1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 17
Текст из файла (страница 17)
42). Пусть xn — смещение n-й частицы из положения равновесия. Нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа для этой цепочки имеют вид (при дополнительных условиях x0 == xN +1 ≡ 0)(26.23)ẍn + ω02 (2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0, n = 1, 2, . . . , N,где ω0 = k/m, и совпадают с уравнениями (3) при замене yn → xn .§ 27. Акустические и оптические колебания линейных цепочек113Задачи26.1. Определить нормальные колебания системы N одинаковых частиц массы m, связанных одинаковыми пружинками жесткости k и могущихдвигаться по прямой (рис. 45) при условии, что один из концов свободен.Рис. 45. Цепочка с одним свободным концом (к задаче 26.1)26.2.
Найти свободные колебания N частиц, соединенных пружинкамии могущих двигаться по кольцу (рис. 46). Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой бегущую покольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейнойплотности энергии на групповую скорость.Рис. 46. Замкнутая цепочка на кольце§ 27. Акустические и оптические колебания линейныхцепочекНесколько более сложной оказывается задача о колебаниях цепочки,образованной чередующимися частицами с разными массами m и M .
Число частиц равно 2N . Частицы соединены одинаковыми пружинками жесткости k и могут двигаться вдоль прямой AB, концы цепочки A и B закреплены (рис. 47). Пусть xn — смещение n-й частицы из положения равновесия. Уравнения Лагранжа для этой цепочки имеют видmẍ2n−1 + k(2x2n−1 − x2n−2 − x2n ) = 0,M ẍ2n + k(2x2n − x2n−1 − x2n+1 ) = 0,где n = 1, 2, . .
. , N , а граничные условия таковы:x0 = x2N +1 ≡ 0.Глава III. КОЛЕБАНИЯ114Рис. 47. Цепочка чередующихся частиц с массами m и MИщем решение этой системы уравнений в виде стоячих волн разнойамплитуды для легких и тяжелых частиц:x2n−1 = Aα sin [(2n − 1)ϕα ] cos(ωα t + χα ),x2n = Bα sin [2nϕα ] cos(ωα t + χα ).Подставляя эти выражения в уравнения движения, получаем систему двуходнородных линейных алгебраических уравнений для амплитуд Aα и Bα .Решая ее, находим соотношение между амплитудамиBα =2k − mωα2Aα ,2k cos ϕαα = 1, 2, .
. . , N,и собственные частоты колебаний⎞⎛2k ⎝1 ± 1 − 4μ sin2 ϕ ⎠ ,2ω(±)α=μαmMμ=mM ,m+Mϕα =πα ,2N + 1α = 1, 2, . . . , N.В этом случае выявляются два вида колебаний: так называемые акустические, соответствующие низким частотам ω(−)α из интервала0 < ω(−)α < 2k ,(27.1)Mи оптические, соответствующие высоким частотам ω(+)α из интервала2k < ω2k(27.2)(+)α <mμ(рис. 48). Эти два интервала (1) и (2) образуют разрешенные зоны, разделенные запрещенной зоной2k < ω < 2k(27.3)mM§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочек115(при m M ширина запрещенной зоны оказывается большой). Областьвысоких частотω > 2kμтакже представляет собой запрещенную зону.Рис.
48. Спектр частот для цепочки рис. 47Замечательно, что амплитуды A(−)α и B(−)α , отвечающие акустическим частотам, имеют одинаковые знаки (т. е. соседние частицы (2n − 1)-яи (2n)-я с массами m и M колеблются в одну сторону), a A(+)α и B(+)αдля оптических частот имеют противоположные знаки (т.
е. соседние частицы колеблются в противофазе). Распределение амплитуд колебаний дляслучая N = 10, α = 2, M = 2m показано на рис. 49, где на оси ординатотложены номера частиц, а на оси абсцисс — соответствующие им амплитуды (рис. 49). Отметим, что для акустических колебаний амплитуды A(−)αи B(−)α различаются настолько мало, что практически укладываются наодну и ту же кривую на рис. 49, а.§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочекпод действием гармонической силыРассмотрим вынужденные колебания цепочки рис. 42, возникающиев случае, если правый конец цепочки — точка B — колеблется по законуyB = b cos(γt + χ)вдоль оси y.
Уравнения движения при этом имеют прежний вид (26.3), новместо граничных условий (26.2) теперь будут условияy0 ≡ 0,yN +1 = b cos(γt + χ).(28.1)Глава III. КОЛЕБАНИЯ116Рис. 49. Распределение амплитуд колебаний цепочки рис. 47 для случая N = 10,α = 2, M = 2m: а — для акустических; б — для оптических колебанийПри γ < 2ω0 (в разрешенной зоне) решение естественно искать в видеyn = B sin nϕ cos(γt + χ),(28.2)аналогичном (26.14), так как такое решение удовлетворяет граничномуусловию y0 = 0 и уравнениям движения (26.3), если только фаза ϕ связана с известной частотой γ соотношениемγ 2 = 4ω02 sin2ϕ,2(28.3)аналогичным (26.8).
Чтобы удовлетворить условию на правом конце, необходимоB sin(N + 1)ϕ = b,что дает окончательный ответ для вынужденных колебаний:yn = bsin nϕcos(γt + χ).sin(N + 1)ϕПри γ ω0 из (3) имеем ϕ ≈ γ/ω0 1 иyn ≈ nbcos(γt + χ),N +1(28.4)§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочек117т. е. все частицы колеблются в фазе, а амплитуды колебаний линейно возрастают с ростом номера частицы.
При γ → ωα , где ωα — одна из собственных частот (26.18), непременно ϕ → ϕα = πα/(N + 1), а амплитудыколебаний частиц возрастают до бесконечности, поскольку в знаменателеsin(N + 1)ϕ → sin(N + 1)ϕα = 0. Таким образом, в данной цепочке возникают резонансы на каждой из собственных частот.При γ > 2ω0 (в запрещенной зоне) решение естественно искать в видесуперпозиции решений типа (26.14):(28.5)yn = (−1)n A enψ + B e−nψ cos(γt + χ),которая удовлетворяет уравнениям движения (26.3), еслиγ 2 = 4ω02 ch2ψ.2(28.6)Условие y0 = 0 дает A = −B илиyn = (−1)n 2A sh nψ cos(γt + χ),а из условия на другом конце(−1)N +1 2A sh(N + 1)ψ = bнаходимyn = (−1)N +1−n bsh nψcos(γt + χ).sh(N + 1)ψ(28.7)Конечно, это решение можно было бы получить прямо из решения (4) призамене (26.15).
Амплитуды колебаний убывают к левому концу цепочки,каждая частица колеблется в противофазе с соседними частицами. Приγ 2ω0 имеем γ ≈ ω0 eψ/2 иyn =bcos(γt + χ),(−γ 2 /ω02 )N +1−n(28.8)т. е. амплитуды колебаний убывают экспоненциально к левому концу цепочки.
С учетом (21.4a) этот результат вполне естественен. Действительно,при γ 2ω0 (а значит, и γ ωα ) крайняя правая частица колеблется с малой амплитудой и в противофазе с вынужденной силой, а (N −1)-я частицав первом приближении покоится. Затем можно движение (N − 1)-й частицы рассматривать как вынужденное колебание, вызванное вынуждающейсилой большой частоты со стороны N -й частицы и т. д.Глава III. КОЛЕБАНИЯ118Заметим, что применяемые в радиотехнике длинные цепочки из конденсаторов и индуктивностей описываются такими же уравнениями, каки рассмотренные выше механические цепочки.
С точки зрения радиотехники обсуждаемые цепочки могут рассматриваться как полосовые фильтры,которые хорошо передают энергию от одного конца цепочки к другому в области разрешенных частот и плохо — в области запрещенных.§ 29. Нелинейные колебания. Ангармонические поправкиС ростом амплитуды колебаний оказываются существенными отклонения потенциальной энергии от квадратичного приближения и колебаниястановятся нелинейными. Физика нелинейных колебаний представляет собой обширную область механики.
Мы рассмотрим в этом курсе тольконесколько характерных явлений в этой быстро развивающейся области.29.1. Одномерные нелинейные колебанияРассмотрим простейшие особенности нелинейных колебаний на примере одномерного движения в потенциальном поле. Учтем поправки в потенциальной энергии третьего и четвертого порядков малости по отклонению от положения равновесия и запишем функцию Лагранжа в виде223mβx4,L(x, ẋ) = mẋ − kx − mαx −2234где α и β — постоянные, которые предполагаются малыми. Коэффициентызаписаны в таком виде только для того, чтобы уравнение движения выглядело просто:(29.1)ẍ + ω02 x = −αx2 − βx3 ,где ω02 = k/m.
Решение этого уравнения является периодической функцией времени с периодом T = 2π/ω, зависящим от энергии. Хотя точноерешение (см. (1.4)) и может быть выражено через эллиптические функции,полезным оказываeтся приближенное решение, справедливое при малыхамплитудах колебаний. Чтобы его получить, воспользуемся тем, что решение, как периодическая функция времени, может быть записано в виде рядаФурье:∞an cos nωt.(29.2)x(t) =n=0Коэффициенты разложения an и частота ω могут быть найдены из уравнений движения при заданной энергии, а начало отсчета времени выбрано§ 29.
Нелинейные колебания. Ангармонические поправки119так, что при t = 0 отклонение x экстремально. Удобно, однако, считатьнезависимо задаваемым параметром не энергию, а амплитуду основной гармоникиa1 ≡ a,а остальные амплитуды и частоту выражать через нее. Разностьδω = ω − ω0зависит от амплитуды a и называется нелинейным сдвигом частоты.Если подставить решение в виде бесконечного ряда Фурье в уравнение и выразить все степени косинуса в его правой части через более высокие гармоники, то, приравнивая коэффициенты в правой и левой частяхуравнения при одинаковых гармониках, мы получим бесконечную систему нелинейных уравнений, в каждое из которых входило бы бесконечноечисло неизвестных коэффициентов an и неизвестная частота ω.Естественно ожидать, что при малой нелинейности решение мало отличается от гармонических колебаний.
Будем искать приближенное решение этой системы методом последовательных приближений. В этом методе решение нелинейной задачи сводится к последовательному вычислениюпоправок все более высокого порядка по a. Ограничимся вычислением смещения x до третьего порядка по a включительно и сдвига частоты до второго порядка по a. В качестве первого приближения берем гармоническиеколебания:x(1) = a cos ωtс неизвестной частотой ω, которая мало отличается от ω0 и будет находиться из последующих приближений.Для получения второго приближения подставляем x(1) с неизвестнойчастотой в малую правую часть уравнения (1) и выражаем степени косинуса через косинусы гармоник:11 13+ cos 2ωt,cos3 ωt = cos ωt + cos 3ωt.2 244Уравнение приобретает вид уравнения с заданной вынуждающей силой,содержащей все гармоники до третьей включительно:cos2 ωt =11ẍ + ω02 x = − αa2 (1 + cos 2ωt) − βa3 (3 cos ωt + cos 3ωt) .24Ищем его частное решение в виде суммы гармоник по третью включительно:(2)(2)(2)x(2) (t) = a0 + a cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt.Глава III.
КОЛЕБАНИЯ120Выписывая условия равенства коэффициентов при одинаковых гармоникахв правой и левой частях уравнения, получаем2(2)ω02 a0 = − αa ,2(ω 2 − ω02 )a = 3 βa3 ,4(2)(4ω 2 − ω02 )a2 = 1 αa2 ,2(2)(9ω 2 − ω02 )a3 = 1 βa3 .4(29.3)(29.4)(29.5)(29.6)В уравнение (4) входит только неизвестная частота ω. Считая нелинейный сдвиг частоты малым, так чтоω 2 − ω02 = 2ω0 (ω − ω0 ),находимδω (2) = ω − ω0 =3βa2.8ω0Амплитуды гармоник находим из уравнений (3), (5) и (6), пренебрегая различием частот ω0 и ω:(2)2a0 = − αa2 ,2ω02(2)a2 = αa2 ,6ω0(2)a3 =βa3.32ω02(29.7)Таким образом, во втором приближении мы получили амплитуды нулевойи второй гармоник и поправку к частоте во втором порядке по a и амплитуду третьей гармоники в третьем порядке по a.Теперь второе приближение можно подставить в нелинейную частьуравнения, получить третье приближение и, продолжая так, будем находить амплитуды все более высоких гармоник, которые будут иметь все более высокие порядки малости по a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
