1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

. . , s.(A.10)B. Системы со связямиB.1. Системы с идеальными голономными связямиРассмотрим более подробно движение систем со связями. Напомнимопределения, приведенные в конце § 12. Мы будем представлять себе далее,что тела, движение которых мы исследуем, состоят из N «материальных точек» («частиц»), движение которых может быть ограничено воздействиемкаких-либо стержней, поверхностей и т. п. Если все эти ограничения выражаются условиямиFα (r1 , .

. . , rN , t) = 0,α = 1, . . . , n,(B.1)где Fα является функцией только координат частиц и времени, то говорят, что на систему наложены n голономных связей. Например, для случаямаятника переменной длины, рассмотренного в § 12, условия (1) сводятсяк одному уравнениюF1 (r, t) ≡ r − l(t) = 0.При этом подразумевается, что условия (1) выполняются за счет того, чтона частицы помимо прочих потенциальных силFa = − ∂U∂raдействуют силы реакции связей Ra .

Связи называются идеальными, еслипри любых смещениях частиц δra , не нарушающих условий (1), суммарнаяработа всех сил реакции равна нулю:NRa · δra = 0.(B.2)a=1Подчеркнем, что речь идет не о смещениях в процессе реального движениясистемы, а о смещениях, не нарушающих условия (1), взятые при фиксированном значении времени t.B. Системы со связями213В ньютоновой механике движение частиц определяется уравнениямиma r̈a = − ∂U + Ra ,∂raa = 1, .

. . , N,(B.3)которые совместно с условиями (1) позволяют найти как закон движенияra (t), так и силы Ra (t). Заметим, что с учетом условий связи (1) нашасистема имеет s = 3N − n степеней свободы и ровно столько нужно обобщенных координат для полного описания ее движения. Можно найти уравнения движения для этих обобщенных координат, стартуя от уравнений (2),(3) и условий (1), однако такой подход требует достаточно громоздких выкладок. Мы найдем эти уравнения, используя преимущества лагранжеваподхода.Условия (1) для системы из N материальных точек выделяют в 3N мерном пространстве K подпространство s = 3N −n измерений K0 , в котором только и может двигаться точка, изображающая конфигурацию системы.

Силы реакции, если их изобразить в пространстве K, окажутся ортогональными подпространству K0 . Именно это и означает сформулированноевыше условие идеальности связей. Введем n обобщенных координат:q̃α = Fα (r1 , . . . , rN , t),α = 1, .

. . , n,остальные обобщенные координаты обозначим qi , i = 1, . . . , s. Подпространство K0 определяется n условиямиq̃α = 0,α = 1, . . . , n,(B.4)так что qi — координаты в K0 . Как и в примере с маятником в § 12, можноввести вспомогательную систему с «выключенными» связями, но добавленной чрезвычайно «жесткой» потенциальной энергиейŨα (q̃α ),Ũ (q̃1 , . . .

, q̃n ) =(B.5)αгде Ũα (q̃α ) — функция того же вида, что и в примере с маятником. Возникающие за счет этого силы (−∂ Ũ /∂ q̃α ), как и силы реакции связей, ортогональны подпространству K0 .По сути дела, мы принимаем, что при движении механической системы возникают силы, как раз обеспечивающие выполнение условий связи.Естественно, эти силы обусловлены деформациями тел, однако очень малыми деформациями, так что связанными с ними смещениями и скоростямиможно пренебречь.ДОПОЛНЕНИЯ214Функция Лагранжа вспомогательной системы имеет вид˙ t) − Ũ (q̃),L̃ = L1 (q, q̃, q̇, q̃,(B.6)где L1 — функция Лагранжа без учета связей. Уравнения Лагранжа длякоординат q̃α содержат величины Rα = −∂ Ũ /∂ q̃α , которые играют рольобобщенных сил реакции связей.

Переход к исходной системе со связями заключается в том, что координаты q̃α объявляются заданными (согласно (4)), а величины Rα — неизвестными. Записывая же уравнение Лагранжадля координат qi , можно отбросить в (6) слагаемое Ũ и подставить q̃α = 0,q̃˙α = 0, т. е. использовать лагранжианL(q, q̇, t) = L1 (q, 0, q̇, 0, t) = T (q, q̇, t) − U (q, t).(B.7)Иначе говоря, для системы с идеальными голономными связями можно сразу же выбрать обобщенные координаты с учетом связей и только через них выразить функцию Лагранжа.

Таким образом, искомые уравнениядвижения имеют вид∂L(q, q̇, t)d ∂L(q, q̇, t)=,dt∂ q̇i∂qii = 1, 2, . . . , s = 3N − n.Предоставляем читателю проверить, что эти же уравнения можно получитьиз уравнений (2), (3) с учетом условий (1). Действовать можно так. Изуравнения (3) выразим силу реакции связейRa = ma r̈a + ∂U∂raи подставим это выражение в уравнение (2):N a=1∂Umr̈a +· δra = 0.∂raДалее следует выразить векторы ra и смещения δra через обобщенные координаты qi и соответствующие смещения δqi и воспользоваться независимостью вариаций δqi .К числу систем с идеальными голономными связями принадлежит абсолютно твердое тело.

Так называют совокупность частиц, расстояния между которыми остаются неизменными. Опыт показывает, что для описаниядвижения многих тел такая модель вполне применима. Положение твердоготела можно задавать всего шестью координатами (см. § 45).B. Системы со связями215Если твердые тела соприкасаются, то связи оказываются идеальнымив двух предельных случаях: если трением можно пренебречь и если невозможно проскальзывание — и в том и в другом случае работа сил тренияравна нулю.

Условия, ограничивающие возможные движения тел, могут содержать и скорости. Например, для цилиндра, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости (рис. 77), это условие — равенство нулюскорости его точки, касающейся плоскости:ẋ − aϕ̇ = 0,где x — координата оси, ϕ — угол поворота цилиндра. Это условие можетбыть проинтегрировано:x − aϕ = const,и связь оказывается голономной.Рис. 77. Цилиндр катится, не проскальзывая, по неподвижной плоскостиДля шара или диска, катящегося по плоскости, условие связиV + [Ω, a] = 0(B.8)не может быть проинтегрировано (здесь a — радиус, направленный от центра диска к точке касания). Такая связь называется неголономной.

Изложенная выше схема исследования движения системы в этом случае неприменима. Как составляются уравнения движения для систем с неголономнымисвязями, будет рассказано в разделе B.3.B.2. Силы реакции связейРешив задачу о движении системы, можно в случае необходимостиперейти и к определению сил реакции. Эта задача, вообще говоря, требуетдополнительного анализа.

Не вдаваясь в обсуждение множества различныхвозможностей, ограничимся примером. Если использовать в качестве координат q̃ изменения длин стержней, то описанным выше способом можноДОПОЛНЕНИЯ216найти силы, растягивающие стержни при движении системы. Пусть речьидет о движении в плоскости системы четырех грузиков A, B, C, D, соединенных пятью жесткими стержнями (рис. 78), шарнирно прикрепленныхк грузикам (т. е. так, что углы между стержнями могли бы свободно изменяться, если бы какой-нибудь из них удалить). Система имеет три степенисвободы (скажем, две координаты одной из точек и угол, определяющийнаправление одной из сторон).

Условия же связей выражают постоянстводлин стержней. Однако те же самые ограничения подвижности системыможно выразить, приняв условие BD = const вместо AC = const. Используя это новое условие, мы получим силу реакции, якобы направленнуювдоль BD, силу же реакции существующего стержня AC потеряем. Приэтом и силы реакции остальных стержней получатся не истинными, а такими, как если бы стержень AC действительно удалили, а стержень BDввели в систему.Рис.

78. Грузики со связямиПодчеркнем, что все эти разные возможности описания связей и реального их создания совершенно несущественны для решения задачи о движении системы с помощью уравнений Лагранжа. В то же время при правильном выборе уравнений, выражающих идеальные голономные связи, можнополучать и силы реакции связей, используя для определения условий экстремума действия метод неопределенных множителей Лагранжа.B.3. Неопределенные множители Лагранжа.Идеальные неголономные связиВернемся к системе с идеальными голономными связями. Будем считать, что мы воспользовались не всеми уравнениями связи и исключилименьше координат, чем могли бы.Пусть функция Лагранжа зависит от s + n координат и стольких жескоростей L = L(q1 , . . .

, q̇s+n , t) и пусть имеется n идеальных голономныхB. Системы со связямисвязей:217Fα (q1 , . . . , qs+n , t) = 0,α = 1, . . . , n.(B.9)Продифференцировав (9) по времени, можно представить условия связейв видеs+ncαi q̇i + cα = 0,(B.10)i=1гдеcαi =∂Fα,∂qicα =∂Fα.∂t(B.11)В таком случае условие экстремума действия, задающее уравнениядвижения системы тел, можно получить еще одним способом — не исключая n лишних переменных, а с помощью неопределенных множителейЛагранжа.Способ определения экстремума в вариационной задаче с помощьюнеопределенных множителей Лагранжа подобен способу определения экстремума функции нескольких переменных при наличии связей между ними. Введем вспомогательную функцию, включающую неизвестные функции времени λα (t):L̃(q1 , .

. . , q̇s+n , t) == L(q1 , . . . , q̇s+n , t) +nα=1запишем для нее «действие» S̃ =λα (t) Fα (q1 , . . . , qs+n , t),(B.12)L̃dt и получим уравнения Лагранжа,рассматривая все s + n координат как независимые. Тем самым мы допускаем к «конкурсу» помимо нужных нам зависимостей qi (t), удовлетворяющих условию (9), еще и другие. К этим s + n уравнениям следует добавитьn уравнений связи (9), исключив тем самым временно добавленные зависимости qi (t). В итоге получится как раз s+2n уравнений для всех координати множителей Лагранжа:ld ∂L− ∂L =λα cαi .∂qidt ∂ q̇iα=1(B.13)Стоящие в правых частях уравнений суммы можно рассматривать как обобщенные силы, действующие «в направлениях» соответствующих обобщенных координат.

Характеристики

Список файлов книги