1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(39.6)iiЗдесь подразумевается, что энергия E(t), координаты qi (t) и импульсы pi (t)рассматриваются как функции времени на истинной траектории движениясистемы.С другой стороны, согласно условию теоремы, S12 = S1 2 , так что мыполучаем интеграл движенияE(t) · h(q(t), t) −si=1pi (t) · fi (q(t), t) = const.(39.7)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА162§ 40. Теорема Лиувилля40.1. Инвариантность фазового объема относительно каноническихпреобразованийПусть замкнутая (2s − 1)-мерная поверхность выделяет в 2s-мерномфазовом пространстве с координатами p1 , . .
. ps , q1 , . . . qs некоторую область Ω. Назовем фазовым объемом этой области интегралΓ = dp1 . . . dps dq1 . . . dqs .ΩПри произвольном преобразовании от переменных q, p к переменным Q, Pобласть Ω переходит в область Ω в новых переменных и интеграл преобразуется к видуΓ = D dP1 . . . dPs dQ1 . .
. dQs ,ΩгдеD=∂(p, q)∂(P, Q)— якобиан преобразования. Здесь и далее буквой p обозначена совокупность переменных p1 , . . . , ps и аналогично для q, P и Q. С другой стороны,фазовый объем области Ω равенΓ = dP1 . . . dPs dQ1 . . . dQs .ΩДокажем, что если преобразование каноническое, то D = 1 и фазовыйобъем не зависит от выбора координат: Γ = Γ.Выполним преобразование координат в два этапа. Вначале перейдемот переменных p, q к переменным P, q, а только затем к переменным P, Q.Якобиан полного преобразования равен произведению якобианов последовательных этапов:∂(p, q) ∂(P, q).D=∂(P, q) ∂(P, Q)В каждом из сомножителей переменные, не изменяющиеся при замене,можно опустить, что в нашем случае означает переход к матрицам вдвоеменьшего размера.
Кроме того, учитывая, что якобианы взаимно обратных§ 40. Теорема Лиувилля163преобразований сами взаимно обратны, и переходя к обратному якобиануво втором сомножителе, получаем∂(p) ∂(q) D=.(40.1)∂(P ) ∂(Q) q=constP =constВоспользуемся теперь тем, что итоговое преобразование q, p → Q, P каноническое, и будем считать, что оно задано производящей функцией Φ(q, P ).Выражая через нее матричные элементы якобианов, стоящих в числителеи знаменателе, получаем2∂pi= ∂ Φ ,∂Pk∂qi ∂Pk2∂Qi= ∂ Φ .∂qk∂qk ∂PiМатрицы в числителе и знаменателе равенства (1) взаимно транспонированы, их определители равны и поэтому D = 1, что и требовалось доказать.Пусть каждая точка выделенного фазового объема движется согласноуравнениям движения данной механической системы.
Как было показанов § 39.2, такое движение можно рассматривать как каноническое преобразование. Отсюда следует важная в приложениях теорема Лиувилля: придвижении любой гамильтоновой системы фазовый объем не изменяется.Иными словами, движение точек фазового пространства подобно движению частиц несжимаемой жидкости6 .Примеры, иллюстрирующие движение точек, изображающих состояние системы в фазовом пространстве, рассмотрены в [3, задача 11.24д].40.2. Фокусирующая линзаРассмотрим движение группы частиц, проходящих через электростатическую линзу.
В этом случае благодаря теореме Лиувилля можно сделать важные качественные заключения, касающиеся движения частиц, даже не зная деталей движения. Пусть слева на рис. 58 вдоль оси z движетсясгусток заряженных частиц, имеющих одинаковую проекцию импульса наось z и небольшой разброс как по поперечной координате x, так и по поперечному импульсу px . Для упрощения анализа рассмотрим только частицы,траектории которых лежат в плоскости xz.В узком слое в окрестности точки z = 0 на частицы действуют электрические поля, отклоняющие их только в плоскости xz. Этот слой и назы6 Для декартовых координат теорема Лиувилля справедлива не только в фазовом пространстве, но и в пространстве координат и скоростей.164Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКАРис. 58.
Движение частиц в области фокусирующей линзы: пунктирные линии соответствуют моментам времени, когда пучок находится перед линзой (линия 1), сразупосле нее (линия 2), в районе фокуса (линия 3), после него (линия 4)вается электростатической линзой. Пусть поля слабые, так что углы отклонения θx = px /pz малы, |θx | 1, и можно принять для каждой частицыpz ≈ const. Можно ли создать такую конфигурацию поля, чтобы одновременно уменьшить разброс частиц как по поперечной координате x, так и попоперечному импульсу px (т.
е. по углам θx )?Теорема Лиувилля запрещает такую фокусировку. Действительно,пусть H(px , pz , x, z, t) — гамильтониан системы. Считая pz = const и подставляя z = pz t/m, получаем гамильтониан одномерного поперечного движения. Начальному разбросу частиц по x, px соответствует некоторая область на фазовой плоскости. Одновременной фокусировке по координате и импульсу после прохождения линзы соответствовало бы уменьшениеэтой площади, что невозможно в силу теоремы Лиувилля.Рассмотрим преобразование области на фазовой плоскости при прохождении через конфигурацию поля, работающую как фокусирующая линза, т. е. сжимающую широкий по оси x пучок в узкий пучок. На рис. 59 показана фазовая плоскость x, px для поперечного движения.
Пусть эллипс 1представляет собой область, где сосредоточены изображения частиц падающего пучка перед линзой. После прохождения линзы резко возрастает разброс по углам при неизменном размере пучка (см. эллипс 2). Затем наблюдается свободное движение в поперечном направлении, ведущее к сжатиюпучка (эллипс 3), а затем — вновь к расширению пучка (эллипс 4).
Послепрохождения линзы разброс по углам остается неизменным. Зависимостьконцентрации частиц в пучке от z можно описывать, пользуясь формуламииз [3, задача 11.24е].Задача40.1. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихсявдоль оси x частиц? В начальный момент координаты частиц заключены§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби165Рис. 59. Области фазового пространства, занятые пучком частиц в разные моментывремени: 1–2–3–4в интервале x0 < x < x0 + Δx0 , а импульсы — в интервале p0 < p < p0 ++ Δp0 .б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси x между двумястенками.
Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не взаимодействуют.в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби41.1. Уравнение Гамильтона–Якоби. Метод разделения переменныхДействие S(q, t, q (1) , t1 ) удовлетворяет уравнению, которое легко получить, если в соотношение (39.2)∂S= −H(p1 , p2 , .
. . , ps , q1 , q2 , . . . , qs , t)∂tвместо pi подставить его выражение pi = ∂S/∂qi из формулы (39.3). В итоге получим уравнение Гамильтона–Якоби∂S∂S∂S+H,...,, q1 , . . . , qs , t = 0,(41.1)∂t∂q1∂qsаналогичное уравнению эйконала для световых лучей. Оказывается, чтос его помощью также можно решить задачу о движении механической системы.
Для этого нужно найти полный интеграл уравнения (1) — функцию, удовлетворяющую ему и зависящую от s произвольных парамет-Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА166ров α1 , . . . , αs (не считая несущественной аддитивной (s + 1)-й постоянной αs+1 ):(41.2)S = f (q1 , . .
. , qs , α1 , . . . , αs , t) + αs+1 .Тогда нахождение qi (t) и pi (t) сведется к решению только алгебраическихуравнений.Чтобы показать это, примем f (q, α, t) за производящую функцию канонического преобразования, а αi — за новые импульсы. Тогда каноническоепреобразование(41.3)qi = qi (α, β, t), pi = pi (α, β, t)определяется соотношениями∂f= pi ,∂qi∂f= βi ,∂αi(41.4)где через βi обозначены новые координаты.
Новый гамильтонианH (α, β, t) = H +∂f∂tсогласно (1), (2) оказывается тождественно равным нулю: H (α, β, t) = 0.Новые канонические переменные в силу уравненийα̇i = −∂H = 0,∂βiβ̇i =∂H =0∂αiоказываются интегралами движения, а уравнения (3) определяют закон движения, причем параметров α, β как раз достаточно, чтобы удовлетворитьначальным условиям. Таким образом, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, то дальнейшее нахождение qi (t) и pi (t) являетсяуже чисто алгебраической задачей.Как же находить полный интеграл уравнения Гамильтониана–Якобии всегда ли это возможно? Это возможно во всех случаях, когда задача интегрирования уравнений движения сводится к квадратурам.
Однако такиеслучаи можно считать, скорее, исключениями. Представляющие наибольший физический интерес примеры перечислены в [1, § 48]. В частности,это задачи о движении частицы в поле пары неподвижных кулоновскихцентров, в кулоновском поле с добавлением однородного поля. При этомуспех достигается удачным выбором криволинейных координат. Полныйинтеграл уравнения Гамильтона–Якоби находится методом разделения переменных.
Если гамильтониан не зависит от времени явно, то можно искать S в виде(41.5)S(q1 , . . . , qs , t) = −Et + S0 (q1 , . . . , qs ),§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби167где S0 (q1 , . . . , qs ) называется укороченным действием. Для него получаемуравнение∂S0∂S0H,...,, q1 , . . . , qs = E.(41.6)∂q1∂qsДалее представляем функцию многих переменных S0 (q1 , .
. . , qs ) в видесуммы функций одной переменнойsS0 (q1 , . . . , qs ) =Si (qi ).(41.7a)i=1Подставив это выражение в (6), получим вместо уравнения в частных производных уравнениеdS1 (q1 )dSs (qs ),...,, q1 , . . . , qs = E,Hd q1d qsсодержащее лишь полные производные функций dSi (qi )/d qi . Решение этого уравнения имеет вид(41.7b)Si (qi ) = pi (qi ) dqi ,где pi (qi ) — известная функция соответствующей координаты. Ясно, чтоуравнение (6) имеет решение такого вида отнюдь не всегда, о чем и шларечь выше.41.2. Движение релятивистской частицы в поле U (r) = − αrРасмотрим подробнее применение метода разделения переменных напримере движения релятивистской частицы в кулоновском поле.В этом случае гамильтониан имеет вид (33.12):H(p, r, t) = p2 c2 + m2 c4 − αr,где релятивистский импульсp = mv.1 − (v/c)2При движении в центральном поле сохраняются релятивистские энергия Eи момент импульса M:E=p2 c2 + m2 c4 − αr,m [r, v]M = [r, p] = .1 − (v/c)2Глава IV.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
