1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В правой части уравнения (2) с высокой частотой изменяются второе и четвертое слагаемые.Поскольку ожидается, — и мы это сейчас увидим, — что амплитуда ξ0 мала,последним слагаемым, как имеющим второй порядок малости по амплитуде, пренебрегаем и получаем уравнениеmξ¨ = f (X) cos ωt.(32.3)Его общее решение содержит медленно меняющееся решение однородного уравнения, которым пренебрегаем, и оставляем быстро осциллирующее§ 32.
Движение в быстро осциллирующем поле133частное решение неоднородного уравнения, которое находим, считая медленную координату X(t) постояннойξ0 = −f (X).mω 2(32.4)Уравнение для медленной переменной получаем, усредняя уравнение (2) запериод высокочастотных колебаний. Средние от линейных по ξ, f слагаемых в левой и правой частях равны нулю. Среднее от последнего слагаемого нулю не равно и дает эффективную добавку к силе:df (X)f (X).mẌ = − dU − 1 2dX2mω dX(32.5)Записывая правую часть этого уравнения в виде −dUэф /dX, гдеUэф = U +f2,4mω 2(32.6)видим, что усредненное движение происходит так, будто кроме исходного поля U действует дополнительное поле, пропoрциональное квадратуамплитуды высокочастотной силы.
Это дополнительное поле выталкиваетчастицу в ту область, где амплитуда силы меньше.Аналогичный результат имеет место и для случая трехмерного движения.Рассмотренный в этом примере способ решения задач, связанныйс разделением быстрых и медленных движений, широко применяется в различных задачах механики.Задача32.1. Вычислить эффективное поле для маятника, точка подвеса которого колеблется вертикально с амплитудой a, и найти, при каком условииверхнее положение становится устойчивым.ГЛАВА IVГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА§ 33.
Уравнения ГамильтонаДля системы с s степенями свободы имеется s уравнений Лагранжаd ∂L∂L=,dt ∂ q̇i∂qii = 1, 2, . . . , s,(33.1)причем это дифференциальные уравнения второго порядка, содержащиеq̈i , q̇i и qi . Обобщенные импульсы определяются соотношениямиpi =∂L,∂ q̇i(33.2)и в силу (1) для них справедливо уравнениеṗi =∂L.∂qi(33.3)Соотношения (2) и (3) показывают возможность перейти от уравненийвторого порядка (1) к уравнениям первого порядка для новых переменных qi и pi .
Действительно, так как лагранжиан есть функция обобщенныхкоординат, скоростей и времени L = L(q, q̇, t), то соотношения (2) и (3)можно разрешить относительно q̇i и ṗi :q̇i = fi (q, p, t),ṗi = gi (q, p, t),i = 1, 2, . . . , s,(33.4)т. е. представить в виде системы 2s уравнений первого порядка относительно переменных qi , pi .33.1. Функция Гамильтона. Уравнения ГамильтонаСпособ получения явного вида функций fi и gi заключается в следующем. Полный дифференциал функции Лагранжаs ∂L∂L∂Ldtdqi +dq̇i +dL(q, q̇, t) =∂qi∂ q̇i∂ti=1§ 33.
Уравнения Гамильтона135перепишем, используя (2), (3), в видеdL(q, q̇, t) =s(ṗi dqi + pi dq̇i ) +i=1∂Ldt.∂t(33.5)Отсюда легко получить, что для функцииH(p, q, t) =spi q̇i − L(33.6)i=1полный дифференциал равенdH(p, q, t) =s(q̇i dpi − ṗi dqi ) −i=1∂Ldt.∂t(33.7)Выражение (6), рассматриваемое как функция обобщенных координат, импульсов и времени, называется функцией Гамильтона или гамильтонианом.Напомним, что та же величина, рассматриваемая как функция времени придвижении системы, является энергией E(t) (см. § 13).Выражая дифференциал H через частные производные, немедленнополучаем искомые уравнения — уравнения Гамильтона или каноническиеуравнения:q̇i =∂H(p, q, t),∂piṗi = −∂H(p, q, t),∂qii = 1, 2, . .
. , s,(33.8)и равенство∂L(q, q̇, t)∂H(p, q, t)=−.∂t∂tОтметим, что здесь частная производная по времени от функции Гамильтона берется при постоянных координатах и импульсах, а от функции Лагранжа — при постоянных координатах и скоростях.В отличие от уравнений Лагранжа (1) уравнения Гамильтона (8) являются уравнениями первого порядка, их 2s штук и они содержат 2s неизвестных q1 , .
. . , qs , p1 , . . . , ps и их первые производные по времени. Для аналитического решения в случае простых систем лагранжев подход часто оказывается более удобным, чем гамильтонов. Однако во многих случаях, когданеобходим общий подход, например в статистической физике, предпочтительным оказывается гамильтонов формализм.
Особую ценность гамильтоновой механике придает наличие в ней более широкого (чем в лагранжевой механике) класса преобразований, относительно которого уравнения Гамильтона ковариантны (см. § 36). Упомянем, наконец, что переходГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА136от классической механики к квантовой наиболее естественно происходитименно в рамках гамильтонова формализма.Приведем примеры гамильтонианов для разных систем.Пример 1. Пусть функция ЛагранжаL(q, q̇) =1a(q)q̇ 2 + b(q)q̇ + c(q)2(ср.
(13.6)), тогда величина (6) равнаpq̇ − L =1a(q)q̇ 2 − c(q).2Но эта величина станет функцией Гамильтона только после того, как обобщенная скорость q̇ в ней будет выражена через обобщенный импульс, равный∂L= a(q)q̇ + b(q),p=∂ q̇и обобщенную координатуq̇ =p − b(q).a(q)В итоге функция Гамильтона равнаH(p, q) =[p − b(q)]2− c(q).2a(q)(33.9)В частности, для гармонического осциллятора функция ЛагранжаL(x, ẋ) = 1 mẋ2 − 1 mω 2 x222имеет обсуждаемую структуру и потому функция Гамильтона равнаH(p, x) =2 2p2+ mω x .2m2Пример 2.
Для частицы в центральном поле функция Лагранжа в сферических координатах дается формулой (8.8), функция Гамильтона равнаH(pr , pθ , pϕ , r, θ, ϕ) =p2ϕp2θp2r+ U (r).++2m 2mr 22mr 2 sin2 θ(33.10)§ 33. Уравнения Гамильтона137Пример 3. Для нерелятивистской частицы в электромагнитном полелагранжиан и энергия даны в (10.4) и (13.8); с учетом (10.5) имеем21 eH(p, r, t) =p − A(r, t) + eϕ(r, t).(33.11)2mcПример 4. В релятивистском случае (см. (11.1) и (11.3))2eH(p, r, t) =p − A(r, t) c2 + m2 c4 + eϕ(r, t).c(33.12)Пример 5. Фотон (квант света) — это релятивистская частица с массойm = 0 и зарядом e = 0. Согласно предыдущему примеру, его функцияГамильтона для движения в вакууме равнаH(p, r) = c|p|.Распространение света в прозрачной изотропной среде с показателем преломления n(r) в приближении геометрической оптики определяетсяфункцией Гамильтона (см.
[9, § 85])H(p, r) =c |p|.n(r)(33.12a)Уравнения Гамильтона имеют видc p,ṙ = npṗ = −cp ∂n,n2 ∂rp = |p|.Фактически в геометрической оптике «частицей» является волновой пакет,r(t) есть закон именно его движения, ṙ — это групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой векторэлектромагнитной волны.33.2. Интегралы движения в гамильтоновом подходе1. Простейший способ находить интегралы движения в гамильтоновом подходе аналогичен использованию циклических координат в лагранжевом подходе (см.
§ 13). Если функция Гамильтона не зависит от какойлибо обобщенной координаты,∂H(p, q, t)= 0,∂qkГлава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА138то соответствующий обобщенный импульс сохраняется:pk = const.Если функция Гамильтона не зависит от какого-либо обобщенного импульса, то сохраняется соответствующая обобщенная координата.2.
Рассмотрим вопрос о том, как при движении системы изменяетсяфункция Гамильтона. Из (7) c учетом уравнений движения (8) получаемs ∂Hdpidqi∂HdH(p, q, t) =− ṗi=.(33.13)q̇i+dtdtdt∂t∂ti=1Таким образом, если функция Гамильтона не зависит от времени явно,∂H(p, q, t)= 0,∂tто энергия сохраняетсяE(t) = H(p(t), q(t)) = const.Пример 1. В качестве примера рассмотрим подробнее решение уравнений Гамильтона для частицы в постоянном однородном магнитном поле1 .Направим ось z вдоль магнитного поля B = (0, 0, B) и выберем векторныйпотенциал в формеA = (0, xB, 0).(33.14)Гамильтониан2H(px , py , pz , x, y, z, t) = 1 p2x + py − ec Bx + p2z2m(33.15)не зависит от t, y, z, поэтому интегралами движения являются энергияи компоненты импульса py и pz :py = mẏ + eBc x = const,pz = mż = const.Видно, что движение вдоль оси z равномерное:pzz = m t + z0 .(33.16)1 Закон движения в этом случае нам хорошо известен, мы рассмотрим именно подход к решению задачи с помощью уравнений Гамильтона.
Это будет полезно в квантовой механике.§ 33. Уравнения Гамильтона139ОбозначимeB ,ω = mcx0 =cpypy= mω ,eB(33.17)тогда гамильтонианH=2p2p2x+ mω (x − x0 )2 + z2m22m(33.18)совпадает с гамильтонианом гармонического осциллятора (см. пример 1в предыдущем разделе), движущегося в направлении оси x, с центром колебаний в точке x0 (надо иметь в виду, что величины x0 и pz постоянны).Поэтому мы можем записать сразу же, не выписывая уравнений движения,x = x0 + R cos ω(t − t0 ),px = mẋ = −mωR sin ω(t − t0 ),(33.19)где R, t0 — постоянные интегрирования. Из уравнения∂xẏ = ∂H = mω 2 (x0 − x) 0 = −ωR cos ω(t − t0 )∂py∂pyнаходим зависимость y(t):y = y0 − R sin ω(t − t0 ).(33.20)Таким образом, частица движется вдоль оси z с постоянной скоростьюpz /m и вращается с угловой скоростью ω в плоскости xy. При ω > 0 вращение происходит по часовой стрелке по окружности радиуса R с центромв точке с координатами (x0 , y0 ).Отметим, что обобщенный импульс py имеет (с точностью до множителя mω) смысл x-координаты центра орбиты частицы в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля.
При другом выборе векторного потенциала смысл обобщенных импульсов окажется другим.3. Пусть функция Гамильтона зависит от переменных q1 и p1 лишьчерез посредство функции f (q1 , p1 ), т. е.H = H(f (q1 , p1 ), q2 , p2 , . . . , qs , ps ),тогда f (q1 , p1 ) есть интеграл движения.Действительно,df∂f∂f=q̇1 +ṗ1dt∂q1∂p1(33.21)Глава IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА140и, используя уравнения Гамильтона в форме∂fq̇1 = ∂H = ∂H,∂p1∂f ∂p1∂fṗ1 = − ∂H = − ∂H,∂q1∂f ∂q1получаем df /dt = 0. Отсюда следуетf (q1 , p1 ) = const.(33.22)Очевидно обобщение этого результата: если функция Гамильтона имеет видH = H(f (q1 , p1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
