1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому тот же самый интеграл движения (13) имеет местоГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА62и для частицы в центральном поле U (r) = β/r 2 , и при движении в полемагнитного монополя (см. [3, задача 4.20]) и т. д.Надо сознаться, что приведенная здесь формулировка теоремы Нётерпредставляет собой вариант, адаптированный для задач классической механики. Оригинальная теорема Нётер относится к непрерывным системам.Следует также упомянуть, что механические системы, обладающие той илииной симметрией, скорее представляют собой исключение, чем правило.В этом смысле установление факта симметрии является нередко достаточносложной и творческой задачей. Напротив, отыскание интегралов движенияс помощью теоремы Нётер после установление симметрии системы является простой стандартной процедурой.
Ряд таких физически интересныхпримеров рассмотрен в [1, § 48].В заключение напомним, что при добавлении к функции Лагранжаполной производной от функции координат и времени уравнения Лагранжане изменяются. В связи с этим справедлива несколько более общая теорема:если при преобразованиях (6) вид функции Лагранжа изменяется не более,чем на полную производную от функции координат и времени!t2 t2dF (q , t )dq dqL q, , t dt =(14.7a)L q , ,t + εdt ,dtdtdtt1t1то интегралом движения является величинаsEh −pi fi − F = const.(14.8a)i=1Задачи14.1. Найти интегралы движения для частицы, движущейся в поле бегущей волны U (r, t) = U (r − Vt), где V — постоянный вектор.14.2. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле B, если векторный потенциал задан в виде:а) Ax = Az = 0, Ay = xB,б) A = 1 [B, r].2§ 15.
Фундаментальные законы сохранениядля замкнутой системы частицТеорема Нётер дает возможность получать интегралы движения, если инвариантность функции Лагранжа (в более общем случае — действия)§ 15. Фундаментальные законы сохранения для замкнутой системы частиц63относительно какого-либо семейства преобразований уже найдена, но в нейничего не говорится о том, как такого рода инвариантность можно находить. В ряде случаев такая инвариантность оказывается связанной с оченьобщими предположениями о свойствах реального мира.Из курса общей физики известны законы сохранения полного импульса, момента импульса и энергии замкнутой системы частиц.
Их доказательство основано на втором и третьем законах Ньютона и предположении, чтосилы парного взаимодействия между частицами зависят лишь от разностиих радиус-векторов.В лагранжевом подходе теорема Нётер дает возможность установитьфундаментальную связь этих законов сохранения с основными свойствамипространства и времени, такими как однородность и изотропия пространства и однородность времени.Предположение об однородности пространства означает, что движение замкнутой системы N частиц из данных начальных условий не зависитот того, в каком месте пространства находится данная система.
Отсюдаследует, что функция Лагранжа системы L(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t) не изменяется при переносе всех частиц системы на один и тот же вектор ε, т. е.при преобразовании(15.1)ra → ra + ε, t → t.При этомδra = ε,и из (14.10) следуетδt = 0,paε = const,aа из произвольности вектора ε получаем закон сохранения полного импульсазамкнутой системы частиц:Npa = const.(15.2)a=1Аналогично, предположение об изотропии пространства означает,что относительное движение замкнутой системы частиц не изменяется прилюбом повороте этой системы как целого в пространстве, а потому при таком повороте функция Лагранжа не изменится. Повернем систему на угол εвокруг произвольной оси, заданной единичным вектором n.
При этомra → ra + δra ,δra = ε[n, ra ],δt = 0,(15.3)Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА64и из (14.10) следуетpa δra = εapa [n, ra ] = const,aилиεn[ra , pa ] = const.aОтсюда в силу произвольности направления n получаем закон сохраненияполного момента импульса замкнутой системы частиц:M=N[ra , pa ] = const.(15.4)a=1Наконец, однородность времени предполагает, что движение замкнутой системы частиц не зависит от того, с какого момента времени начнетсяэто движение (при условии, что начальное состояние системы каждый развыбирается одинаковым). Отсюда следует, что функция Лагранжа системыне изменяется при преобразованииra → ra ,t → t + ε.(15.5)При этомδra = 0,δt = ε,и из (14.10) следует закон сохранения энергии замкнутой системы частиц:E=Na=1pa va − L =3Npi q̇i − L = const.(15.6)i=1Особую ценность лагранжеву подходу придает еще и то обстоятельство, что аналогичные выводы можно провести и в теории поля при описании систем с бесконечным числом степеней свободы.
В теории поля вначале строятся лагранжианы, подчиненные требованиям инвариантности относительно сдвигов и поворотов и независящие от времени. Такой выборне только позволяет вычислить энергию, импульс и момент импульса поля,но фактически дать их определения.Интегралы движения, отвечающие преобразованиям Галилея и Лоренца, обсуждаются в [2, § 14; 3, задача 4.14].§ 16. Преобразования Галилея65§ 16. Преобразования ГалилеяПусть оси координат в системе отсчета K (x , y , z ) параллельны осямв инерциальной системе K(x, y, z) (которую мы считаем неподвижной),а начало отсчета системы K движется: RO = R(t) (рис. 22).
Координатыотносительно подвижной системы K вводятся соотношением r = R(t) ++ r . Для определенности выберем R(0) = 0.Рис. 22. Две системы отсчета — неподвижная K(x, y, z) и движущаяся поступательно K (x , y , z )Если скорость V = Ṙ постоянна, то система K также является инерциальной, а координаты и скорости частицы изменяются согласно преобразованиям Галилея:r = r + Vt ,t = t ,v = v + V.(16.1)Пусть функция Лагранжа частицы в системе K равнаL(r, v) = 1 mv2 − U (r),2(16.2)тогда обобщенный импульс и энергия этой частицы таковы:p = ∂L = mv,∂vE = pv − L = 1 mv2 + U (r).2(16.3)При переходе к системе K можно предложить два различных способа получения функции Лагранжа. Во-первых, можно рассматривать этотГлава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА66переход просто как замену переменных (1), в этом случае новая функцияЛагранжа равна2L1 (r , v , t) = L(r, v) = 1 m (v ) − mv V + 1 m V2 − U (r + Vt ). (16.4)22Для обобщенных импульсов и энергий в этих двух системах отсчета получаем соотношения:p1 =∂L1= m (v + V) = p;∂v2E1 = p v − L1 = 1 m (v ) + U − 1 m V2 = E − Vp.22(16.5a)(16.5b)Во-вторых, можно учесть, что K — инерциальная система, и выбратьфункцию Лагранжа в виде разности кинетической и потенциальной энергий в системе K :2L2 (r , v , t) = 1 m (v ) − U (r + Vt ).2(16.6)Функция Лагранжа L2 отличается от L1 на полную производную по времени от функцииF (r , t) = −mr V + 1 m V2 t2и приводит к тем же уравнениям Лагранжа, что и функция L1 (r , v , t)(см.
§ 13). Однако законы преобразования обобщенных импульсов и энергий имеют другой вид, чем в (5):p2 =∂L2= mv = p − mV,∂v2E2 = 1 m (v ) + U = E − Vp + 1 m V2 .22(16.7a)(16.7b)Два выражения энергии E1 и E2 отличаются на постоянную.Мы уже отмечали в § 13, что энергии E и E могут иметь различнуюзависимость от времени. Рассмотренный переход от одной инерциальнойсистемы отсчета к другой позволяет проиллюстрировать это утверждение,используя простой поучительный пример — движение шарика внутри ящика с абсолютно упругими стенками. Пусть ящик покоится в системе K,§ 17. Неинерциальные системы отсчета67тогда скорость движения шарика изменяется при соударениях со стенкамиящика только по направлению, но не по величине, и энергия E сохраняется.Но в системе K скорость шарика при соударениях с движущейся стенкойизменяется не только по направлению, но и по величине, поэтому энергия E , определенная или соотношением (5b) или соотношением (7b), несохраняется.§ 17.
Неинерциальные системы отсчетаНередко бывает удобно использовать системы отсчета, которые связаны с телами, движущимися с ускорением в инерциальной системе отсчета, — неинерциальные системы отсчета. Переход к координатам, отсчитываемым относительно таких тел, сводится просто к замене координатв функции Лагранжа. Неинерциальными являются, в частности, системыотсчета, связанные с Землей.17.1.
Система отсчета, движущаяся поступательноЕсли скорость V(t) = Ṙ(t) не является постоянной, то система K (рис. 22) уже не является инерциальной. Функцию Лагранжа в неинерциальной системе K выбираем равной (16.2):2L (r , ṙ , t) = m (ṙ + V(t)) − U (R(t) + r ),2(17.1)уравнения движения в системе K таковыmr̈ = − ∂U − mW,∂r(17.2)где W = V̇(t) — ускорение системы K . Изменение уравнений движенияпри переходе к системе отсчета K сводится к тому, что к силе, действующей на частицу, добавляется сила инерции 6 , равная (−mW).На космической станции действующая на космонавта сила инерции,обусловленная ускоренным движением станции в поле тяжести Земли, какраз компенсирует действующую на космонавта силу тяжести — возникаетневесомость.6 В рамках ньютоновской механики силы инерции отличаются от обычных сил, которыевозникают в результате взаимодействия тел, тем что силы инерции возникают «сами по себе»(при переходе к неинерциальной системе отсчета).
Поэтому к ним не удается применить третий закон Ньютона («действие равно противодействию»). Однако это никак не сказывается нарешении задачи о движении тел.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА68В системе отсчета, начало которой связано с центром Земли, а осиориентированы по звездам, силы, с которыми действуют Солнце и Луна,скомпенсированы силами инерции для тех частиц, которые расположеныв центре Земли.
Для частиц, находящихся на поверхности Земли, полнойкомпенсации нет. Нескомпенсированная часть составляет приливные силы.17.2. Вращающаяся система отсчетаПусть система отсчета K (x , y , z ) вращается с угловой скоростьюΩ = Ω(t) относительно инерциальной системы K(x, y, z) и их начала отсчета совпадают. Ясно, что радиус-вектор r, задающий положение материальной точки в системе K, совпадает с радиус-вектором r , определяющимположение этой же точки в системе K , хотя компоненты этих векторовx, y, z и x , y , z , вообще говоря, не совпадают.Если частица неподвижна в системе K , то в системе K ее скоростьv = [Ω, r] = [Ω, r ](ср.
(15.3)). Если же и в системе K частица движется со скоростью v , то,добавляя эту скорость к [Ω, r ], имеем окончательноr = r ,v = v + [Ω, r ].(17.3)Функция Лагранжа L (r , v , t) для частицы во вращающейся системеотсчета получается из функции Лагранжа (16.2) заменой переменных (3):L (r , v , t) =112m (v ) + mv [Ω, r ] + m [Ω, r ]2 − U (r ).22(17.4)Отсюда получаем обобщенный импульс и момент импульса:p =∂L= m (v + [Ω, r ]) ,∂vM = [r , p ].(17.5)Учитывая (3) и (5), находим связь p и M с аналогичными величинамив системе K:(17.6)p = p, M = M.Для энергии E в системе K имеемE = p v − L =112m (v ) + U (r ) − m [Ω, r ]2 .22(17.7)§ 17.
Неинерциальные системы отсчета69В E помимо кинетической и потенциальной энергий содержится слагаемое1− m [Ω, r ]2 ,2называемое центробежной энергией. Связь E с энергией E в системе Kнайдем, используя (3) и (5):E = pv − L = p (v + [Ω, r ]) − L = E + ΩM .(17.8)Уравнения движения во вращающейся системе — это уравненияЛагранжа для новых координат∂Ld ∂L=.dt ∂v∂rЭти уравнения после простой перегруппировки имеют видmdv∂U= − + 2m[v , Ω] + m[Ω, [r , Ω]] + m[r , Ω̇].dt∂r(17.9)Помимо обычной потенциальной силы −∂U/∂r в правой стороне этогоуравнения содержатся слагаемые — силы инерции, обязанные своим происхождением неинерциальности системы отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
