1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 21
Текст из файла (страница 21)
, qk , pk ), qk+1 , pk+1 , . . . , qs , ps ),(33.23)то f (q1 , p1 , . . . , qk , pk ) есть интеграл движения.Пример 2. Движение частицы в поле диполя (14.11). В сферическихкоординатах с осью z, направленной вдоль оси диполя, гамильтониан имеетвид (ср. (33.10))H=1p2r+f (θ, pθ , ϕ, pϕ ),2m 2mr 2f = p2θ +p2ϕsin2 θ+ 2ma cos θ.Согласно предыдущему, функция f есть интеграл движения, с учетом (8.9)его можно переписать в видеf = M2 + 2ma cos θ.(33.24)Кроме того, в данной задаче интегралами движения являются энергия E,обобщенный импульс pϕ и величина (14.13).Задачи33.1.
Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого22 2L(x, ẋ) = mẋ − mω x − αx3 + βxẋ2 .2233.2. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равнаH(p, r) =где a — постоянный вектор.p2− pa,2m§ 34. Вариационный принцип для уравнений Гамильтона14133.3. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой2mω02 x2mω02 x2p2p2H(p, x) =++λ+.2m22m233.4.
Найти сечение падения частиц в центр поляU (r) = ar3 ,rгде a — постоянный вектор. Скорость частиц на бесконечности составляетугол α с вектором a.§ 34. Вариационный принцип для уравнений ГамильтонаУравнения Лагранжа можно получить из принципа наименьшего действия (см. § 9).
Уравнения Гамильтона также можно получить как уравнения Эйлера некоторой вариационной задачи.Образуем функциюΛ(q, p, q̇, t) =spi q̇i − H(p, q, t),(34.1)i=1в которой qi и pi будем рассматривать как независимые переменные, такчто их вариации δqi и δpi также считаются независимыми. Обратим внимание на то, что функция Λ(q, p, q̇, t) не зависит от ṗ. Пусть система частиц(1)(1)в момент времени t1 находится в точке A(q1 , . .
. , qs ), а в момент време(2)(2)ни t2 — в точке B(q1 , . . . , qs ). При этом предполагается, что вариациикоординат в точках A и B равны нулю2δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,i = 1, 2, . . . , s.(34.2)Тогда можно утверждать, что движение системы между этими двумя точками происходит по такому закону qi (t), pi (t), чтобы при подстановке этихфункций qi (t), pi (t) в интегралt2Λ(q, p, q̇, t) dtΣ=(34.3)t12 Вариацииобобщенных импульсов в моменты времени t1 и t2 могут быть произвольными.Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА142он принимал экстремальное значение, т. е.
чтобы вариация δΣ = 0. Действительно, так какδΣ =t2 s t1 i=1∂Λd ∂Λ−∂qidt ∂ q̇ist2∂Λ∂Λδpi dt +δqi , (34.4)δqi +∂pi∂ q̇it1i=1то с учетом граничных условий (2) и независимости вариаций координати импульсов получаем уравнения Эйлера этой вариационной задачи:d ∂Λ∂Λ−= 0,∂qidt ∂ q̇i∂Λ= 0,∂pii = 1, 2, . . . , s.(34.5)Они совпадают с уравнениями Гамильтона, так как∂H∂Λ=−,∂qi∂qi∂Λ= pi ,∂ q̇i∂Λ∂H= q̇i −.∂pi∂pi(34.6)Сравним вариационный принцип δΣ = 0 и принцип наименьшего действия δS = 0 (см.
§ 9). Если определять зависимость pi (t) из уравненийpi = ∂L/∂ q̇i , то функция Λ совпадает с функцией Лагранжа, а Σ — с действием S. В действительности же, в вариационном принципе δΣ = 0 импульсы являются независимыми переменными (как и координаты) и независимыми являются также вариации δqi и δpi . Иными словами, класс «допущенных к конкурсу» функций pi (t) для принципа δΣ = 0 является гораздоболее широким, чем в принципе наименьшего действия δS = 0, для которого вариации δpi (t) полностью определяются через вариации координати их производных по времени.§ 35. Скобки ПуассонаПусть функция Гамильтона H(p, q, t) задана. Вычислим полную производную по времени от произвольной функции координат, импульсов и времени f (q, p, t). Дифференцируя f по времени как сложную функцию и выражая q̇i , ṗi из уравнений Гамильтона, получаемs df (q, p, t)∂f ∂H ∂f∂H ∂f=+−.(35.1)dt∂t∂pi ∂qi∂qi ∂pii=1Билинейная комбинация частных производных, возникшая в уравнении (1),как мы увидим далее, постоянно встречается и играет важную роль в исследовании задач гамильтоновой механики.
Эта комбинация называется скобкой Пуассона и имеет специальное обозначение.§ 35. Скобки Пуассона14335.1. Определение и основные свойстваПусть f = f (q, p, t) и g = g(q, p, t) — произвольные функции обобщенных координат, импульсов и времени. Скобка Пуассона {f, g} определяетсяследующим образом:{f, g} ≡s ∂f ∂g∂f ∂g−.∂pi ∂qi∂qi ∂pii=1(35.2)Скобки Пуассона обладают рядом легко проверяемых с помощью определения (2) свойств:{f, c} = 0, если c = const,{f, g} = −{g, f },{f1 + f2 , g} = {f1 , g} + {f2 , g},{f1 f2 , g} = f1 {f2 , g} + {f1 , g}f2 , ∂ {f, g} = ∂f , g + f, ∂g ,∂t∂t∂t∂f∂f, {qi , f } = −,∂qi∂pi{pi , pj } = {qi , qj } = 0, {pi , qj } = δij .{pi , f } =Пользуясь этими свойствами, можно вычислять значение скобок Пуассона, не обращаясь к их определению, по крайней мере для полиномиальных функций f и g.Теперь уравнение (1) можно переписать в виде∂fdf (q, p, t)=+ {H, f } ,dt∂t(35.3)и, в частности, сами уравнения Гамильтона (33.8) записать единообразнымспособом:q̇i = {H, qi }, ṗi = {H, pi }.(35.4)С помощью скобок Пуассона можно даже получить общее решение уравнений Гамильтона, правда, только формально в виде ряда по степеням времени, прошедшего с начала движения (см.
[3, задача 10.23]).Пример. Рассмотрим скобки Пуассона для компонент скорости частицы в магнитном поле и для координат центра орбиты. Пусть магнитноеГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА144поле задано векторным потенциалом A(r, t). Согласно (10.5), компонентыскоростиpie A,vi = m − mciпоэтому{vi , vj } = − e2 ({pi , Aj } + {Ai , pj }) =m c3∂Aj∂Aiee=− 2−eijk Bk ,=− 2∂xjm c ∂xim c k=1где B = rot A — магнитное поле, а eijk — полностью антисимметричныйединичный тензор третьего ранга.Будем считать далее магнитное поле однородным и постоянным и рассматривать только движение частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Выберем ось z вдоль вектора B. Тогда отлична от нуляскобка Пуассона{vx , vy } = −eBzω,= −mm2 ceB .ω = mc(35.5)Частица движется по окружности с центром в точке (x0 , y0 ) с угловой скоростью ω = −(e/mc)B (см.
(33.16)–(33.20)), при этомvyx0 = x − ω ,vy0 = y + ωx .(35.6)Учитывая, что {mvi , xj } = δij , находим скобку Пуассона для координатцентра орбиты:1 .(35.7){x0 , y0 } = mω35.2. Тождество Якоби и теорема ПуассонаДля любых трех функций координат и импульсов f (q, p), g(q, p),h(q, p) справедливо соотношение{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0,(35.8)называемое тождеством Якоби.Для доказательства удобно использовать следующий формальный прием. Положим, что h(q, p) есть «гамильтониан» некоторой воображаемой механической системы. Фактически это предположение означает всего лишь,§ 35. Скобки Пуассона145что развитие qi и pi в зависимости от воображаемого «времени» τ (никак не связанного с реальным временем t) определяется «каноническимиуравнениями»dqi∂h∂hdpi==−,,(35.9)dτ∂pidτ∂qiиз которых можно найти qi и pi как функции τ , а значит, и f (q(τ ), p(τ ))и g(q(τ ), p(τ )) как функции τ .
При этом в согласии с (3)df= {h, f },dτdg= {h, g},dτd{f, g}= {h, {f, g}} .dτ(35.10)Используя далее свойства скобок Пуассона, находимd{f, g}=dτdf,gdτdg+ f,.dτ(35.11)Подставляя в это соотношение формулы (10), получаем тождество Якоби (8).Тождество Якоби (8) остается справедливым и в том случае, еслифункции f, g, h имеют также явную зависимость от времени (т. е. если f == f (q, p, t), g = g(q, p, t), h = h(q, p, t)). В этом случае время t являетсяпараметром, не имеющим отношения к вычислению частных производныхпо переменным p и q.Более прямой (но и более громоздкий) способ доказательства тождества Якоби приведен, например, в [1, § 41].Теорема Пуассона.
Пусть механическая система имеет два интеграладвижения f (q, p, t) и g(q, p, t). Тогда скобка Пуассона h = {f, g} такжеявляется интегралом движения этой системы.Действительно, из условий∂fdf=+ {H, f } = 0,dt∂t∂gdg=+ {H, g} = 0,dt∂tтождества Якоби (8) и свойств скобок Пуассона сразу же следует равенствоdh = ∂h + {H, h} = 0.dt∂tГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА146В качестве примера рассмотрим интегралы движения для частицыв поле изотропного трехмерного осциллятора U (r) = kr 2 /2.
Как известно (см. § 4), в таком поле сохраняется момент импульсаM = (0, 0, M ),M = xpy − ypx ,и энергии колебаний по осям x и y:2p2yp2xky 2+ kx ,Ey =+.2m22m2Согласно теореме Пуассона, интегралом движения является величинаpx pyN = {Ex , M } = m + kxy,Ex =что уже было отмечено ранее (см. (4.7)), а также величина {Ey , M } = −N .Повторное применение теоремы Пуассона не приводит к новым интеграламдвижения, такk M.{Ex , N } = −{Ey , N } = − mЗадачи35.1. Вычислить скобки Пуассона:а) {Mi , xj }, {Mi , pj }, {Mi , Mj };б) {ap, br}, {aM, br}, {aM, bM};в) {M, rp}, {p, r n }, {p, (ar)2 }.Здесь xi , pi , Mi — декартовы компоненты векторов, a и b — постоянные векторы.35.2. Показать, что:а) {Mz , ϕ} = 0, где ϕ — любая скалярная функция координат и импульсов частицы ϕ = ϕ(r2 , p2 , (rp));б) {Mz , f } = [n, f ], где n — единичный вектор в направлении оси z,а f — векторная функция координат и импульсов частицы, т.
е. f = r ϕ1 ++ p ϕ2 + [r, p] ϕ3 и ϕi = ϕi (r2 , p2 , (rp)).§ 36. Канонические преобразованияОдна из привлекательных черт лагранжева формализма — ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразований обобщенных координат, т.
е. перехода от одних обобщенных координат qi к любым другим Qi :i = 1, . . . , sqi = qi (Q, t),§ 36. Канонические преобразования147(конечно, при этом требуется, чтобы преобразование было невырожденным:∂(q1 , . . . , qs )= 0).∂(Q1 , . . .
, Qs )В гамильтоновом подходе аналогичное свойство отсутствует: при произвольном переходе от «старых» координат и импульсов qi , pi к «новым»Qi , Pi , т. е. при заменеqi = qi (Q, P, t),pi = pi (Q, P, t),i = 1, . . . , s,(36.1)уравнения Гамильтона, вообще говоря, не сохраняют свой вид. Но средивсех преобразований вида (1) имеется специальный класс так называемыхканонических преобразований, которые не только сохраняют вид уравненийдвижения, но и обладают целым рядом других привлекательных свойств.36.1.
Определение канонического преобразования. ПроизводящаяфункцияПрежде чем дать определение канонического преобразования, сделаем два предварительных замечания. Первое замечание: преобразование вида (1) касается только координат и импульсов, время t является параметромэтого преобразования3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
