1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности, импульс p = p(q, E, λ) находится из уравненияH(p, q, λ) = E(42.21)при фиксированном значении λ. После этого определяется укороченноедействие S0 (q, E, λ) и производящая функция Φ(q, I, λ).Новая функция Гамильтона согласно (36.16) равна∂Φ(q, I, λ)=∂t∂Φ(q, I, λ)= E(I, λ) + λ̇.∂λH (I, w, λ) = E(I, λ) +(42.22)В этом выражении переменная q в функции ∂Φ(q, I, λ)/∂λ должна быть заменена на q = q(w, I), найденное из равенств (12). Обозначим полученнуютаким образом функцию черезΛ(I, w, λ) =∂Φ(q, I, λ) .∂λq=q(w,I)(42.23)Отметим сразу же, что функция Λ(I, w, λ) является (в отличие отΦ(q, I, λ)) однозначной функцией8 переменной w. Действительно, дифференцирование функции Φ(q, I, λ) по λ совершается при фиксированномзначении I, поэтому добавка 2πI, возникающая после каждого периода колебаний (см. формулы (9), (10)), исчезает.Окончательно получаем новую функцию ГамильтонаH (I, w, λ) = E(I, λ) + λ̇ Λ(I, w, λ)(42.24)8 Если параметр λ не изменяется с течением времени, то движение системы является периодическим и однозначная функция Λ(I, w, λ) является периодической функцией переменной w.§ 43.
Адиабатические инварианты177и уравнения Гамильтона для новых переменных (ср. (14), (18))I˙ = −λ̇ ∂Λ ,∂wẇ = ω + λ̇ ∂Λ .∂I(42.25)Эти уравнения удобны для построения теории возмущений в случае, когдавеличина λ̇ оказывается малой (см. § 43.3).Пример. Гармонический осциллятор с частотой, зависящей от времени:p2+ 1 mω 2 (t)x2 .(42.26)H(p, x, ω) =2m 2В этом случае параметром λ является частота ω = ω(t). Производящаяфункция Φ(q, I, λ) и связь старых и новых переменных определяютсяпрежними формулами (11) и (2), в которых, однако, величина ω зависитот времени.
Новая функция Гамильтона согласно (22)–(24) равнаH (I, w, ω) = ωI + ω̇∂Φ(q, I, ω)=∂ω= ωI + ω̇2mωI − (mωx)2 = ωI + ω̇ I sin 2w,2ω2ωа уравнения движения таковыω̇(t)I˙ = −I cos 2w,ω(t)ẇ = ω(t) +ω̇(t)sin 2w.2ω(t)(42.27)(42.28)Если частота изменяется медленно и плавно, то правая часть уравнения для действия дополнительно мала из-за того, что при малом параметреω̇(t) стоит осциллирующий множитель cos 2w. Поэтому при усреднении запериод движения правая часть исчезает, т.
е. действие в среднем сохраняется (подробнее см. [3, задача 13.10]).§ 43. Адиабатические инварианты43.1. Постановка задачи и результатПусть механическая система с одной степенью свободы совершает колебания в условиях, когда ее параметр λ адиабатически медленно изменяется. Слова «адиабатически медленно» означают, что изменение этого параметра происходит медленно и плавно. Иными словами, изменение этогоГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА178параметра ∼ λ̇ T за период колебания T мало по сравнению с самим параметром λ, а также скорость этого изменения λ̈ мала по сравнению с λ̇/T :λ̇ T λ,λ̈ T λ̇.(43.1)Пусть H(p, q, λ) — гамильтониан такой системы. Если параметр λ постоянен, то энергия E сохраняется, траектория на фазовой плоскости являетсязамкнутой и определяется уравнениемH(p, q, λ) = E.(43.2)Пусть p = p(q, E, λ) — решение этого уравнения, тогда площадь, охватываемая на фазовой плоскости этой траекторией, равна.S(E, λ) = p(q, E, λ) dq.(43.3)Если же параметр λ медленно изменяется, то энергия E уже не является сохраняющейся величиной, ее среднее за период значениеE ≡ 1TTE(t)dt(43.4)0медленно изменяется и это изменение существенно определяется изменением параметра λ(t).
Оказывается, из величин E и λ можно образовать такуюкомбинацию — функцию E(t) и λ(t), среднее за период значение которойостается постоянным. Такую комбинацию называют адиабатическим инвариантом. Забегая вперед, укажем, что адиабатическим инвариантом является каноническая переменная действие I. Напомним, что эта величинас точностью до множителя совпадает с площадью, охватываемой фазовойтраекторией, S(E, λ) = 2πI(E, λ) и вычисленной при заданных (зафиксированных в текущий момент времени) значениях E и λ:.S(E, λ)1=p(q, E, λ) dq.(43.5)I(E, λ) =2π2πМы покажем в § 43.3, чтоI(E, λ) = const(43.6)с точностью до величин порядка λ̇T включительно. Здесь мы приведемкачественные соображения, основанные на теореме Лиувилля.
Пусть параметр λ(t) в начальный момент имеет значение λ и ему соответствует начальная энергия E. При фиксированном значении этого параметра§ 43. Адиабатические инварианты179(и энергии) фазовая траектория замкнута и ограничивает фазовую областьплощадью S. Заметим, что энергии отдельных точек внутри этой областиотличны от E. Рассмотрим поведение точек внутри и на границе этой области при движении системы для случая произвольного изменения параметра λ(t). Мы можем утверждать на основе теоремы Лиувилля, что площадьэтой области сохранится.
Однако точки, соответствующие границе этой области и представляющие собой вначале фазовую траекторию с энергией E,перестанут, вообще говоря, иметь одну и ту же энергию, т. е. перестанутбыть фазовой траекторией. Если же параметр λ(t) изменяется адиабатически медленно, то все точки первоначальной фазовой траектории могутоставаться точками фазовой траектории для новой энергии E , соответствующей новому значению параметра λ . Тогда можно утверждать, чтоадиабатический инвариант сохраняется.Для иллюстрации введенных понятий приведем два характерных примера.Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим гармонический осциллятор с медленно изменяющейся частотой (42.26).
Условие (1) в данномслучае означает, чтоω̈ ω̇ω.(43.7)ω̇ ω 2 ,Фазовая траектория гармонического осциллятора— эллипс, задаваемый√уравнением H(p, x, ω) = E с полуосями 2mE и 2E/(mω 2 ) и площадью S = 2πE/ω. Адиабатический инвариант равен (ср. (42.3))I= S =Eω.2π(43.8)Таким образом, энергия гармонического осциллятора изменяется прямопропорционально его частоте.Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим частицу в прямоугольном потенциальном ящике, ширина которого l(t) медленно изменяется (см. рис.
62, на котором упругая стенка в точке x = 0 неподвижна,а упругая стенка в точке x = l(t) медленно удаляется). Период колебанийT = 2l/v, где v = |ẋ| — модуль скорости частицы. Условие (1) в данномслучае означает, что¨ll lv.˙l˙ v,(43.9)Фазовая√ траектория этой системы — прямоугольник со сторонами l и 2mv == 2 2mE (рис. 63), поэтому адиабатический инвариант равен√2m √mI = π vl = πE l.(43.10)2Таким образом, энергия частицы в таком ящике E ∝ 1/l .Глава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА180Рис. 62. Частица между неподвижнойи медленно удаляющейся стенкамиРис. 63. Фазовая траектория системы,изображенной на рис. 62Рассматриваемый пример имеет отношение к адиабатическим процессам в газах (см. [3, задача 13.13]) и адиабатическому приближению в теориимолекул (см. модельную задачу 13.9 из [3]).43.2. Адиабатический инвариант для частицы в ящикеПеред тем как перейти к доказательству результата (6), рассмотримподробнее простой пример 2, в котором удобно продемонстрировать, какфактически зависят рассматриваемые величины от времени.При столкновении частицы с неподвижной стенкой ее скорость не изменяется по величине, а при столкновении с удаляющейся стенкой ее скорость уменьшается по величине на 2l.˙ Выберем такое время Δt, что2l Δt vl.l˙Такое Δt существует в силу условия медленности движения стенки (9).
Заэто время произойдет vΔt/(2l) пар столкновений со стенками и скоростьизменится наΔv = −v l˙ Δt .lВеличины Δv и Δt малы, поэтому их отношение можно рассматривать какускорение Δv/Δt = dv/dt. Интегрируя полученное уравнение, находимответ (10): vl = const.Интересно проследить подробнее, как изменяется произведение vl.Это легко сделать, воспользовавшись графиками l(t) и v(t) (рис. 64, а, б).График произведения vl представлен на рис. 64, в. Величина vl колеблется около приблизительно постоянного значения vl, причем амплиту˙да колебаний имеет относительную величину ∼ l/v.Отклонение vl от§ 43. Адиабатические инварианты181Рис. 64. Изменение величин l, v, lv с течением времени для системы, изображеннойна рис.
62постоянной имеет высший порядок малостиd vl ∼ l˙2 .dtС увеличением параметра l скорость частицы уменьшается и наступиттакой момент, что частица уже не сможет догнать удаляющуюся стенку.После этого момента времени скорость частицы остается постоянной, а величина vl растет. Нарушение условия адиабатичности (9) произойдет ещедо этого.43.3. Сохранение адиабатического инвариантаДокажем соотношение (6). Каноническая переменная I удовлетворяетуравнению (42.25)∂Λ(I, w, λ).(43.11)I˙ = −λ̇∂wГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА182Правая часть этого уравнения содержит малый параметр λ̇, поэтому можно решать это уравнение с помощью метода последовательных приближений. А именно, имея в виду интервал времени порядка периода колебаний,в функцию ∂Λ(I, w, λ)/∂w, стоящую при этом малым множителем, можноподставить ее переменные в нулевом по λ̇ приближении (42.19):I = const,w = ωt + ω0 ,λ = const.В таком приближении∂Λ(I, w, λ)1 dΛ=ω∂wdtи потому уравнение (11) можно переписать в видеdI = − λ̇ dΛ .ω dtdt(43.12)Учитывая также, что λ̈T λ̇, можно считать в пределах периода λ̇ == const.
Интегрируя уравнение (11) по периоду движения, имеемλ̇ [Λ(t + T ) − Λ(t)] = 0,I(t + T ) − I(t) = − ω(43.13)так как в рассматриваемом приближении функция Λ является периодической (см. сноску 8 на с. 176). В пределах периода адиабатический инвариантI(t) изменяется на величину порядка λ̇T Λ, но через период возвращаетсяк своему исходному значению. Отсюда следует, что адиабатический инвариант осциллирует с малой амплитудой около постоянного значения, неудаляясь от него в течение многих периодов. Такая зависимость I(t) хорошо видна на рис.
64 (напомним, что в этом случае I = mvl/π).Заметим, что в ряде случаев точность сохранения адиабатического инварианта может оказаться гораздо более высокой — см. [1, § 51].Задачи43.1. Найти связь между объемом и давлением «газа», состоящего изчастиц, которые движутся внутри куба, размер которого медленно изменяется.43.2. Шарик массы m движется между тяжелым поршнем массыM m и дном цилиндра (см. рис. 65).
Равновесное расстояние от поршня до дна цилиндра равно h. Считая, что скорость шарика гораздо больше скорости поршня, определить закон движения поршня, усредненный§ 44. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос 183по «периоду» движения шарика. Найти частоту малых колебаний поршня.Соударения считать упругими. (Модель «газа», состоящего из одной молекулы.)Рис. 65. К задаче 43.243.3. Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести.
Длина маятника медленно увеличивается в 2 раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника.43.4. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси z, причемего компоненты в цилиндрической системе координат равныBϕ = 0,иBr = − r Bz (z)22Bz (z) = B0 1 + z 2 .aBz = Bz (z),§ 44. Движение системы со многими степенями свободы.Динамический хаосДвижение системы со многими степенями свободы, в отличие от одномерного случая, не может быть исследовано исчерпывающим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
