1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В частности, если на больших расстоянияхU (r) ∼ α/r n , n > 0, то σ = ∞.Рассмотрим пример упругого соударения, когда частицы налетающего потока представляют собой шарики радиуса R1 , а частицы мишени —шарики радиуса R2 . В этом случае рассеянными окажутся только частицыс прицельными параметрами ρ R1 + R2 , т. е. полное сечение σ = π(R1 ++ R2 )2 .Если потенциальное поле U является центральным, то дифференциальное сечение рассеяния не зависит от азимутального угла ϕ иdσ(θ, E) d(πρ2 ) ρ(θ, E) dρ(θ, E) (6.3)==. 2π sin θdθ dΩsin θ dθВ этом случае для вычисления дифференциального сечения рассеяния достаточно знать ρ(θ, E) — прицельный параметр падающей частицы какфункцию ее угла рассеяния и энергии.До сих пор мы рассматривали упругое рассеяние частиц.
Очевидно, чтопонятие сечения можно распространить на случай, когда частицы падаютна силовой центр, или на случай, когда при соударении частиц происходят реакции с образованием новых частиц. При описании таких процессов3 Из формулы (2) видно, что дифференциальное и полное сечения рассеяния имеют размерность площади.§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда29естественным образом возникает сечение падения или сечение неупругогорассеяния.
При рассеянии на частицах, масса которых сравнима с массойналетающих частиц, можно рассматривать сечение, дифференциальное повеличине энергии, переданной при столкновении частицам мишени.6.2. Рассеяние под малыми угламиВычислим ρ(θ, ϕ, E) для важного случая рассеяния быстрых частицпод малыми углами, θ 1. Пусть p = (0, 0, mv∞ ) и p — начальныйи конечный импульсы частицы, для упругого рассеяния величины этих импульсов совпадают |p | = |p|. При рассеянии под малыми угламиpθ ≈ sin θ = p⊥ ,tg ϕ =pypx,(6.4)где p⊥ = (px , py , 0) — поперечная к оси z составляющая вектора p .
Такимобразом, для нахождения углов рассеяния достаточно вычислить поперечные компоненты вектора p .При таком вычислении учтем, что p⊥ = Δp⊥ , где Δp = p − p —полное изменение импульса частицы за все время рассеяния. Так как dp == Fdt в силу уравнения Ньютона, то∞∞F(t)dt = −Δp =−∞−∞∂U (r(t))dt.∂rПри рассеянии на малые углы в правую часть этого уравнения можно подставить приближенный закон движения, соответствующий прямолинейнойтраектории с прицельным параметром ρ и постоянной скоростью v∞ ,r(t) = ρ + v∞ t.В итоге получимp⊥∞=−−∞∂ U (ρ + v t) dt.∞∂ρ(6.5)Еслиполе U является центральным, U (r) = потенциальное=Uρ2 + (v∞ t)2 , то дифференциальное сечение рассеяния не зависитот азимутального угла ϕ.
Сделав далее замену z = v∞ t, получим простоеГлава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА30выражение для угла рассеяния ∞∂ U22.dzθ = 1 ρ +z2E ∂ρ(6.6)−∞Отсюда находится ρ(θ, E) и далее dσ/dΩ.ПримерРассмотрим рассеяние в полеU (r) = αr 2 + a2при условии E αa . Указанное условие означает, что энергия налетающихчастиц E много больше характерной потенциальной энергии α/a. Рассеяние при этом происходит только на малые углы, которые легко вычислить,используя формулу (6):αρθ=2E∞ρdz= α 2.2 3/2Eρ + a2(ρ + z + a )2−∞2График этой функции показан на рис. 11. Максимальный угол рассеяния θm достигается при ρ = a и, естественно, оказывается мал:θm = α 1.2EaПри вычислении сечения необходимо учесть, что на одну и ту же площадку детектора попадут частицы, падающие с двух разных площадокdσ1,2 = π|dρ21,2 | = ±dρ21,2 = ±πдля двух возможных прицельных параметровρ1,2 = 1 ∓ 1 − (θ/θm )2поэтомуdρ21,2dθdθα ,2Eθdσ = π |dρ21 | + |dρ22 | = πd ρ21 − ρ22 == πd [(ρ1 − ρ2 )(ρ1 + ρ2 )] .§ 6.
Сечение рассеяния. Формула Резерфорда31√Рис. 11. Зависимость θ(ρ) при рассеянии в поле U (r) = α/ r2 + a2Отсюда окончательно получаем⎧22⎨ α2 1 − θ /(2θm )dσ =E 2 θ41 − (θ/θm )2dΩ ⎩0при θ < θm ,(6.7)при θ > θm .Зависимость dσ/dΩ от θ изображена на рис. 12. При θ → 0 дифференциальное сечение dσ/dΩ неограниченно возрастает:dσ ≈ α2 → ∞dΩE 2 θ4при θ → 0.(6.8)Сечение рассеяния, проинтегрированное в интервале углов, прилегающихк θ = 0, бесконечно, так как рассеяние на малые углы отвечает большимприцельным параметрам.Дифференциальное сечение dσ/dΩ неограниченно возрастает такжеи при θ → θm :dσ ≈α2→∞√ 2 4 dΩ2 2E θm 1 − (θ/θm )при θ → θm .(6.9)Однако сечение рассеяния в интервал углов, прилегающих к θm , оказывается конечным, так как отвечает конечным прицельным параметрам вблизиρ = a. Действительно, сечение рассеяния в интервал углов θm −δ < θ < θm ,Глава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА32Рис. 12. Дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в поле U (r) == √ αr2 + a2равноеθmθm −δ2 1/22π dσ θ dθ = √πα δ,5/2dΩ2E 2 θmконечно и стремится к нулю при δ → 0. Такая особенность сечения называется радужным рассеянием (см. [5, гл. 5, § 5]). Подобного типа особенностьсечения приводит к образованию радуги при рассеянии света каплями воды. Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3.8, 3.10 из [3].6.3.
Формула РезерфордаРассмотрим упругое рассеяние частиц на кулоновском поле отталкивания U (r) = α/r. Типичная траектория движения частицы с энергией2/2 и прицельным параметром ρ изображена на рис. 13 в видеE = mv∞гиперболы ABC, где точки A и C соответствуют начальному и конечномуучасткам траектории, а точка B — минимальному расстоянию траекторииот начала координат. В плоскости траектории (плоскости xy) введем полярные координаты r и ϕ, тогда уравнение траектории ABC принимает вид(ср.
(3.6b))p,(6.10)r(ϕ) =−1 + e cos(ϕ − ϕB )где величины p и e определены в (3.4), (3.5), а ϕB — полярный угол точки B.Полярные углы ϕA и ϕC , отвечающие точкам A и C, и угол рассеяния θсвязаны с углом ϕB соотношениямиϕA = π,ϕC = 2ϕB − π = θ.§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда33Рис. 13.
Траектория рассеяния в кулоновском поле U (r) = α/rУгол ϕB можно найти из требования, чтобы r(ϕA ) = ∞ или −1 ++ e cos(π − ϕB ) = 0. Учитывая, что22Eρπ+θ,M 2 = (mv∞ ρ)2 = 2mEρ2 ,e2 = 1 +,ϕB =α2находимρ(θ) = α ctg θ22Eи дифференциальное сечение рассеяния21dσ = α.4EdΩsin4 (θ/2)(6.11)(6.12)Это сечение быстро убывает с ростом угла рассеяния θ (рис. 14). Легкопроверить, что формула (12) справедлива не только для кулоновского поляотталкивания U (r) = α/r, но и для кулоновского поля притяжения U (r) == −α/r.
При малых углах рассеяния результат (12) совпадает с формулой (8).Задачи6.1. Определить сечение падения частиц, имеющих на бесконечностискорость v∞ , на поверхность Земли (радиус Земли равен R, ускорение свободного падения на поверхности Земли равно g).6.2. Найти сечение падения частиц в центр поляβU=αr − r2 .Как изменится ответ при изменении знака α?Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА34Рис. 14. Дифференциальное сечение рассеяния в кулоновском поле U (r) = ±α/r6.3. Определить дифференциальное эффективное сечение рассеяниячастиц на абсолютно упругом неподвижном шаре радиуса R.6.4. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц (E V ) в поле⎧ 2⎨rпри r < R,V 1− 2U (r) =R⎩0при r > R.§ 7.
Теорема о вириалеРассмотрим систему из N частиц, движение которых совершаетсяв ограниченной области и с ограниченными скоростями. В этом случае длялюбой динамической величины F , зависящей от координат и скоростейчастиц, можно определить ее среднее за большой промежуток времени τзначение:t0 +τ1F dt.F = τt0Оказывается, существуют определенные связи между средним значениемпотенциальной энергии U = U (r1 , r2 , . .
. , rN ), средним значением кинетической энергии T и полной энергией E = T + U .Назовем вириалом системы частиц величинуW =N∂U r .a∂raa=1(7.1)§ 7. Теорема о вириале35Теорема о вириале утверждает, что2T = W ;(7.2)а если дополнительно потенциальная энергия является однородной функцией степени n, т. е. еслиU (λr1 , λr2 , . . . , λrN ) = λn U (r1 , r2 , . . . , rN ),тоT =n E,n+2U =2 E.n+2(7.3)(7.4)Переходя к доказательству этой теоремы, приведем вначале два вспомогательных математических утверждения:A) Если F (t) — ограниченная функция, тоdFdt= τ1t0 +τt0dF dt = F (t0 + τ ) − F (t0 ) → 0 при τ → ∞.τdt(7.5)B) Если потенциальная энергия U является однородной функцией координат и удовлетворяет соотношению (3), то, согласно теореме Эйлера ободнородных функциях,N∂U r = n U.(7.6)a∂raa=1Чтобы доказать это утверждение, достаточно продифференцировать равенство (3) по λ, а затем положить λ = 1.Рассмотрим теперь кинетическую энергию системы частицNma va2 .T =12a=1Перепишем ее в виде2T =Npa vaa=1и, используя уравнения движенияdpa= − ∂U ,dt∂ra(7.7)Глава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА36преобразуем слагаемое pa va следующим образом:dpapa va = d (pa ra ) −ra = d (pa ra ) + ∂U ra .dtdtdt∂raПодставим затем это соотношение в (7). Усредняя полученное таким образом выражение, найдемNd2 T =pa ra + W .dta=1Если теперь учесть утверждение (5), то немедленно получим формулу (2).С другой стороны, если потенциальная энергия является однороднойфункцией координат, то теорема Эйлера (6) позволяет переписать (2) в видесоотношения2T = W = n U .Учитывая далее, что T + U = E, получаем соотношения (4).Приведем примеры применения теоремы о вириале.Поле изотропного осциллятора U (r) = kr 2 /2 является однороднойфункцией с n = 2, поэтомуT = U = 1 E,2(7.8)причем под усреднением в данном случае можно понимать усреднение запериод колебаний.Кулоновское поле U (r) = −α/r является однородной функцией с n == −1, поэтому при движении по эллипсу (при E < 0)T = − 1 U = −E,2(7.9)причем и в этом случае под усреднением можно понимать усреднение запериод обращения.Интересно рассмотреть применения теоремы о вириале к задаче обэволюции протозвезды.
Простейшая модель протозвезды — облако одноатомного нейтрального газа большой массы, удерживаемое собственнымгравитационным притяжением. Для такой звезды справедливы соотношения (9). Кинетическая энергия частиц связана с температурой газа Tг известной формулой T = 3N kTг /2, где N — число частиц в звезде и k —постоянная Больцмана. Энергия звездыE = −T = − 3 N kTг ,2§ 7. Теорема о вириале37и потому ее теплоемкость C = dE/dTг = −3N k/2 отрицательна. Этоозначает такую интересную особенность эволюции звезды: при учете излучения ее энергия убывает, а температура возрастает (см. [6, § 21]).Задача7.1.
Найти среднюю за большой период времени кинетическую энергию частицы, движущейся в поле U (r) = V ln (r/a).ГЛАВА IIЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА§ 8. Уравнения Лагранжа8.1. Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицыв потенциальном поле — ковариантная запись уравненийНьютонаДо сих пор движение материальной точки (или частицы) рассматривалось на основе уравнений Ньютона.
В этой главе мы дадим другую,лагранжеву форму этих уравнений, обладающую целым рядом преимуществ. Данный параграф является вводным, поэтому, не стремясь сразук полной общности записи и определений, начнем с одномерного движения. Для движения частицы массы m вдоль прямой x в потенциальном поле U (x, t) уравнение Ньютона (в некоторой инерциальной системе отсчета)имеет вид∂U (x, t).(8.1)mẍ = −∂xВведем функцию трех переменных x, ẋ, t, равную разности кинетической и потенциальной энергий:L(x, ẋ, t) =1mẋ2 − U (x, t).2(8.2a)Ее называют функцией Лагранжа или лагранжианом. Уравнение (1) можнопредставить в видеd ∂L = ∂L .(8.3)dt ∂ ẋ∂xЭто уравнение и называется уравнением Лагранжа. Оно не имеет нового,по сравнению с уравнением Ньютона (1), физического содержания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
