1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Несколько выразительнее дальнейшее будетвыглядеть, если мы вместо переменной r выберем переменную q̃.Рис. 15. Маятник на стержне переменной длиныРис. 16. Потенциальная энергия деформации стержня в зависимости отего удлиненияФункция Лагранжа в этих переменных2m ˙2 2˙˙L̃(ϕ, q̃, ϕ̇, q̃, t) =l(t) + q̃ + [l(t) + q̃] ϕ̇ +2+ mg [l(t) + q̃] cos ϕ − Ũ (q̃)приводит к уравнениямd 2m(l(t) + q̃) ϕ̇ = −mg [l(t) + q̃] sin ϕ,dtdŨ.m ¨l(t) + q̃¨ = m [l(t) + q̃] ϕ̇2 + mg cos ϕ −dq̃(12.2)(12.3)(12.4)§ 12. Идеальные голономные связи51Учитывая малость величины q̃, можно в уравнении (3) положить q̃ = 0и q̃˙ = 0. Получается уравнениеm d 2l (t)ϕ̇ = −mgl(t) sin ϕ,dt(12.5)из которого (при заданной зависимости l(t)) может быть найдена зависимость ϕ(t).Уравнение (4) формально определяет q̃(t).
Однако мы не будем егоиспользовать, вспомнив, что для «нерастяжимого стержня» q̃(t) = 0, еслиугодно, по определению «нерастяжимого стержня».Наконец, сделаем последний шаг: положим q̃ = 0 и q̃˙ = 0 уже в функции Лагранжа (2) и отбросим слагаемое Ũ , не нужное при записи уравнения(3) для ϕ. Легко видеть, что такая подстановка не приводит к изменениюуравнения (5). В итоге получим простую функцию Лагранжа для одномерной задачи:m ˙2(12.6)l (t) + l2 (t)ϕ̇2 + mgl(t) cos ϕ.L(ϕ, ϕ̇, t) =2В этом выражении еще дополнительно можно опустить слагаемое ml˙2 (t)/2,не содержащее ϕ и ϕ̇.Итак, рецепт получения лагранжиана для системы со связью найден:следует ввести обобщенные координаты с учетом условий связи, лагранжиан — разность кинетической и потенциальной энергий — следует записывать сразу же с учетом этих условий, а добавочных слагаемых вида Ũ (характеризующих чрезвычайную жесткость связей) не вводить.
Такой способдействий позволяет находить уравнения движения маятника, не интересуясь силами реакции связи.Альтернативный подход к этой задаче связан с так называемым принципом виртуальных перемещений Даламбера. В нашей задаче сила реакциисвязи R обладает тем свойством, что работа этой силы при любом маломсмещении маятника δr, не нарушающем условие (1), равна нулю4 . Действительно, смещение δr направлено по касательной к окружности r = l(t) == const, а сила реакции связи R направлена вдоль r, поэтомуR δr = 0.(12.7)В ньютоновой механике движение грузика определяется уравнениемmr̈ = mg + R,(12.8)4 Подразумевается не смещение при истинном движении маятника, а смещение, не нарушающее условие (1) при фиксированном значении t, т.
е. при l(t) = const.52Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАкоторое совместно с условием (1) позволяет найти как закон движения r(t),так и силу R(t). Найти же уравнения движения для координаты ϕ можно,подставив R из уравнения (8) в уравнение (7),(mr̈ − mg) δr = 0,(12.9)и учтя условие связи (1).
Предоставляем читателю проверить, что полученное таким образом уравнение движения для координаты ϕ совпадаетс уравнением (5).Перейдем к общему случаю. Мы будем представлять себе далее, чтотела, движение которых мы исследуем, состоят из «материальных точек»,взаимодействующих друг с другом. Например, под абсолютно твердым телом мы понимаем совокупность материальных точек, расстояния междукоторыми остаются постоянными. Подобным же образом движение системы N материальных точек может быть ограничено воздействием какихлибо стержней, поверхностей и т.
п. Если все эти ограничения выражаютсяусловиями(12.10)Fα (r1 , . . . , rN , t) = 0, α = 1, . . . , n,то говорят, что на систему наложены n голономных связей. Словом «голономные» отмечается, что в (10) не входят скорости. При этом подразумевается, что условия (10) выполняются за счет того, что на материальныеточки помимо прочих действуют силы реакции связей.
Связи называютсяидеальными, если при любых смещениях точек, не нарушающих условия(10), суммарная работа всех сил реакции равна нулю. Напомним, что речьидет не о смещениях в процессе движения, а о смещениях, не нарушающихусловия (1), рассматриваемые при фиксированном значении времени.Пример с маятником показывает, что для системы с идеальными голономными связями можно сразу же выбрать обобщенные координаты с учетом связей и только через них выразить функцию Лагранжа.
При этом можно решать задачу о движении системы, исключив вопрос о силах реакциисвязей. Выгоду такого подхода при решении сложных задач трудно переоценить. Более подробно голономные и неголономные связи рассмотреныв Дополнении B.Задачи12.1. Найти функцию Лагранжа, обобщенные импульсы и энергию длясистемы, изображенной на рис. 17. Брусок массы M может двигаться безтрения только вдоль горизонтальной прямой, грузик массы m может колебаться в вертикальной плоскости на стержне длины l.
В качестве обобщен-§ 12. Идеальные голономные связи53ных координат выбрать декартову координату X бруска и угол ϕ отклонения стержня от вертикали.Рис. 17. К задаче 12.1Рис. 18. К задаче 12.212.2. Две частицы массы M и m связаны нитью длины l, пропущеннойчерез отверстие, причем частица массы M движется по гладкой горизонтальной плоскости, а частица массы m колеблется по вертикали в полетяжести (рис.
18). Найти функцию Лагранжа системы. Рассмотреть случай,когда частица массы M движется по траектории, близкой к окружности(т. е. испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частотымалых радиальных колебаний ωr к средней угловой скорости движения поокружности ϕ̇ и изобразить траекторию при условии M = 3m.12.3. Найти функцию Лагранжа и обобщенные импульсы для системы,изображенной на рис. 19 (двойной плоский маятник).Рис. 19. К задаче 12.3Рис.
20. К задаче 12.412.4. То же для системы, изображенной на рис. 20. Система вращаетсяв поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω.Глава II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА54§ 13. Циклические координаты. Энергия в лагранжевомподходеФункции обобщенных координат и скоростей, остающиеся постоянными при движении механической системы, называются интегралами движения. Наличие интегралов движения, как правило, существенно облегчаетинтегрирование уравнений движения. Так, наличие интегралов движения —энергии в одномерном случае, энергии и момента импульса при движениичастицы в центральном поле — позволяет свести такие задачи к квадратурам.Связь интегралов движения с симметрией задачи будет рассмотренав следующем параграфе. Здесь же мы разберем два простых частных примера.
Если функция Лагранжа не зависит от какой-либо обобщенной координаты или явным образом не зависит от времени, то сразу можно указатьпростые интегралы движения.13.1. Циклические координатыПусть функция Лагранжа не зависит от обобщенной координаты qk(такую координату называют циклической):∂L= 0.∂qk(13.1)Тогда обобщенный импульс pk = ∂L/∂ q̇k , соответствующий циклическойкоординате, является интегралом движения, что сразу же следует из уравнения Лагранжаd ∂L∂Ldpk==(13.2)dtdt ∂ q̇k∂qkи равенства (1).Например, при движении в центральном поле функция Лагранжа (8.8)не зависит от ϕ и потому pϕ = mr 2 ϕ̇ sin2 θ = const.13.2.
Энергия в лагранжевом подходеЕще один интеграл движения можно найти, если функция Лагранжане зависит явно от времени. Для этого вычислим полную производную отфункции Лагранжа по времени∂L dq̇idL ∂L∂L=q̇i ++dt∂qi∂ q̇i dt∂ti§ 13. Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе55и перепишем ее, с учетом (2), в видеdL =dtidpidq̇iq̇i + pidtdtd∂L=+∂tdtpi q̇i+i∂L.∂t(13.3)Введем величинуE(t) =ipi q̇i − L = ∂Lq̇i − L,∂ q̇ii(13.4a)называемую энергией (при этом подразумевается, что в правой стороне (4a)стоят величины qi (t) и q̇i (t), соответствующие движению системы, т.
е. Eесть функция времени). В итоге (3) можно переписать в виде∂LdE(t)=−.dt∂t(13.5)Если функция Лагранжа не зависит явно от времени∂L= 0,∂tто E(t) = const.В нерелятивистском случае функция Лагранжа обычно содержит члены квадратичные L2 , линейные L1 и не зависящие L0 от обобщенных скоростей:(13.6)L = L2 + L1 + L0 ,1L2 =aik (q)q̇i q̇k ; L1 =bi (q)q̇i ; L0 = L0 (q, t).2iikЛегко убедиться прямым вычислением, что для такой функции Лагранжаэнергия равна(13.7)E = L2 − L0 ,т. е. из лагранжиана квадратичные по скоростям слагаемые переходятв энергию без изменения, не зависящие от скоростей слагаемые изменяют знак, а линейные по скоростям — выпадают.В частности, лагранжиан частицы в электромагнитном поле (10.4) содержит слагаемыеL2 =1mv2 ,2eL1 = Av,cL0 = −eϕ,Глава II.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА56поэтому энергия1mv2 + eϕ,2т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.E=(13.8)13.3. Энергия в лагранжевом подходе и сумма кинетическойи потенциальной энергийЭнергия E, определенная формальным соотношением (4a), не всегдасовпадает с суммой T + U , вычисленной в инерциальной системе отсчета.Приведем простой пример такой ситуации.Рассмотрим математический маятник, которыйпредставляет собой грузик массы m, подвешенный в поле тяжести на жестком невесомом стержне длины l.Стержень вращается вокруг вертикальной оси с заданной постоянной угловой скоростью Ω, а маятник колеблется в вертикальной плоскости, вращающейся вместесо стержнем (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
