1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

79; ширина этой области по частотерастет линейно с ростом h.Рис. 79. Область параметрической неустойчивости около 2ω0Решение уравнения с трением (10a) отличается от найденного дополнительным множителем exp(−λt) (см. уравнение (8)), поэтому для инкремента в этом случае имеем+s = −λ + 1 (hω0 )2 − 42 .4Возбуждение колебаний возможно только приh > hp1 = 4λω0и область параметрической неустойчивости находится выше сплошной кривой на рис. 79.1 Второе решение соответствует другому знаку s; движение рассматриваемого осциллятора,удовлетворяющее произвольным начальным условиям, имеет поэтому вид (31.6).C.

Параметрический резонанс225C.4. Параметрический резонанс при γ = ω0Найдем условия возникновения резонанса при n = 2 и γ = ω0 + .Представляем μ1 , близкое к единице, в виде μ1 = esT . Ищем решениеуравнения (10) в видеx(t) = est+∞An ei n(ω0 +)t(C.15)n=−∞и получаем систему уравнений для коэффициентов An12ω02 + [s + in(ω0 + )]2 An = − h ω02 (An−1 + An+1 ),2(C.16)которая отличается от системы (12) лишь заменами (2n−1) → n и /2 → .Далее повторяем путь, пройденный в предыдущем разделе. Именно, сравнивая (15) и (13), находим, что в нулевом по h приближении s = = 0и все амплитуды, кроме A−1 и A1 , равны нулю.

Подставляя нулевое приближение в правую часть уравнения (16), находим, что в первом по h приближении отличны от нуля лишь коэффициентыA±2 = h A±1 ,16A0 = h (A−1 + A1 ).2(C.17)После этого, оставляя лишь члены первого порядка в уравнении (16), получаем систему из двух тривиальных уравнений:( + is) A−1 = 0,( − is) A1 = 0,из которых следует, что s = = 0 и с учетом членов первого порядка по hвключительно.Таким образом, необходимо учесть второй порядок по h, что приводитк системе уравнений4( + is)A−1 = hω0 (A−2 + A0 ),4( − is)A1 = hω0 (A2 + A0 ).(C.18)Выражаем A−2 , A0 , A2 через A−1 и A1 с помощью уравнений (17) и преобразуем уравнения (18) так, чтобы они содержали только A−1 и A1 .

Приравнивая нулю определитель полученной системы двух уравнений, получаемвыражение для инкремента:221h4 ω02 − 8 + 2h ω0 .s=83ДОПОЛНЕНИЯ226Нейтральная кривая оказывается несимметричной и ее левая и правая ветвизадаются формулами2γл = ω0 − 5h ω0 ,242γп = ω0 + h ω0 .24Область неустойчивости начинается от h = 0 и расположена между этимиветвями, изображенными пунктирными линиями на рис. 80; ширина этойобласти по частоте растет пропорционально h2 .Рис. 80. Область параметрической неустойчивости около ω0Если есть трение, то инкремент оказывается равен2212h24s = −λ +ωh ω0 − 8 +,83 0а минимум на нейтральной кривой h = h(γ) смещен в точку2γmin = ω0 − h ω012и пороговое значение h в нем равноhp2 =8λ .ω0Таким образом, возбуждение колебаний возможно только при h > hp2 и область параметрической неустойчивости находится выше сплошной кривойна рис.

80.Поскольку трение предполагалось малым (λ ω0 ), видим, чтоhp2 /hp1 1 и получение даже второго резонанса затруднено. Пороги длявысших резонансов оказываются еще большими, а ширины еще меньшими.D. Обобщение канонических преобразований227D. Обобщение канонических преобразованийD.1. Время и энергия как канонические переменныеНапомним, что уравнения Лагранжа допускают преобразования как координат, так и времени. Можно обобщить канонические преобразованиятак, чтобы они также допускали преобразование времени.Далее канонические переменные pi , qi , i = 1, . . .

, s, сокращенно обозначаем p, q, гамильтониан H(p, q, t) может явно зависеть от времени. Введем наряду с каноническими переменными еще пару переменных q0 , p0 ,а также новый гамильтонианK(p, q, p0 , q0 ) = H(p, q, q0 ) + p0(от времени явно не зависящий). Рассмотрим уравнения Гамильтона, полученные с использованием «гамильтониана» K. Прежде всего,q̇0 = ∂K = 1,∂p0откуда следует, что q0 = t + const, и далее переменную q0 можем отождествить с временем (положив без потери общности константу равной нулю).Уравнениеṗ0 = − ∂K = − ∂H = − dE∂q0∂tdtпозволяет подобным же образом отождествить p0 с −E. Остальные уравнения Гамильтонаṗi = − ∂K = − ∂H ,∂qi∂qiq̇i = ∂K = ∂H ,∂pi∂pii = 1, . .

. , s,фактически не изменяются.Легко проверить, что для произвольной функции f (p, q, t)df= {K, f },dt(D.1)где обобщенная скобка Пуассона (для которой мы сохраняем прежнее обозначение) включает слагаемые, полученные дифференцированием функций K и f (p, q, q0 ) по p0 и q0 .Даже если исходный гамильтониан H зависит от времени, для гамильтониана K справедлив закон сохранения K = 0 (и сводится к равенствуH(p, q, t) = E(t)).ДОПОЛНЕНИЯ228D.2. Канонические преобразования, затрагивающие время и энергиюТеперь обобщение канонических преобразований легко достигается:spi dqi −i=0sPi dQi = dF(D.2)i=0(мы включили в суммы слагаемые с i = 0). Поскольку в гамильтониан Kвремя явно не входит, при переходе к новым переменным нужно простосделать в K соответствующую подстановку.Приведенное ниже в разделе E.4 доказательство инвариантности скобок Пуассона относительно канонических преобразований переноситсяи на этот случай, а с учетом (D.1) сохраняют свой вид и уравнения Гамильтона, записанные с использованием гамильтониана K(p(P, Q), q(P, Q)).Пример.

Рассмотрим преобразование Лоренца для свободной частицы, отвечающее переходу к системе отсчета, которая движется со скоростью V в направлении оси x:x = γ(x + βct ), t = γ(t + βx /c),β = V /c, γ = 1/ 1 − V 2 /c2 .гдеПодобным же образом преобразуются, как известно, импульс частицы и ееэнергия:px = γ(px + βE /c), E = γ(E + βpx c).Обозначивq0 = ct,Q0 = ct ,получаемq1 = x,Q1 = x ,p0 = −E/c,P0 = −E /c,p1 = px ,P1 = px ,q0 = γ(Q0 + βQ1 ),q1 = γ(Q1 + βQ0 );p0 = γ(P0 − βP1 ),p1 = γ(P1 − βP0 ).Теперь легко проверить, что{q0 , q1 }P,Q = 0,{q0 , p0 }P,Q = 1и т.

д. Следует также (и очень просто) проверить равенства {q0 , y}P,Q == 0, {q0 , py }P,Q = 0 и т. п. Таким образом, рассмотренное преобразованиеоказывается каноническим (обобщенным указанным выше способом).E. Дифференциальные формы и канонические преобразования229E. Дифференциальные формы и каноническиепреобразованияИспользуя математический аппарат дифференциальных форм, можнонекоторые вопросы, связанные с каноническими преобразованиями, рассмотреть более компактно, чем в основном тексте. Однако освоение самогоаппарата дифференциальных форм требует определенных усилий.

Приводимое ниже изложение этого вопроса является весьма кратким и фрагментарным. Более подробное и последовательное изложение теории внешнихдифференциальных форм применительно к задачам механики можно найти,например, в книге [4].E.1. Дифференциальные формыЗамена переменной x = x(ξ) в интегралеf (x) dxсводится, как известно, к подстановкамf = f (x(ξ)),dx =dxdξ.dξИначе обстоит дело при замене двух переменныхx = x(ξ, η),в двойном интегралеy = y(ξ, η)I=f (x, y) dxdy;в этом случае «элемент площади»dx dyзаменяется наD dξ dη,гдеD=∂(x, y)∂(ξ, η)(E.1)ДОПОЛНЕНИЯ230— якобиан преобразования xy → ξη, а не на произведение дифференциаловdx =∂x∂xdξ +dη,∂ξ∂ηdy =∂y∂ydξ +dη.∂ξ∂η(E.2)Можно, однако, ввести такое правило умножения дифференциалов,при применении которого преобразование «элемента площади» dxdy будетвсе-таки сводиться к подстановке (2) в (1).Введем так называемое внешнее произведение дифференциалов, обозначаемоеdx ∧ dy,которым можно манипулировать, как обычным произведением, но при перестановке сомножителей нужно изменять знак:dy ∧ dx = −dx ∧ dy.(E.3)Можно перемножать и одинаковые дифференциалы.

При этом в соответствии с (3) будет получаться нуль:dx ∧ dx = 0.Подстановка (2) в (1) ∂y∂x∂y∂xdξ +dη ∧dξ +dη =dx ∧ dy =∂ξ∂η∂ξ∂η=∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂y∂x ∂ydξ ∧ dξ +dη ∧ dξ +dξ ∧ dη +dη ∧ dη =∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂ξ ∂η∂η ∂η∂x ∂y∂x ∂y−dξ ∧ dη = D dξ ∧ dη,=∂ξ ∂η∂η ∂ξдействительно, приводит к замене dxdy на Ddξdη.Легко произвести обобщение на случай любого числа переменных.Внешнее произведение n дифференциаловdx1 ∧ dx2 ∧ . .

. ∧ dxnопределяется условием: можно переставлять любые соседние дифференциалы, изменяя при этом знак произведения.При заменеxi = xi (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ),i = 1, 2, . . . , n,E. Дифференциальные формы и канонические преобразования231которой соответствует замена дифференциаловdxi = ∂xij∂ξjdξj ,(E.4)получаемdx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn =∂(x1 , x2 , . . .

, xn )dξ1 ∧ dξ2 ∧ . . . ∧ dξn .∂(ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )(E.5)В самом деле, после подстановки (4) в левую часть (5) и умножениямы получим сумму произведений n множителей вида ∂xi /∂ξj с n различными значениями индекса i, при каждом из которых стоит произведениеn дифференциалов со всеми возможными значениями индексов j:dξj1 ∧ dξj2 ∧ . . . ∧ dξjn .Однако произведение дифференциалов отлично от нуля только в том случае, если все индексы j в нем различны, причем все эти произведениядифференциалов равны друг другу или различаются только знаком в зависимости от того, возможен переход от последовательности индексовj1, j2, . . .

, jn к последовательности 1, 2, . . . , n путем четного числа перестановок соседних индексов или нечетного. Мы получаем фактически описание определителя, составленного из производных ∂xi /∂ξj , — якобиана,стоящего в правой части равенства (5).Выражение видаFi,j,...,k (x1 , x2 , . . . , xn ), dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,i,j,...,kв котором каждое слагаемое содержат произведение l дифференциалов, называется внешней дифференциальной l-формой и обозначается ω l . Например, подынтегральное выражение интеграла по поверхностиA dSможно рассматривать как 2-форму:ω 2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy.ДОПОЛНЕНИЯ232Вводится также внешний дифференциал l-формы.

По определению, это(l + 1)-формаdω l = ω l+1 =dFi,j,...,k ∧ dxi ∧ dxj ∧ . . . dxk ,i,j,...,kгде dFi,j,...,k — обычный дифференциал функции:dFi,j,...,k =n∂Fi,j,...,kdxm .∂xmm=1(E.6)При повторном дифференцировании внешней формы результат равеннулю, в чем легко убедиться, учитывая, что∂2F∂2F=.∂xi ∂xj∂xj ∂xiСправедливо и обратное утверждение: если dω l = 0, то ω l является внешним дифференциалом какой-то дифференциальной формы: ω l = dω l−1 .Выражение ω 1 = f (x) dx рассматривалось нами как подынтегральноевыражение. Можно рассматривать его также как линейную функцию дифференциала dx. Можно приписывать ω 1 и численное значение, подставивчисленные значения x и dx.Дифференциальные формы, к которым мы пришли как к элементамзаписи многомерного интеграла, также можно рассматривать как функции точки и полилинейные функции координат вектора дифференциалов(dx1 , dx2 , .

. . , dxs ). Можно приписывать дифференциальной форме численное значение, подставляя численные значения координат и компонент дифференциалов. При этом необходимо предварительно переставить дифференциалы в порядке убывания индексов, после чего при умножении назначки ∧ не обращать внимания.Аппарат дифференциальных форм представляет собой существенныйэлемент в определенных геометрических исследованиях, — в теории симплектических пространств. Однако так глубоко входить в математическиевопросы мы здесь не будем.E.2. Новое определение канонических преобразованийИспользуя внешние дифференциальные формы, можно представитьопределение канонического преобразования (36.2)si=1pi dqi −si=1Pi dQi = dF(E.7)E.

Дифференциальные формы и канонические преобразования233в более симметричной форме, взяв от обеих частей этого равенства внешний дифференциал и учтя, что внешний дифференциал от (dF ) равен нулю:sdpi ∧ dqi =i=1sdPi ∧ dQi .(E.8)i=1Разумеется, исключив из определения функцию F (q1 , . . . , Qs ), мы потеряли конструктивный характер определения. Впрочем, мы сохраняем возможность сделать шаг назад и вернуться от симметричного определения (8)к конструктивному (7).E.3.

Характеристики

Список файлов книги