1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ограничиваясь членами второго порядка по xi и ẋi = q̇i , получаем1L=(mij ẋi ẋj − kij xi xj ) .(19.16)2 ijВ дальнейшем удобно перейти к векторным обозначениям. Введем вектор смещения1⎛ ⎞x1⎜x2 ⎟⎟x=⎜⎝ .. ⎠ ,.xsматрицы масс и жесткостей⎞⎛m11 m12 . . . m1sm22 . .
. m2s ⎟⎜mm̂ = ⎝ 21,...... ... ... ⎠ms1 ms2 . . . mss⎛k11⎜k21k̂ = ⎝...ks1k12k22...ks2............⎞k1sk2s ⎟. . .⎠kssи скалярное произведение векторов(x, y) =sxi yi .i=1В этих обозначениях лагранжиан принимает видL(x, ẋ) =11(ẋ, m̂ ẋ) − (x, k̂ x),22(19.17)причем(ẋ, m̂ ẋ) 0,1 Компоненты(x, k̂ x) 0,m̂T = m̂,k̂T = k̂,этого вектора могут иметь различную размерность.(19.18)Глава III.
КОЛЕБАНИЯ78где m̂T обозначает матрицу, транспонированную по отношению к матрице m̂. Уравнения Лагранжаd ∂L∂L=dt ∂ ẋl∂xlв этих обозначенияхd ∂L∂L=dt ∂ ẋ∂xпринимают форму, аналогичную (5):Подстановкаm̂ẍ + k̂x = 0.(19.19)x = A cos(ωt + ϕ)(19.20)приводит их к системе алгебраических линейных однородных уравнений−ω 2 m̂ + k̂ A = 0.(19.21)Эта система имеет нетривиальное решение, только если ее определительобращается в нуль:(19.22) −ω 2 m̂ + k̂ = 0.Пусть ω12 , ω22 , .
. . , ωs2 — корни этого уравнения (некоторые из этих корнеймогут совпадать друг с другом; этот случай рассмотрен в следующем параграфе). Величины ωα называются собственными частотами. Подставляяодин из этих корней ωα2 в уравнение (21), получаем уравнение для определения компонент соответствующего вектора A(α) :−ωα2 m̂ + k̂ A(α) = 0.(19.23)Конечно, если A(α) есть решение этого уравнения, то и aA(α) , где a —произвольное число, также есть решение этого уравнения. В итоге каждомукорню ωα2 (или каждой частоте ωα ) соответствует колебаниеx(α) (t) = A(α) Qα (t),Qα (t) = aα cos(ωα t + ϕα ),(19.24)при котором все частицы движутся с одной частотой (и в одной фазе илив противофазе). Такое движение называют нормальным колебанием или модой. Полное решение есть сумма частных решенийx=sα=1A(α) Qα (t),(19.25)§ 19.
Линейные колебания79или в записи для отдельных компонент вектораxi =s(α)Ai Qα (t).(19.26)α=1Это полное решение содержит s произвольных амплитуд aα и фаз ϕα , которые можно определить, задавая начальные координаты x(0) и скоростиẋ(0).19.3. Плоский двойной маятникРассмотрим малые колебания плоского двойного маятника (см.
рис. 19).Лагранжиан этой системы найден в [1, § 5, задача 1]) и при малых углах|ϕi | 1 и l1 = 2l, l2 = l, m1 = m2 = m имеет видL=11 2ml (8ϕ̇21 + 4ϕ̇1 ϕ̇2 + ϕ̇22 ) − mgl(4ϕ21 + ϕ22 ).22Матрицы масс и жесткостей таковы:2 8 2m̂ = ml,2 14 0k̂ = mgl.0 1Решение уравнений движения8ϕ̈1 + 2ϕ̈2 + 4ω02 ϕ1 = 0,ищем в виде2ϕ̈1 + ϕ̈2 + ω02 ϕ2 = 0,ω0 =g/l A1ϕ1=cos(ωt + χ).x=ϕ2A2Для коэффициентов Ai получаем систему уравнений(−8ω 2 + 4ω02 )A1 − 2ω 2 A2 = 0,−2ω 2 A1 + (−ω 2 + ω02 )A2 = 0.Приравняв ее определитель нулюω 4 − 3ω 2 ω02 + ω04 = 0,найдем собственные частотыω1,2 =√3∓ 5ω02Глава III. КОЛЕБАНИЯ80и соответствующие им нормальные колебанияx(1) = A(1) Q1 (t),x(2) = A(2) Q2 (t);На плоскости ϕ1 , ϕ2 векторы1A(1) = √,5−1Qα (t) = aα cos(ωα t + χα ).A(2) =√ −15+1задают направление новых осей координат Q1 и Q2 (рис.
26). Вдоль каждого из этих направлений происходят колебания с одной частотой — с ω1вдоль A(1) и с ω2 вдоль A(2) . В то же время зависимость каждой из координатϕ1 = Q1 − Q2 ,√√ϕ2 = ( 5 − 1)Q1 + ( 5 − 1) Q2от времени представляет собой сумму колебаний с двумя разными частотами.Рис. 26. Векторы нормальных колебаний двойного плоского маятника, изображенного на рис. 19Угол между векторами A(1) и A(2) (т.
е. и между осями Q1 и Q2 ) неравен 90◦ ; действительно,A(1) , A(2) = 3 = 0.Легко, однако, проверить, что эти векторы удовлетворяют соотношениям: A(1) , k̂ A(2) = A(1) , m̂ A(2) = 0.(19.27)§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частотНапример,(1)Ak̂,A(2)mgl√= (1, 5 − 1)40810√ −1=15+1√−4√= (1, 5 − 1)= 0.5+1Ниже мы покажем, что найденные в этом примере соотношения (27) справедливы и в общем случае.§ 20. Ортогональность нормальных колебаний.
Случайвырождения частот20.1. Ортогональность нормальных колебанийПусть ωα и ωβ — различные собственные частоты: ωα = ωβ . Соответствующие им векторы колебаний A(α) и A(β) удовлетворяют уравнениямωα2 m̂ A(α) = k̂ A(α) ,ωβ2 m̂ A(β) = k̂ A(β) .Умножим второе уравнение на A(α) : ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = A(α) , k̂ A(β) .(20.1)(20.2)Вычтем его из первого уравнения, умноженного на A(β) :ωα2 A(β) , m̂ A(α) − ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = = A(β) , k̂ A(α) − A(α) , k̂ A(β) .(20.3)Учитывая, что для любой вещественной матрицы n̂ справедливо соотношениеA, n̂ B) = (n̂T A, Bи тот факт, что матрицы k̂ и m̂ симметричны (см.
(19.18)), получаем из (3) 2ωα − ωβ2 A(α) , m̂ A(β) = 0.(20.4)Глава III. КОЛЕБАНИЯ82Поскольку ωα2 − ωβ2 = 0, отсюда следует соотношениеA(α) , m̂ A(β) = 0(20.5a)и далее, с учетом (2), еще одно соотношениеA(α) , k̂ A(β) = 0.(20.5b)Полученные соотношения означают, что колебания x(α) = A(α) Qα и x(β) == A(β) Qβ , отвечающие различным частотам, взаимно ортогональны, еслиих скалярное произведение определять с помощью метрических тензоровmij или kij (как говорят, x(α) и x(β) ортогональны в «метрике масс» илив «метрике жесткостей»).20.2.
Случай вырождения частот. Нормальные координатыРассмотрим теперь случай, когда среди корней характеристическогоуравнения (19.22) имеются кратные корни — случай с вырожденными частотами. Пусть, например, два разных решения x(1) и x(2) отвечают однойи той же частоте ω1 = ω2 . Линейная суперпозиция c1 x(1) + c2 x(2) , где c1и c2 — произвольные числа, также является решением с той же самой частотой. Иными словами, пространство решений, отвечающих данной частоте,представляют собой плоскость, проходящую через векторы x(1) и x(2) , причем любой вектор этой плоскости ортогонален в метрике масс или жесткостей векторам нормальных колебаний, отвечающих другим частотам.
Средивекторов этой плоскости можно выбрать (и притом многими способами)пару независимых векторов так, чтобы они удовлетворяли соотношениямортогональности (5).Совокупность взаимно ортогональных (в метрике масс или в метрикежесткостей) векторов представляет собой очень удобный базис для координат Qα . Покажем, что эти координаты приводят лагранжиан к виду, соответствующему набору независимых (невзаимодействующих) осцилляторов.Такие координаты называются нормальными координатами.Иными словами, переход вида (19.25) от координатx = (x1 , . .
. , xi , . . . , xs )к нормальным координатамQ = (Q1 , . . . , Qα , . . . , Qs )§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот83есть линейное преобразованиеx = Û Q,xi =Uiα Qα ,(α)Uiα ≡ Ai ,αпри котором квадратичные формы кинетической и потенциальной энергийодновременно приводятся к диагональному виду.Действительно, сделав в лагранжиане (19.17) подстановку (19.25) и использовав свойства ортогональности (5), мы найдем, что в новых переменных лагранжиан имеет вид суммы отдельных независимых лагранжиановтипа (19.4):s11Lα , Lα = Mα Q̇2α − Kα Q2α ,L=22α=1(20.6)Mα = A(α) , m̂ A(α) , Kα = A(α) , k̂ A(α) ,а соответствующие уравнения ЛагранжаMα Q̈α + Kα Qα = 0(20.7)имеют вид одномерных уравнений (19.5).
Таким образом, каждая из координат Qα представляет собой колебание с одной определенной частотой ωα ,в то время как каждая координата xi есть линейная суперпозиция колебаний с разными, вообще говоря, частотами (см. (19.26)).Отметим, что в силу свойств положительности (19.18) собственныекорни уравнения (19.22) являются положительными:(α)(α)A,k̂AKα 0,= (α)(20.8)ωα2 =MαA , m̂ A(α)т. е.
собственные частоты ωα вещественны. Отметим также, что определяемые этой формулой собственные частоты не зависят от нормировки векторов A(α) .20.3. Колебания слабо связанных систем. БиенияДвижение линейных систем с вырождением частот обладает рядом интересных особенностей, которые мы обсудим здесь на следующем простомпримере. Пусть механическая система состоит из двух слабо связанныхподсистем, каждая из которых в отсутствие связи может совершать малыеГлава III. КОЛЕБАНИЯ84колебания. На первый взгляд, движение каждой из подсистем в этом случае должно происходить практически независимо и при наличии слабойсвязи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
