1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Покажем, что(pi dqi − Pi d Qi )iесть полный дифференциал (при фиксированном значении времени t == const) некоторой функции F . Перейдем к переменным Q, P : ∂qi∂qi(pi dqi − Pi d Qi ) =pidQk +dPk −Pi d Qi . (37.7)∂Qk∂PkiiikЧтобы это выражение было полным дифференциалом dF , достаточно, какизвестно, выполнение следующих равенств:∂2F∂2F=,∂Qj ∂Ql∂Ql ∂Qj∂2F∂2F=,∂Pj ∂Pl∂Pl ∂Pj∂2F∂2F=.∂Pj ∂Ql∂Pl ∂QjРассмотрим последнее равенство.
Из него следует, что ∂qi ∂qi∂∂pi− Pl =pi∂Pj∂Ql∂Ql∂Pjii(37.8)§ 38. Примеры канонических преобразованийили[Pj , Ql ]p,q ∂pi ∂qi∂pi ∂qi≡−= δjl .∂Pj ∂Ql∂Ql ∂Pji155(37.9a)Введенная здесь величина [f, g]p,q называется скобкой Лагранжа. Изостальных равенств (8) аналогично получаем[Qj , Ql ]p,q = 0,[Pj , Pl ]p,q = 0.(37.9b)Таким образом, если для скобок Лагранжа от новых переменных Q, P справедливы соотношения (9), то данное преобразование является каноническим.Следующий шаг состоит в переходе от скобок Лагранжа к скобкам Пуассона, которые являются как бы «обратными величинами» скобокЛагранжа.
Обозначим u1 = Q, u2 = Q2 , . . . , us = Qs , us+1 = P1 , . . . , u2s == Ps и введем две квадратные 2s × 2s матрицы L̂ и P̂ , элементы которыхсутьLij = [ui , uj ], Pij = {ui , uj }; i, j = 1, 2, . . . , 2s.Нетрудно показать (см. [2, § 8.4]), что эти матрицы взаимно обратны, т. е.L̂ P̂ = Ê или L̂−1 = P̂ , где Ê — единичная матрица. После этого почтиочевидно, что из равенств (5) следуют соотношения (9).§ 38. Примеры канонических преобразованийПример 1. Используя условия (37.5), легко показать, что линейное преобразованиеQ = α x + β p, P = γ x + δ p,(38.1)где α, β, γ, δ — комплексные числа или функции времени, является каноническим, если{P, Q}p,x = αδ − βγ = 1.Пример 2. Частным случаем преобразования (1) является поворот наугол ϕ в плоскости x, p/(mω) (рис.
56). Для гармонического осциллятораx = A cos(ωt + ϕ0 ),p = −mωA sin(ωt + ϕ0 )(38.2)такой поворот (по часовой стрелке!) с ϕ = ωt приводит к новым каноническим переменнымQ = A cos ϕ0 ,P = −mωA sin ϕ0 ,Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА156Рис. 56. Поворот на угол ϕ по часовой стрелке на плоскости x, p/(mω) — каноническое преобразованиене зависящим от времени, и к новому гамильтониануH = 0.Такие простые канонические переменные и тривиальный вид нового гамильтониана интересны не сами по себе, а как первый шаг для построениятеории возмущений в случае, если исходный гамильтониан отличается отгамильтониана гармонического осциллятора малыми добавками (см., например, [3, задача 11.28]).Пример 3.
В квантовой теории гармонического осциллятора важнуюроль играют следующие комбинации координат и импульсов:a=mωx + ip√,2mωa∗ =mωx − ip√2mω(38.3)(им соответствуют операторы уничтожения и рождения квантов). Можноубедиться, что(38.4)Q = a, P = ia∗являются каноническими переменными. Для гармонического осциллятора(2) новые канонические переменные зависят от времени следующим образом:mωmωA e−i(ωt+ϕ0 ) ,A e+i(ωt+ϕ0 ) , (38.5a)P = ia∗ = iQ=a=22а новый гамильтониан имеет простой видH = ωa∗ a = −iωQP.(38.5b)§ 38. Примеры канонических преобразований157Легко сообразить, что каноническими переменными являются такжевеличиныaeiωt и ia∗ e−iωt .Для гармонического осциллятора (2) такие величины не зависят от времени, а новый гамильтониан H = 0. Об использовании таких переменныхв ряде задач о нелинейных колебаниях см.
[3, задачи 11.25, 11.27].Пример 4. Для частицы в однородном магнитном поле, направленномпо оси z, введем переменныеPX = px = mvx ,PY = py = mωx0 ,vypyX = x − mω = − ω ,pxY = y − mω = y0(см. пример 1 в § 33.2). Легко проверить, вычисляя фундаментальные скобки Пуассона, что переход к этим переменным от x, y, px , py — каноническое преобразование.Если магнитное поле постоянно, то новая функция Гамильтона сведется к осцилляторной:22 2P2H(PX , PY , X, Y ) = mv = X + mω X .22m2Пример 5.
С помощью канонического преобразования, представляющего собой поворот на один и тот же угол в плоскости x, py /(mω) и плоскости y, px /(mω), можно привести гамильтониан трехмерного анизотропного гармонического осциллятора в однородном магнитном поле к суммеквадратов (см. [3, задачи 11.7–11.9]).Задача38.1. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которогоH=2 2p2+ mω x + αx32m2и |αx| mω 2 .Выполнить каноническое преобразование, близкое к тождественному,с помощью производящей функцииΦ(x, P, t) = xP + ax3 + bx2 P + cxP 2 + dP 3 .Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА158Покажите, что можно использовать a = c = 0 и подобрать параметры b и dтак, чтобы новая функция Гамильтона сводилась к функции Гамильтонагармонического осциллятора с точностью до членов третьего порядка поновым переменным Q и P включительно. Найти x(t).§ 39. Действие вдоль истинной траектории как функцияначальных и конечных координат и времениРассмотрим частицу, имеющую в начальный момент t1 обобщеннуюкоординату q (1) (точка 1 на рис.
57). Различным значениям скорости в начальный момент времени отвечают различные законы движения — кривыеa, b, c . . . . Пусть точке 2 на рис. 57 c координатой q и временем t соответствует некоторая кривая a. Интеграл2S12 =L(q, q̇, t) dt,(39.1a)1взятый вдоль кривой a от точки 1 до точки 2, является (при фиксированномзначении t1 и q (1) ) функцией конечной точки 2, т. е.S12 = S(q, t).(39.1b)Эту функцию мы и будем рассматривать далее.
В отличие от интеграловдействия, рассматриваемых в вариационных принципах, в (1) используетсяистинный закон движения q(t).Оказывается, с использованием этой функции можно развить еще одинспособ решения задач механики, который отличается от подходов Ньютона, Лагранжа, Гамильтона. Этот подход позволяет провести аналогию между задачами механики и оптики (см. далее § 41.3). Более того, функцияS(q, t) полезна и в квантовой механике, где в квазиклассическом приближении величина S(q, t)/h̄ совпадает с фазой волновой функции (здесь h̄ —постоянная Планка).
Разберем подробнее свойства S(q, t).39.1. Свойства S(q, t)Найдем частные производные функции S(q, t). Начнем с ∂S/∂t. Дляэтого вспомним принцип наименьшего действия и рассмотрим два различных пути, ведущих из точки 1 в точку 3 c координатой q и временем t + dt:один путь вдоль кривой истинного движения b (вклад этого пути в действие§ 39.
Действие вдоль истинной траектории159Рис. 57. К определению действия как функции координат и времени и ее частныхпроизводныхесть S(q, t + dt)), второй путь состоит из участка 1 → 2 вдоль кривой истинного движения a (вклад этого участка в действие равен S(q, t)) и малогоучастка 2 → 3, вклад которого в действие равен Ldt. Вспоминая соотношениеL = pq̇ − Hи учитывая, что на участке 2 → 3 величина q̇ = 0, получаем= −Hdt.Ldt2→3Согласно принципу Гамильтона, δS = 0, т. е. первый и второй пути дают одинаковый с точностью до малых величин ∼ dt включительно вкладв действие.
ПоэтомуS(q, t + dt) = S(q, t) − Hdt,откуда получаемS(q, t + dt) − S(q, t) = −Hdt,или∂S= −H.(39.2)∂tЧтобы найти ∂S/∂q, рассмотрим приращение S(q, t) при переходе отточки (q, t) (точка 2 на рис. 57) к точке (q + dq, t) (точка 4 на рис. 57).Приравниваем4S(q + dq, t) = Ldt1Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА160вдоль кривой c и вдоль «пробного» пути, состоящего из участка 1 → 2кривой a и малого участка 2 → 4.
Строго говоря, путь 1 → 2 → 4 недолжен быть «допущен к конкурсу» в принципе наименьшего действия,так как на участке 2 → 4 величина q̇ обращается в бесконечность. Нодопустима зависимость q(t), сколь угодно близкая и притом достаточногладкая. Поэтому для участка 2 → 4 можно принятьdt → 0,q̇ → ∞,q̇ dt = dq.Вклад в действие этого участкаLdt2→4 = (pq̇ − H)dt = pdq − Hdtсводится к pdq. Итак,S(q + dq, t) = S(q, t) + pdq,откуда ∂S/∂q = p. В случае нескольких степеней свободы, действуя так же,получаем∂S= pi .(39.3)∂qiАналогично можно рассматривать действие как функцию координат(1)qi и времени t1 начала движения.
В итоге получаем (1) (1)dS(q, t, q (1) , t1 ) =pi dqi − Hdt −pi dqi + H (1) dt1 .(39.4)ii39.2. Движение системы как каноническое преобразованиеФункция S(q, t, q (1) , t1 ) могла бы быть реально найдена лишь послетого, как найден закон движения qi (t). Но сам факт существования этойфункции позволяет сделать определенные общие заключения о движениисистемы, задаваемом уравнениями Гамильтона. Например, можно утверждать, что переход от начальных значений координат и импульсов к ихзначениям спустя время τ является каноническим преобразованием5 .
Соответствующая производящая функцияF (q (1) , q, t) = −S(q, t + τ, q (1) , t),(39.5)где q (1) рассматривается как старые, а q — как новые координаты. С учетом(4) можно видеть, что при этом преобразовании происходит также переходот старого гамильтониана H (1) к новому H.5 Этотфакт отмечался ранее — см. (36.19).§ 39.
Действие вдоль истинной траектории16139.3. Доказательство теоремы НётерНайденные выше свойства S(q, t, q (1) , t1 ) позволяют сравнительнопросто доказать теорему Нётер, формулировка которой дана в § 14.3. Пустьqi = gi (t), i = 1, . . . , s, описывает истинное движение системы. Рассчитанное вдоль этой траектории действие есть функция начальных и конечных координат и времени:2 dg(t)(2)(1), t dt.S12 ≡ S(q , t2 , q , t1 ) = L g(t),dt1Так как вид действия не изменяется при переходе к переменным qi , t ,равенства qi = gi (t ) также описывают действительное движение системы.Выраженные в переменных qi , t с точностью до первого порядка по ε, этиравенства имеют видqi + δqi = gi (t + δt),гдеδqi = εfi (q(t), t),Соответствующее действие2 S1 2 =1δt = εh(q(t), t).dg(t ) L g(t ),,tdtdt == S(q (2) + δq (2) , t2 + δt2 , q (1) + δq (1) , t1 + δt1 ).Малые изменения координат и времени начала и конца движения припереходе от траектории g(t) на участке 12 к траектории g(t ) на участке 1 2приводят к изменению действия (4):(2)(1)S1 2 − S12 =pi (t2 )δqi − E(t2 )δt2 −pi (t1 )δqi + E(t1 )δt1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
