1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Егоестественно рассматривать в 2s-мерном фазовом пространстве с координатами q, p. Особый интерес представляет описание финитного движениясистемы в течение неограниченного времени.Движение многомерных систем очень разнообразно. Для систем с разделяющимися переменными справедливо утверждение, что все s переменных действия являются интегралами движения:Ii (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) = const,i = 1, 2, . . . , s,(44.1)поэтому в фазовом пространстве движение такой системы происходит поs-мерной поверхности, определяемой уравнениями (1).
Вообще говоря, точка, изображающая движение системы, проходит как угодно близко к любой184Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКАточке данной поверхности. Это становится очевидным, если перейти в фазовом пространстве к переменным действие–угол. Проекция фазовой траектории на плоскость w1 , w2 изображена на рис. 66. Поскольку qi , pi являются периодическими функциями wi , достаточно рассматривать изменениеугловых переменных в пределах 0 wi 2π.
На плоскости w1 , w2 фазоваятраектория размещается в пределах квадрата, причем его противоположныестороны должны быть отождествлены («склеены») друг с другом.Рис. 66. Фазовая траектория на плоскости w1 , w2Если отношение ω1 /ω2 — число иррациональное (общий случай!), тофазовая траектория плотно заполняет весь квадрат. В пространстве q, p фазовая траектория заполняет s-мерную поверхность «тора».
Такое движениеназывается условно-периодическим.Если какие-либо из отношений ωi /ωj оказываются рациональнымичислами, то проекция фазовой траектории на плоскость wi , wj становится замкнутой кривой и размерность области, заполняемой ею в фазовомпространстве, уменьшается.В общем случае переменные в уравнении Гамильтона–Якоби не разделяются и фазовая траектория заполняет область большей размерности.«Гарантирован» (при ∂H/∂t = 0) лишь один интеграл уравнений движения H(q, p) = E, так что это область (2s−1)-измерений (мы в нашем курседалеки от доказательства этого факта).
Таким образом, невозможность разделения переменных обусловлена (в общем случае) не нашим неумениемнайти подходящие криволинейные координаты, а самим характером движения системы.Оказывается, что движение системы, лишь немного отличающейся отсистемы с разделяющимися переменными, может быть исследовано методами последовательных приближений. Для небольшого отрезка времени такая задача решается относительно легко. Однако с увеличением рассматриваемого интервала времени задача сильно усложняется из-за возникновениятак называемых резонансных явлений.§ 44. Движение системы со многими степенями свободы.
Динамический хаос 185Рассмотрим пример, в некотором отношении противоположный случаю условно-периодического движения. Пусть большое число шаров, движущихся без трения по плоскому ограниченному столу, абсолютно упругосталкиваются друг с другом и со стенками. Едва ли можно наблюдать такой«газ» где-нибудь, кроме экрана дисплея. Тем не менее это хорошая модельнастоящего газа.Законы движения шаров очень просты и формально вся фазовая траектория системы большого числа шаров определяется ее начальной точкой,т. е. начальными координатами и импульсами шаров. Посмотрим, как изменится фазовая траектория, если направление движения одного из шаровв начальный момент времени изменить на очень малый угол ϕ0 ∼ 10−8 .Такое движение будем называть возмущенным.
Исследуем, как будет изменяться угол отклонения при столкновениях. При этом ограничимся самыми грубыми оценками. Будем иметь в виду, что средний путь шара междустолкновениями l много больше радиуса шара a, т. е. l a. За время доочередного столкновения шар движется по прямой и центр его сместитсяот невозмущенного положения на расстояние OO ∼ lϕ0 (рис. 67).
Того жепорядка и смещение точки соприкосновения шаров при ударе.AA ∼1OO ∼ lϕ0 ,2α∼AA,aϕ1 ∼ α ∼lϕ0 .aРис. 67. Упругое соударение шаровУчасток поверхности второго шара в окрестности точки касания играет при ударе роль «зеркала». Это «зеркало» само двигалось до удара, приударе оно отскакивает, поэтому направление, в каком отскакивает наш шар,не определяется правилом «угол падения равен углу отражения». Тем неменее поворот «зеркала» на малый угол α ведет к изменению направлениядвижения отскочившего шара на угол ϕ1 ∼ α (может быть в полтора-двараза больше или меньше — такой уровень точности в данном случае насГлава IV.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА186устраивает). Так какlϕ0 ϕ0 ,aто при ударе отклонение резко возрастает. После k столкновений отклонение klϕk ∼ϕ0 .aϕ1 ∼Возмущение угла отклонения пробного шара растет экспоненциально современем. Если l/a ∼ 10, то достаточно k ∼ 8 ÷ 10 столкновений, чтобыстало ϕ1 ∼ 1 и возмущенное направление движения шара перестало иметькакое бы то ни было отношение к невозмущенному. Оказывается, что роствозмущения переносится на все шары, фазовая траектория возмущенногодвижения экспоненциально удаляется от фазовой траектории невозмущенного и именно вследствие этого разбегания устанавливается распределениеМаксвелла по скоростям.Такое различие в поведении условно-периодических систем и поведении системы соударяющихся шаров приводит к качественному различиюсодержания численного моделирования этих систем.Примером слабовозмущенной условно-периодической системы служит Солнечная система, в которой почти эллиптические траектории планет, возмущенные притяжением между ними, тем не менее с хорошей точностью рассчитываются на тысячелетия как вперед, так и назад по времени (что позволяет, например, «предсказывать» затмения, наблюдавшиесяв древности).Предсказание же с помощью компьютера координат и скоростей сталкивающихся шаров через сколько-нибудь значительное время принципиально невозможно.
Неизбежные неточность задания начальных данныхи ошибки округления при вычислениях экспоненциально нарастают, и, чтобы предвидеть движение шаров спустя 100 соударений, согласно сделаннойоценке нужно было бы задать их начальные скорости с фантастической точностью ∼ 100 знаков.Если мы все же представим себе, что вычисления ведет какой-то сверхкомпьютер, справляющийся с любым числом знаков, все равно придетсяпризнать, что движение спустя большой (но не очень!) промежуток времени «контролируется» все более далекими знаками после запятой в начальных условиях.
Иначе говоря, с обычной точки зрения, это движениеоказывается случайным.Но при этом максвелловское распределение по скоростям прекрасноустанавливается. Уже при нескольких шарах можно видеть возникнове-§ 44. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос 187ние «молекулярного хаоса», получать функции распределения по скоростями т. д.Легко понять, что вывод о катастрофическом росте неопределенностейкоординат относится и к системе большого числа шаров. Относится они к движению молекул настоящего газа. Только для молекул неопределенности возникают из-за всяческих возмущений, которыми во всех других отношениях можно пренебречь, а для наших шаров — из-за ограниченноститочности расчетов.
Таким образом, движение шаров (и молекул) являетсявполне закономерным в относительно малые промежутки времени и случайным — за долгий промежуток. Отметим, что эта случайность реализуется в рамках закона сохранения энергии.В заключение необходимо сказать, что вопрос о возникновении случайности в движении, формально строго определенном, лежит в интенсивно развиваемой в настоящее время области физики.Более того, представление о том, что возникновение хаотического движения при полной, казалось бы, определенности начальных условий является скорее правилом, чем исключением, проникло уже в другие областинауки и в философию.ГЛАВА VДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАВ настоящей главе под твердым телом мы будем подразумевать совокупность материальных точек, расстояния между которыми не изменяются в процессе движения.
Это означает, что мы пренебрегаем всеми видами деформации твердого тела, во многих случаях такое пренебрежениевполне разумно. Отметим также, что такое приближение возможно лишьв нерелятивистской механике (существование «абсолютно твердого тела»противоречит теории относительности, потому, например, что с его помощью можно было бы передавать сигналы с произвольной скоростью).§ 45.
Кинематика твердого телаПоложение твердого тела в некоторой инерциальной системе координат XY Z можно задать следующим образом. Пусть к этому телу «прибита»система координат x = x1 , y = x2 , z = x3 c началом в точке O (рис. 68),мы будем называть эту систему координат «подвижной». Тогда шесть величин — три координаты радиус-вектора R точки O в инерциальной системеXY Z и три угла, которые задают ориентацию осей подвижной системыxyz относительно осей XY Z, — полностью определяют положение твердого тела.Пусть твердое тело состоит из N материальных точек.
Для каждойтакой материальной точки a = 1, 2, . . . , N с массой ma и радиус-векторомra в системе координат xyz eе радиус-вектор в инерциальной системе естьR + ra .Подчеркнем важный для дальнейшего факт, что проекции xa , ya , za вектора ra на оси xyz подвижной системы координат не изменяются придвижении твердого тела, хотя сам вектор ra может изменять свое направление (но не длину!).Произвольное движение твердого тела можно представить как совокупность двух простых движений — поступательного и вращательного. При§ 45. Кинематика твердого тела189Рис.
68. Инерциальная система координат XY Z и «подвижная» система координатxyz, «прибитая» к твердому телупоступательном движении изменяется вектор R, а вектор ra не изменяетсвоего направления, так что любая линия, соединяющая две произвольныематериальные точки данного твердого тела, остается параллельной самойсебе при таком движении. В этом случае скорость va любой материальнойточки твердого тела совпадает со скоростью движения точки O, т. е.va = Ṙ ≡ V.(45.1)При вращательном движении, напротив, положение точки O не изменяется, а твердое тело вращается с угловой скоростью Ω вокруг направления, задаваемого единичным вектором n.
Удобно ввести вектор угловойскоростиΩ = Ω · n.Конечно, этот вектор зависит от времени Ω = Ω(t), поскольку как величинаугловой скорости, так и направление вращения могут изменяться с течением времени. При вращательном движении твердого тела составляющие егоматериальные точки вращаются с угловой скоростью Ω в плоскостях, перпендикулярных направлению n, поэтому скорость a-й материальной точкиравна (ср. § 17.2)(45.2)va = [Ω, ra ].Поясним эту простую формулу следующим формальным рассмотрением. Введем орты ei подвижной системы координат x1 x2 x3 со свойствамиei ek = δik ,i, k = 1, 2, 3.Вектор ra можно представить в виде разложения по этим ортам:ra = xa e1 + ya e2 + za e3 .(45.3)Глава V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА190При вращении твердого тела орты ei также вращаются с той же угловойскоростью Ω, так чтоdei= [Ω, ei ].(45.4)dtВ то же время координаты xa , ya , za вектора ra , как отмечено выше, неизменяются при движении твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
