , q̇s (t), t) dt(9.4)t1принял экстремальное значение, т. е. чтобы вариация S обращалась в нуль:s t2 ∂Ld ∂LδS =−δqi dt = 0.∂qidt ∂ q̇ii=1(9.5)t1Величина S называется действием.
При этом предполагается, что вариациикоординат независимы и удовлетворяют условиямδqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,i = 1, 2, . . . , s.В силу независимости вариаций координат δqi из принципа Гамильтона (5)получаются уравнения (8.6b). Таким образом, уравнения Эйлера, к которымприводит эта вариационная задача, и есть уравнения Лагранжа механической системы.Сформулированный принцип позволяет сразу обнаружить ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразования координат. Действительно, преобразование координат сводится к замене переменных в интеграле действия (4). Само же значение интеграла при этом не изменяется§ 9. Принцип наименьшего действия43и уравнения для координат, определяющие экстремальное значение интеграла, не изменяют своего вида.Принцип Гамильтона можно положить в основу механики вместо уравнений Ньютона.
Ценность такого подхода заключается в том, в частности,что аналогичные вариационные принципы можно сформулировать и в других разделах теоретической физики — электродинамике, квантовой механике, теории элементарных частиц и т. д. Простой пример применения подобного подхода к электромеханическим системам рассмотрен в § 18.Тот факт, что движение частицы задается дифференциальными уравнениями (уравнениями Ньютона), означает, что по известным значениям координат и скорости частицы в некоторый момент t определяются значениякоординат и скорости в близкий момент t + δt.
Такая ситуация является длянас привычной и представляется естественной. Кстати, именно таким образом можно находить закон движения частицы численно. Вариационныйже принцип утверждает, что частица движется так, будто бы она испробовала все возможные законы движения и выбрала в определенном смыслепредпочтительный. Такое «стремление к определенной цели» (которая ещекогда-то будет достигнута и притом не очень-то понятна) представляетсяне только непривычным, но и удивительным.
Конечно, можно было бы думать, что совпадение уравнений движения с уравнениями Эйлера вариационной задачи — просто случайность. Так и оказалось бы, если ограничитьсярамками классической механики. Однако мы увидим в дальнейшем, что вариационный принцип связан с волновыми свойствами частиц (изучаемымив полной мере в квантовой механике).9.2. Преобразование функции Лагранжа при преобразованиикоординат и времениУравнения движения сохраняют форму уравнений Лагранжа такжеи в том случае, если осуществляется преобразование и координат, и времени.
Но в этом случае преобразование функции Лагранжа не сводитсяк замене переменных и равенство (8.5), вообще говоря, не выполняется.Рассмотрим такое преобразование qi , t → qi , t , чтоqi = qi (q1 , . . . , qs , t ),t = t(q1 , . . . , qs , t ),i = 1, 2, . . . , s.(9.6)Приведем примеры преобразования времени: в качестве t можно вводитьотносительности нередко в каче«местное время» t = t − λx; в теории2стве t используют интервал t = (ct) − r2 , что позволяет провести вывод и получить уравнения движения в явно релятивистски ковариантномГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА44виде. С математической точки зрения, можно забыть о физическом смысле переменной t и трактовать преобразование (6) как замену переменныхв (s + 1)-мерном пространстве.При такой замене интеграл действия преобразуется следующим образом:t2t2dt(9.7)S = Ldt = L dt .dtt1t1Поэтому новую функцию Лагранжа L естественно определить следующим соотношением:dt(9.8a)L = L ,dtтогда действие примет вид, аналогичный исходному3 :t2S=t1 dqL q , , t dt .dt(9.9)При этом сохранится ковариантность уравнений Лагранжа относительнопреобразований (6), а именно если в старых переменных уравнения Лагранжа имели вид (8.6b), то в новых переменных и для нового лагранжианасохранится тот же вид уравнений:∂L∂Ld,=dt ∂(dqi /dt )∂qii = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
