1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В качестве добавочных условий можно использовать либоравенства (9), либо (10).ДОПОЛНЕНИЯ218Заметим, что условия (10) (при фиксированном времени) ограничивают возможные вариации координат δqi соотношениямиs+ncαi δqi = 0.(B.14)i=1Эти условия означают, что работа сил реакции связей обращается в нуль,если вариации координат δqi удовлетворяют соотношениям (14), и выражают таким образом идеальность связей.Тот факт, что левая часть равенства (10) представляет собой полнуюпроизводную по времени, эквивалентен соотношениям∂cαj∂cαi=,∂qj∂qi∂c∂cαi= α,∂t∂qi(B.15)для всех α, i, j.Линейные идеальные неголономные связи также могут быть выражены соотношениями вида (10) или (14). Условия идеальности неголономныхсвязей выражаются через вариации координат так же, как для голономных. Эти соотношения как для голономных связей, так и для неголономных означают, что при «запретном» смещении тел возникли бы такие силы(может быть, очень большие), которые сделали бы такое смещение невозможным; при «разрешенном» же смещении добавочных сил не возникает.А равенства вида (15) в случае неголономных связей для соответствующих коэффициентов не выполняются.
Поэтому условия связи не могут бытьприведены к виду (9).Заметим, однако, что соотношения (15) связаны с малостью второгопорядка по вариациям. Эти равенства означают, что для α-й связи работаδA12 на пути(q1 , q2 ) → (q1 + δq1 , q2 ) → (q1 + δq1 , q2 + δq2 )и работа δA21 на пути(q1 , q2 ) → (q1 , q2 + δq2 ) → (q1 + δq1 , q2 + δq2 )одинаковы с точностью до δq1 δq2 включительно.
Действительно,δA12 = λα [cα1 (q1 , q2 , . . .)δq1 + cα2 (q1 + δq1 , q2 , . . .)δq2 ] == λα [cα1 (q1 , q2 , . . .)δq1 + cα2 (q1 , q2 , . . .)δq2 +∂cα2 (q1 , q2 , . . .)δq1 δq2 ],∂q1C. Параметрический резонанс219δA21 получается заменой 1 2, так что∂cα1∂cα2−δq1 δq2 .δA12 − δA21 = λα∂q1∂q2Для голономной связи согласно (15) с точностью до второго порядка включительно δA12 − δA21 = 0. Именно такое условие отличает голономнуюсвязь от неголономной, обеспечивая возможность представлять силы реакции через потенциальную энергию.Определяя же уравнения движения и силы, мы оперировали толькос линейными по δq выражениями. Поэтому уравнения (13) с добавочнымиусловиями вида (10) справедливы и для механической системы с неголономными связями.Для системы с n голономными связями можно исключить из функции Лагранжа n обобщенных координат.
Для системы с неголономнымисвязями подобное уменьшение числа обобщенных координат по существуневозможно.В качестве примера неголономной связи рассмотрим условие связи дляколеса, которое может катиться по плоскости, не проскальзывая. Ясно, чтотакое колесо можно катать, соблюдая условия связи, и вернуть в исходную точку. Однако спица колеса, которая смотрела в начальном состоянииколеса вниз, в конце окажется направлена как-то иначе.C. Уравнение Хилла, уравнение Матьёи параметрический резонансОсновные сведения о параметрическом резонансе можно найти в § 31.В этом приложении мы дадим более подробную и последовательную теорию этого интересного явления.C.1.
Общие свойства уравнения ХиллаИсходное уравнение при изучении параметрического резонанса имеетвид (31.1)(C.1)ẍ + ω 2 (t) x = 0,где частота ω(t) меняется периодически по времениω(t + T ) = ω(t).(C.2)Уравнение (1) с периодической зависимостью частоты от времени (2) называется уравнением Хилла. При построении приближенных решений полезноДОПОЛНЕНИЯ220знание как можно большего числа свойств точного решения. Перечислимпростые и полезные в дальнейшем свойства решений уравнения Хилла. Дляэтого введем определитель Вронского.
Пусть x1 (t) и x2 (t) — два решенияуравнения (1), для них, по определению, определитель Вронского равен x 1 x2 = x1 (t) ẋ2 (t) − x2 (t) ẋ1 (t).W (x1 , x2 ) = ẋ1 ẋ2 1. Дифференцируя определитель Вронского по времени и избавляясьс помощью уравнения (1) от вторых производных, легко показать, чтоdW = 0,dtт. е. W не зависит от времени.2. Если x(t) решение уравнения (1), то x(t + T ) тоже его решение. Доказывается подстановкой в уравнение и использованием периодичности ω.Отсюда следует, что если x1 (t) и x2 (t) линейно независимы и образуютбазис в пространстве решений, то выполняются равенства:x1 (t + T ) = a11 x1 (t) + a12 x2 (t),x2 (t + T ) = a21 x1 (t) + a22 x2 (t).Матрица постоянных коэффициентов aij определяется уравнением и выбором базисных решений.
Базис в пространстве решений можно выбрать так,что в нем матрица станет диагональной, т. е. существуют такие решенияx1 (t) и x2 (t), которые при сдвиге на период T преобразуются по законуx1 (t + T ) = μ1 x1 (t),x2 (t + T ) = μ2 x2 (t),(C.3)где μ1,2 — собственные значения матрицы aij .3. Проверкой устанавливаем, что для решений (3) справедливо соотношениеW (x1 (t + T ), x2 (t + T )) = μ1 μ2 W (x1 (t), x2 (t)).Отсюда и из свойства 1 получаемμ1 μ2 = 1.(C.4)4. Определитель матрицы aij в силу свойства 3 равен 1, а ее собственные значения равныd = 1 (a11 + a22 ).(C.5)μ± = d ± d2 − 1,2C.
Параметрический резонанс221Если d2 > 1, то μ+ и μ− вещественны. Тогда одно из них по модулю больше единицы. Будем обозначать его как μ1 , при этом может быть как μ1 > 1(если d > 1, в этом случае μ1 = μ+ ), так и μ1 < −1 (если d < −1, в этомслучае μ1 = μ− ). Таким образом, решение x1 (t) вида (3) возрастает по модулю за период T . Это явление называется параметрическим резонансом.Второе решение x2 (t) убывает по модулю за этот же период.Если же d2 < 1, то собственные значения μ1 и μ2 комплексно сопряжены (μ2 = μ∗1 ) и лежат на окружности радиуса единица (|μ1 | = |μ2 | == 1) в комплексной плоскости. Решения x1,2 (t) оказываются комплексными функциями и могут быть выбраны комплексно сопряженными x2 (t) == x∗1 (t). Вещественными же решениями являются их линейные комбинации x1 (t) + x2 (t) и [x1 (t) − x2 (t)]/i.
В этом случае движение осцилляторапредставляет собой биения.5. Пусть xi (t) — построенные комплекснозначные решения (3). Тогдакаждый сдвиг времени на T приводит к умножению решения на μi : решеt/Tние в среднем изменяется экспоненциально. Очевидно, что xi (t)/μi —периодическая функция.
Таким образом, существуют два линейно независимых комплексных решения уравнения Хилла, которые могут быть записаны в видеt/Tt/T(C.6)x1 (t) = μ1 Π1 (t), x2 (t) = μ2 Π2 (t),где Π1 (t) и Π2 (t) — чисто периодические функции, а μ1 и μ2 связаны условием (4).6. Не сложнее, но физически более естественно сразу искать решениеболее общего уравнения, учитывающего слабое линейное трение:Подставляяẍ + 2λẋ + ω 2 (t) x = 0.(C.7)x = e−λt x̃(t),(C.8)получаем для функции x̃(t) уравнение Хилла (1).C.2. Уравнение МатьёВыясним условия возникновения параметрического резонанса в случае, когда(C.9)ω 2 (t) = ω02 (1 + h cos γt),где γ = 2π/T , а постоянная h 1.
Уравнениеẍ + ω02 (1 + h cos γt) x = 0(при произвольной величине h и γ) называется уравнением Матьё.(C.10)ДОПОЛНЕНИЯ222При учете трения уравнение (10) преобразуется к уравнению вида (7):ẍ + 2λẋ + ω02 (1 + h cos γt) x = 0,(C.10a)которое с помощью подстановки (8) сводится к уравнению Матьё.Для уравнения Матьё μ1 есть функция параметров γ и h и граница,разделяющая области устойчивости и неустойчивости, задается уравнениями μ1 (γ, h) = −1 и μ1 (γ, h) = 1, дающими кривые на плоскости (γ, h), которые будем называть нейтральными.
Построим нейтральные кривые прималых h, начиная с вырожденного случая h = 0. При h = 0 частота ω = ω0не меняется вообще и решение известно:x1 (t) = a eiω0 t .С другой стороны, ничто не мешает нам считать, что частота ω меняетсяс произвольным периодом T = 2π/γ, хотя и нулевой амплитудой, и представить это решение в видеx1 (t) = a eiω0 t = a ei(ω0 −γ)t eiγt = ei(ω0 −γ)t Π1 (t),откуда2πμ1 = exp i(ω0 − γ) γ .Считая ω0 и γ положительными, видим, что μ1 = ±1 при условииω0nγ = 2,где n 1 — целое число, причем μ1 = −1, если n нечетно, и μ1 = 1, если nчетно.
При h 1 естественно предположить, что на нейтральной кривойчастота γ лежит близко к найденным дискретным значениям.C.3. Параметрический резонанс на основной гармонике γ = 2ω0Рассмотрим основной параметрический резонанс при n = 1 и, соответственно, приγ = 2ω0 + ,где отстройка предполагается малой. Удобно представить μ1 , котороев этом случае близко к (−1), в видеμ1 = −esT = esT −iπ ,где s — неизвестный вещественный параметр, равный нулю на нейтральнойкривой и малый положительный в области неустойчивости.C. Параметрический резонанс223Отыскивая Π(t) в виде ряда Фурье+∞Π(t) =An einγtn=−∞с неизвестными коэффициентами An , получаем, что решение уравнения(10) следует искать в видеx(t) = est+∞An ei (2n−1)(ω0 +/2)t .(C.11)n=−∞Подставляя ряд (11) в уравнение (10) и представляя cos γt как полусуммуэкспонент, приравняем нулю коэффициенты при всех гармониках.
В итоге получим бесконечную систему однородных линейных алгебраическихуравнений для коэффициентов An :122ω02 + [s + i(2n − 1)(ω0 + /2)] An == − h ω02 (An−1 + An+1 ).(C.12)2Инкремент s определяется из условия равенства нулю определителя этойбесконечной системы: (−∞ < n < +∞).Будем искать решение, используя малость параметра h. В нулевом приближении (при h → 0) ряд (11) сводится к обычным свободным колебаниямс постоянной частотой ω0 :x(t) → a cos (ω0 t + ϕ) = A+ eiω0 t + A− e−iω0 t ,(C.13)A± = 1 a e±iϕ .2Сравнивая (11) и (13), найдем, что в нулевом приближении s = = 0 и всеамплитуды, кроме A0 и A1 , равны нулю. Подставляя нулевое приближениев правую часть уравнения (12), найдем далее, что в первом по h приближении отличны от нуля лишь коэффициенты A−1 = (h/16) A0 и A2 == (h/16) A1 .В итоге, оставляя лишь члены первого порядка в уравнении (12), получаем систему из двух уравнений:2 ( + 2is) A0 − hω0 A1 = 0,2 ( − 2is) A1 − hω0 A0 = 0.(C.14)ДОПОЛНЕНИЯ224Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем для инкрементаследующее выражение1 :+s = 1 (hω0 )2 − 42 .4Отсюда, вспоминая определение , находим нейтральную кривую (s = 0):γ = 2ω0 ± h ω0 .2Область неустойчивости начинается от h = 0 и находится между расходящимися пунктирными прямыми на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
