1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Проще, однако, получить решение уравнений (5), отвечающее малому повороту молекулы как целого наугол ε = Ω δt:(25.8)x(0) = ([ε, r10 ], . . . , [ε, rn0 ]),и снова использовать соотношение ортогональности (20.5a) для полученного решения и нормального колебания (6):N[ε, ra0 ] · ma ua = 0a=1илиε·Na=1ma [ra0 , ua ] = 0.Глава III. КОЛЕБАНИЯ106Отсюда в силу произвольности вектора ε следует условиеNma [ra0 , ua ] = 0.(25.9)a=1Для любых молекул, кроме линейных, два векторных условия (3) и (9)отвечают шести идеальным голономным связям, поэтому число нормальных колебаний (с ненулевыми частотами) таких молекул равно 3N − 6.Для линейной молекулы, атомы которой расположены, скажем, вдоль оси z,условие (9) приводит лишь к двум идеальным голономным связям для x и yкомпонент векторов ua , поэтому число нормальных колебаний линейноймолекулы равно 3N − 5.Задачи25.1.
Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулыCO2 (см. рис. 35). Предполагается, что потенциальная энергия молекулызависит только от расстояний O–C и C–O и от угла OCO.25.2. Классифицировать собственные колебания молекулы этиленаC2 H4 по их свойствам симметрии относительно осей x и y (см.
рис. 36).В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.§ 26. Колебания линейных цепочекВ этом и следующем параграфах мы рассмотрим простые примерыцепочек частиц, соединенных пружинками. Это простейшие модели, используемые в теории твердого тела. Движение атомов в твердом теле описывается квантовой механикой. Однако возникающие при решении задачо классических цепочках понятия оказываются весьма полезными и в квантовой теории. Электрические аналоги таких цепочек — искусственные линии, состоящие из конденсаторов и индуктивностей, — находят применениев радиотехнике.26.1.
Уравнения движения и граничные условияПусть N одинаковых частиц массы m каждая соединены одинаковымипружинками жесткости k и находятся в равновесном состоянии на расстоянии l друг от друга, так что координата Xn = n · l. Концы цепочки закреплены в точках A и B (рис. 42). Если длина пружинки в нерастянутом§ 26. Колебания линейных цепочек107состоянии равна l0 , то натяжение каждой пружинки равно f = k(l − l0 ).Мы будем рассматривать малые колебания частиц только в направленииоси y (возможные при этом смещения в направлении оси x оказываютсямалыми второго порядка и ими можно пренебречь).
Пусть yn — смещениеиз положения равновесия n-й частицы вдоль оси y. Возвращающая сила,действующая на n-ю частицу со стороны n-й пружинки, равнаFn = −f sin α = −fyn − yn−1l(рис. 43). В итоге функция Лагранжа для цепочки оказывается равнойL=NN +1m 2f 2ẏn −(yn − yn−1 ) ,2 n=12l n=1(26.1)где для удобства записи потенциальной энергии мы ввели фиктивные смещения концов цепочки y0 и yN +1 и положилиy0 ≡ 0,yN +1 ≡ 0.(26.2)Рис. 42. Цепочка с закрепленными концамиРис. 43. К вычислению силы, действующей на n-ю частицу со стороны n-й пружинкиУравнения Лагранжа имеют видÿn + ω02 (2yn − yn−1 − yn+1 ) = 0,где обозначено ω0 = f /(ml).n = 1, 2, .
. . , N,(26.3)Глава III. КОЛЕБАНИЯ10826.2. Бегущие волныРешение задачи о колебаниях этой системы по общим правилам (см.§ 19) было бы слишком громоздко. Удобнее воспользоваться другим приемом. Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колебаниями должны быть стоячие волны.
Удобно, однако, начать изучениесистемы уравнений (3), не обращая внимания на граничные условия (2)и считая число частиц неограниченным. Тогда система уравнений (3) описывает бесконечную цепочку, для которой легко найти решения в виде бегущих волн.Будем искать гармонические решения для бесконечной цепочки в виде (26.4a)yn (t) = Re eiωt f (Xn ) , Xn = n · l,где функция f (Xn ) соответствует амплитуде колебаний n-й частицы. Таккак при сдвиге на l вдоль оси x функция Лагранжа бесконечной цепочки неизменяется, можно надеяться, что функция (26.4b)Re eiωt f (Xn + l)также является гармоническим решением и потому f (Xn + l) отличаетсяот f (Xn ) лишь на постоянный множитель λ:f (Xn + l) = λf (Xn )(26.5a)и далееf (Xn + l) = λf (Xn ) = λ2 f (Xn−1 ) = .
. . = λn f (X1 ).(26.5b)Проверим, что такое предположение действительно позволяет получить решение задачи для бесконечной цепочки. Подставим (4a) в уравнение (3), тогда с учетом (5) система дифференциальных уравнений сведетсяк одному алгебраическому уравнению122ω = ω0 2 − λ −,(26.6)λопределяющему связь ω и λ. Отсюда находимλ1,2 = d ±Отметим, чтоd2 − 1,λ1 λ2 = 1.d=1−ω2.2ω02§ 26. Колебания линейных цепочек109При ω < 2ω0 величина d < 1 и корни λ1,2 комплексно сопряжены: λ1 = λ∗2и |λ1,2 | = 1, такое решение, как мы увидим далее, соответствует бегущимволнам. При ω > 2ω0 величина d2 > 1 и корни λ1,2 вещественны и отрицательны: λ1,2 < 0 и |λ1 | > 1, |λ2 | < 1, такое решение соответствуетколебаниям, при которых амплитуды колебаний частиц возрастают (падают) вдоль цепочки.При |λ| = 1 величину λ можно представить в видеλ = e∓iϕ ,поэтомуω 2 = 4ω02 sin2и(26.7a)ϕ2yn = Re Aei(ωt∓nϕ) .(26.8)(26.9a)Введем обозначение K = ϕ/l, тогдаλ = e∓iKl(26.7b)и решениями являются бегущие по оси X или против оси X волны(26.9b)yn = Re Aei(ωt∓KXn ) .Частота ω определяет период колебаний во времени T = 2π/ω, аналогично,волновой вектор K определяет «период» колебаний в пространстве — длинуволныΛ=2π2πl=.Kϕ(26.10)Из (9) видно, что ϕ есть разность фаз колебаний соседних частиц.
Уравнение (8) устанавливает связь частоты с этой разностью фаз (или с волновымвектором) — это так называемый закон дисперсии. Из него видно, что частоты бегущих по бесконечной цепочке волн лежат в интервале 0 < ω < 2ω0 .Точка постоянной фазы ωt ∓ KXn = const перемещается вдоль оси x позаконуconstω.(26.11)Xn = ± t −KKПри λ < 0 величину λ можно представить в видеλ = −e∓ψ = −e∓κl ,ψ = κl,(26.12)Глава III. КОЛЕБАНИЯ110поэтомуψ.(26.13)2В этом случае амплитуды колебаний падают (или возрастают) с ростом Xn : (26.14)yn = Re (−1)n A eiωt∓κXn = Re (−1)n A e∓nψ eiωt .ω 2 = 4ω02 ch2Из (13) видно, что частоты таких решений лежат в интервале ω > 2ω0 .Решения (13), (14) можно получить из (8), (9) при формальной заменеϕ → π − iψ.(26.15)Итак, мы нашли два вида колебаний в бесконечной цепочке: (7), (8)и (13), (14).
Бегущие волны (7), (8) мы используем в следующем разделедля получения свободных колебаний цепочки с закрепленными концами,а решения (13), (14) понадобятся нам в § 28 при изучении вынужденныхколебаний.Есть еще одна характеристика — поток энергии вдоль цепочки, котораяоказывается существенно разной для этих двух видов колебаний. Энергия,переданная от (n − 1)-й частицы к n-й частице за время dt, равна работесилы Fn = −mω02 (yn − yn−1 ), действующей со стороны n-й пружинки, поперемещению n-й частицы на расстояние dyn = ẏn dt:dE = Fn dyn = −mω02 (yn − yn−1 ) ẏn dt.Поэтому поток энергии, переносимый волной вдоль оси X, равенdE = −mω 2 (y − ynn−1 ) ẏn .0dtПри усреднении по периоду колебаний поток энергии для решения в видебегущей волны (9) равенdE = ± 1 mω 2 ω|A|2 sin ϕ.02dtДля решения (14) усредненный поток энергии равен нулю.26.3.
Стоячие волны и спектрВозвратимся к задаче о цепочке с закрепленными концами. Граничнымусловиям (2) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих в обестороны волн:yn = A(+) ei(ωt+nϕ) + A(−) ei(ωt−nϕ) .§ 26. Колебания линейных цепочек111Условие y0 = 0 дает A(−) = −A(+) или yn = Re 2iA(+) sin nϕ eiωt = A sin nϕ cos(ωt + χ),2iA(+) = A eiχ ,(26.16)т. е. стоячие волны, амплитуды которых синусоидально зависят от номерачастицы n. Из условия на другом конце yN +1 = 0 илиsin(N + 1)ϕ = 0определяются возможные дискретные значения частот. Уравнение sin(N ++ 1)ϕ = 0 приводит к N независимым решениямπαϕα =, α = 1, 2, . . .
, N.(26.17)N +1Действительно, значения α = 0 и α = N + 1 дают нулевые решения yn == 0, а для значения α = N + s при s > 1 фаза ϕN +s = 2π − ϕN −s+2 , т. е.решения с α = N + s выражаются через решения с α = N − s + 2. Из (8),(17) находим N различных частот (рис. 44):πα, α = 1, 2, . . . , N.(26.18)ωα = 2ω0 sin2(N + 1)С ростом числа N число собственных частот увеличивается, но все онирасполагаются в интервале 0 < ωα < 2ω0 . Этот интервал называют разрешенной зоной в отличие от запрещенной зоны ω > 2ω0 .Рис.
44. Спектр частот для цепочки рис. 42Вектор нормального колебания, отвечающего α-й частоте, имеет вид⎛⎞sin ϕα⎜ sin 2ϕα ⎟⎟ Qα (t); Qα (t) = aα cos(ωα t + χα ). (26.19)y(α) = const · ⎜..⎝⎠.sin N ϕαГлава III. КОЛЕБАНИЯ112Фазе ϕα соответствует длина волны (10)Λα =2π2πl2L,==Kαϕααα = 1, 2, . . . , N,(26.20)где L = l · (N + 1) — полная длина цепочки, так что α-е нормальное колебание соответствует такой стоячей волне, у которой на длине цепочкиукладывается ровно α полуволн.Выберем в формуле (19)12,const = =N +1N,2sin nϕαn=1тогда различные нормальные колебания окажутся ортонормированными:(y(α) , y(β) ) = δαβ Q2α .Общее решение есть суперпозиция всех нормальных колебанийyn =NUnα Qα (t),Unα =α=12πnαsin,N +1N +1(26.21)а лагранжиан (1) в переменных Qα имеет видL=Nα=1Lα ;Lα =m 2Q̇α − ωα2 Q2α ,2(26.22)отвечающий набору N различных невзаимодействующих осцилляторов.В заключение рассмотрим цепочку из N одинаковых частиц массы m,связанных одинаковыми пружинками жесткости k и могущих двигаться наэтот раз только по прямой AB (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
