1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Быстрый волчок в поле тяжестиТеперь рассмотрим движение описанного выше волчка в условиях,когда на него помимо силы, приложенной в неподвижной точке O, действует еще и сила тяжести mg, причем для определенности будем считать,что неподвижная точка расположена ниже центра инерции волчка (рис. 72).Общее решение этой задачи дано в [1, § 35, задача 1]. Мы рассмотрим здесьтолько случай «быстрого волчка», когда его кинетическая энергия велика:T ∼M2 mgl.I3(47.18)§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры203Рис. 72. Быстрый волчок в поле тяжестиВ этих условиях в первом приближении можно пренебречь влиянием силытяжести, и тогда мы приходим к уже рассмотренной выше задаче с постоянным моментом импульса и прецессирующей вокруг него с угловойскоростью (17) осью симметрии.
В данной задаче эта величина называетсяугловой скоростью нутацииΩнут =M.I1(47.19)В следующем приближении учтем влияние силы тяжести, при этомуравнение для момента импульса волчка (3) примет видdM= [l, m g].dt(47.20)Приближенное решение этого уравнения можно провести, разделяя быстрые и медленные движения векторов M и l, подобно тому, как это делалось в § 32 про маятник Капицы. Именно, представим эти векторы в видеM = M + δM и l = l + δl, где символ . . . означает усреднение побыстрому вращению с угловой скоростью (19), в частностиl =Ml cos αM ,M(47.21)где αM — угол между вектором M и осью симметрии волчка. Для медленноизменяющихся усредненных величин из уравнения (20) находимdM= [ l , mg] = [Ωпр , M],dtΩпр = −ml cos αMg.M(47.22)204Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАОтсюда видно, что вектор момента импульса прецессирует (вращается с угловой скоростью Ωпр ) вокруг вертикального направления.
В силу неравенства (18) отношение скоростей Ωпр и Ωнут (19), как мы и предполагали,оказывается малым:Ωпрmglmgl∼ 2 ∼ 1.ΩнутM /I1T(47.23)Таким образом, ось симметрии быстрого волчка вращается с большой угловой скоростью (19) вокруг направления момента импульса, а сам моментимпульса в среднем медленно вращается вокруг вертикального направления с угловой скоростью Ωпр .Приведем еще пример. Земля может рассматриваться как слегкасплюснутый эллипсоид, т. е. как быстрый симметрический (не шаровой!)волчок, притяжение Солнца и Луны приводит к прецессии земной оси с периодом около 26 тысяч лет (так называемое предварение равноденствий,см. [3, задача 9.15]).Задачи47.1.
Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковымипо величине угловыми скоростями ω, медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло.До состыковки угловые скорости шаров были направлены:а) перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;б) одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.47.2. Волчок с неподвижной точкой опоры O, вращавшийся с угловойскоростью Ω вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем диска (рис. 73).
Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится. В момент касаниянутаций не было.47.3. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются(за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земливокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскостиорбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однороднымшаром с радиусом a = 6,4 тыс.
км и массой M , в 81 раз большей массыЛуны m; расстояние от Земли до Луны R = 380 тыс. км.47.4. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся c постоянной угловой скоростью Ω диск, ось которого может свободно поворачи-§ 48. Углы Эйлера205Рис. 73. Волчок с неподвижной точкой Oваться в горизонтальной плоскости (рис. 74). Исследовать движение гирокомпаса на широте α.
Угловая скорость вращения Земли ω.Рис. 74. Гирокомпас§ 48. Углы ЭйлераОриентацию подвижной системы координат x1 x2 x3 (будем далее обозначать ее K), связанной с твердым телом, относительно неподвижной системы XY Z (далее — K0 ) принято задавать с помощью трех углов2 , называемых углами Эйлера. Плоскости XY и x1 x2 пересекаются по прямой,которая называется линией узлов N (рис. 75). Пусть для начала подвижная система координат совпадает с системой K0 .
Переход к системе Kможно произвести с помощью трех последовательных поворотов. Сначала2 Если, к примеру, речь идет о велосипедном колесе, то это могли бы быть угол, определяющий направление движения, угол наклона плоскости колеса и угол, фиксируемый счетчикомоборотов.206Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАпроведем поворот на угол ϕ вокруг оси Z, при этом ось x1 совместитьсяс линией узлов. Далее проведем поворот на угол θ вокруг линии узлов3 .Третий поворот проведем вокруг оси x3 полученной системы координат наугол ψ. Углы Эйлера ϕ, θ, ψ называются соответственно углами прецессии,нутации и собственного вращения.
Соответствующие векторы угловых скоростей ϕ̇, θ̇ и ψ̇ направлены вдоль оси Z, вдоль линии узлов N и вдольоси x3 (рис. 75).Рис. 75. Углы ЭйлераВыразим через эти углы и их производные по времени кинетическуюэнергию вращения твердого тела. Для этого нам нужно записать компоненты угловой скоростиΩ = ϕ̇ + θ̇ + ψ̇в системе K, в которой тензор инерции не зависит от времени. Это легкосделать, если учесть, что полярный и азимутальный углы в этой системедля вектора ϕ̇ равны θ и (π/2) − ψ, для вектора θ̇ равны π/2 и (−ψ) и чтовектор ψ̇ направлен вдоль оси x3 (см. рис.
74). В итоге получаемΩ1 = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ,Ω2 = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ,(48.1)Ω3 = ϕ̇ cos θ + ψ̇.3 Если бы мы выбрали для второго поворота ось x , то θ и ϕ оказались бы сферически2ми координатами направления x3 . Такой выбор предпочитают в теории момента импульса вквантовой механике.§ 48. Углы Эйлера207Пусть оси системы K направлены по главным осям инерции. Тогдакинетическая энергия (46.11), связанная с вращением твердого тела,T = 1 I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23 ,2(48.2)с учетом (1) также выражается через эйлеровы углы. В частности, кинетическая энергия симметрического волчка (выбираем оси x1 x2 x3 так, чтобыI1 = I2 )(48.3)T = 1 I1 (θ̇ 2 + ϕ̇2 sin2 θ) + I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 .2Выражения (2), (3) можно теперь использовать для записи функции Лагранжа L.
Для свободного движения L = T ; в этом случае обобщенный импульсpψ = ∂L = I3 Ω3∂ ψ̇(48.4)равен проекции M3 момента импульса на ось x3 , обобщенный импульсpϕ = ∂L = I1 Ω1 sin θ sin ψ + I2 Ω2 sin θ cos ψ + I3 Ω3 cos θ∂ ϕ̇(48.5)равен проекции MZ момента импульса на ось OZ, а обобщенный импульсpθ = ∂L = I1 Ω1 cos ψ − I2 Ω2 sin ψ∂ θ̇(48.6)равен проекции момента импульса на линию узлов. Функция Лагранжа длясвободного движения асимметрического волчка не зависит от угла ϕ, поэтому pϕ = MZ сохраняется. Для свободного движения симметрическоговолчка дополнительно сохраняется pψ = M3 , так как в этом случае функцияЛагранжа не зависит от угла ψ.ДОПОЛНЕНИЯA. Элементы вариационного исчисленияПростейшим примером вариационных задач является следующая: наплоскости xy найти кратчайшую кривую между двумя заданными точкамиA(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ), т.
е. найти такую функцию y(x), чтобы интегралBl=Ax2 dl =1 + (dy/dx)2 dx,(dl)2 = (dx)2 + (dy)2(A.1)x1принял наименьшее значение. При этом функция y(x) должна удовлетворять условиямy(x2 ) = y2 .y(x1 ) = y1 ,В данном примере ответ хорошо известен: такой кривой является прямаяy(x) = y1 +y2 − y1(x − x1 ).x2 − x1(A.2)В более общем виде вариационная задача формулируется так. Пустьимеется некоторый класс функций ỹ(x) таких, что все они проходят черезточки A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ), т. е. ỹ(x1 ) = y1 , ỹ(x2 ) = y2 . Среди этих функций надо найти такую функцию y(x), при подстановке которой в интегралx2J=f (y, y , x)dx,x1y =dy(x),dx(A.3)он принимает экстремальное значение.Выведем уравнение, которому должна удовлетворять искомая функцияy(x).
Рассмотрим в качестве «принимающих участие в конкурсе» кривыхфункции видаỹ(x) = y(x) + εh(x),h(x1 ) = h(x2 ) = 0,(A.4)ДОПОЛНЕНИЯ210где ε — малый параметр, а h(x) достаточно гладкая (непрерывная вместе сосвоей производной) функция (рис. 76). Величину εh(x) называют вариацией функции y(x) и обозначаютδy(x) ≡ εh(x).Рис. 76. К выводу уравнения Эйлера для простейшей вариационной задачиПри подстановке в (3) функции ỹ вместо y мы получим величинуx2dh(x),h =J(ε) = f (y + εh, y + εh , x)dx,dxx1которая является функцией параметра ε. В силу предположения о том, чтоy(x) обеспечивает экстремальное значение J(ε), точка ε = 0 для J(ε) должна быть точкой экстремума, поэтомуx2 ∂fdJ(ε) ∂fh + h dx = 0.=dε ∂y∂yε=0x1Интегрируя второе слагаемое под интегралом по частям с учетом того, чтоh(x1 ) = h(x2 ) = 0, получаемx2x2 ∂fd ∂f∂f−h(x)h(x)dx+ =∂ydx ∂y ∂y x1x1(A.5)x2∂fd ∂f−=h(x) dx = 0.∂ydx ∂y x1A.
Элементы вариационного исчисления211Справедливо следующее утверждение (основная лемма вариационногоисчисления): если g(x) непрерывна иx2g(x)h(x)dx = 0x1для любой непрерывной функции h(x), имеющей непрерывную производную и такой, что h(x1 ) = h(x2 ) = 0, то g(x) = 0 на интервале x ∈ (x1 , x2 ).(Докажите!)Воспользовавшись этой леммой, получим из (5) необходимое условиетого, что y(x) дает экстремальное значение интеграла (3):∂fd ∂f= 0.−∂ydx ∂y (A.6)Для примера (1) это уравнение принимает видdy= 0,dx 1 + y 2откуда следует y = const, т. е.
y(x) — прямая. Учет условий y(x1 ) == y1 , y(x2 ) = y2 приводит к указанному выше решению (2).В вариационном исчислении принята следующая терминология. Уравнение (6) называется уравнением Эйлера, его левая часть называется вариационной производной от J по y(x) и обозначается∂fd ∂fδJ≡−.δy(x)∂ydx ∂y (A.7)Вариацией (точнее, первой вариацией) J называется величина δJ, определенная соотношениемx2δJ ≡x1δJδy(x) dx.δy(x)(A.8)Аналогично ставится и решается задача определения экстремума интегралаx2J = f (y1 , .
. . , ys ; y1 , . . . , ys , x) dx,(A.9)x1ДОПОЛНЕНИЯ212зависящего от многих неизвестных функций yi (x), независимых другот друга и имеющих вариации, удовлетворяющие условиям δyi (x1 ) == δyi (x2 ) = 0, i = 1, . . . , s. Необходимое условие экстремума (6) должновыполняться по отношению к каждой из этих функций:∂fδJd ∂f≡−= 0,δyi (x)∂yidx ∂yii = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
