1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Устойчивость колебания вблизи максимума потенциальной энергиив этом случае обеспечивается достаточно большой силой Лоренца.Если условия (3) или (4) не выполнены, то по крайней мере один из2перестает быть положительным и соответствующее решениекорней ω1,2отвечает уходу частицы от начала координат (рис. 34).23.3. Частица внутри гладкого вращающегося параболоида в полетяжестиРассмотрим гладкий параболоид2y2z= x + ,2a 2bГлава III. КОЛЕБАНИЯ98Рис. 33. Гироскопические силы не дают частице упасть с потенциального холмавращающийся вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью Ω.
Ускорение силы тяжести g = (0, 0, −g). Найдем, при каком значении Ω нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутрипараболоида.Пусть r и v — радиус-вектор и скорость частицы во вращающейсясистеме координат. Функция Лагранжа в этой системе равна2L(r, v) = m (v + [Ω, r]) + mg r =2= m (ẋ − Ωy)2 + (ẏ + Ωx)2 + ż 2 − g22x +yab2!.Для малых колебаний можно опустить слагаемое mż 2 /2, тогда уравнениядвижения отличаются от уравнений движения в § 23.2 лишь заменамиgkx2m → a −Ω ,kyg2m → b −Ω ,ωB → 2Ω.§ 23. Колебания при наличии гироскопических сил99Рис. 34. Частица покидает седловую точку потенциальной энергии, двигаясь примерно по линии уровняТеперь легко убедиться, что движение вблизи начала координат будетустойчивым при gg22− Ω > 0,a −Ωbа при выполнении условияg g22− Ω <0a −Ωbчастица уходит от начала координат.
Считая для определенности a > b,получаем область неустойчивостиgg2a < Ω < b.Обратим внимание на то, что при Ω2 > g/b движение устойчиво, хотяпотенциальная энергия во вращающейся системе отсчетаg 2 mgm22Ω −a x −U =−Ω −y222bГлава III. КОЛЕБАНИЯ100представляет не потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивостьв этом случае обеспечивается действием силы Кориолиса.23.4.
Точки Лагранжа в Солнечной системеИнтересный пример проявления гироскопических сил — движениегрупп астероидов под воздействием Солнца и Юпитера вблизи так называемых точек Лагранжа3 . Будем для простоты представлять орбиту Юпитера окружностью.
В системе отсчета, вращающейся с такой же угловойскоростью, с какой Юпитер движется вокруг Солнца, и с центром в центре тяжести системы Солнце–Юпитер на астероид действуют потенциальные силы притяжения к Солнцу и Юпитеру и центробежная сила инерции.Точками Лагранжа называют такие точки, в которых сумма этих сил равна нулю. Две таких точки движутся по орбите Юпитера на 60◦ впередии позади него.
Иначе говоря, Солнце, Юпитер и точка Лагранжа образуютправильный треугольник.Потенциальная энергия как функция координат, определяющих положение в плоскости орбиты, имеет вблизи этих точек Лагранжа максимум. Однако движение астероида вблизи них оказывается устойчивым из-завлияния кориолисовой силы.Вблизи указанных точек Лагранжа, действительно, наблюдаются скопления астероидов, называемые «греками» и «троянцами».§ 24. Колебания симметричных системМногие системы — механические и электротехнические устройства,кристаллическая решетка твердого тела, молекулы и т. д. — обладают теми или иными свойствами симметрии. Приведем примеры симметричныхмолекул. Линейная молекула CO2 (рис. 35) не изменяется при повороте на180◦ вокруг оси y.
Плоская молекула C2 H4 (рис. 36) не изменяется приповоротах на 180◦ вокруг оси x или вокруг оси y, при зеркальном отражении в плоскости xz или в плоскости yz. Плоская молекула хлорида бораBCl3 (рис. 37) не изменяется при повороте на 120◦ или 240◦ вокруг оси z.Эти свойства молекул находят свое отражение в специфике собственныхколебаний молекул и, соответственно, в спектрах излучения, поглощенияи комбинационного рассеяния света. Последовательное рассмотрение таких свойств симметрии проводится с помощью теории групп. Здесь мы дадим доказательство только нескольких полезных свойств систем с простойсимметрией.3 Подробнееоб этом можно прочитать, например, в задаче 9.27 из [3].§ 24.
Колебания симметричных системРис. 35. Молекула CO2101Рис. 36. Молекула C2 H4Рис. 37. Молекула BCl3Пусть система, совершающая линейные колебания (а следовательно,и ее функция Лагранжа L(x, ẋ, t)), не изменяет своего вида при заменеx → Ŝ x,ẋ → Ŝ ẋ,(24.1)причем постоянные коэффициенты Sij , образующие матрицу Ŝ, удовлетворяют условиям4Ŝ = Ŝ T , Ŝ Ŝ = Ê.(24.2)Мы будем говорить, что система обладает симметрией S. Оказывается, собственные колебания такой системы также обладают определенными свойствами симметрии.Пусть x = A cos(ωt + ϕ) — какое-либо нормальное колебание.
Таккак замена x → Ŝx не изменяет лагранжиана и, следовательно, уравненийдвижения, то Ŝx также есть нормальное колебание с той же самой частотой.Отсюда вытекает следующее:а) если данная частота невырождена, то Ŝx может отличаться от xлишь общим множителем, т. е. Ŝx = λx. Так как Ŝ Ŝ = Ê, тоŜ Ŝx = λŜx = λ2 x = x,или λ = ± 1. Таким образом, колебание x = A cos(ωt + ϕ), частота которого невырождена, является либо симметричным ŜA = A, либо антисимметричным ŜA = −A относительно преобразования S;б) если данная частота вырождена, то Ŝ x может отличаться от x нетолько общим множителем. Но сумма и разность этих двух решенийx ± Ŝx = (A ± ŜA) cos(ωt + ϕ),Ŝ Ŝ = Ê или j Sij Sjk = δik означает, что при двукратном преобразованиисистема возвращается в исходное состояние.
Таким свойством обладают преобразования, рассмотренные выше для примеров на рис. 35 и 36. Напротив, в последнем примере, на рис. 37,двукратное применение поворота на 120◦ не возвращает систему в исходное состояние.4 УсловиеГлава III. КОЛЕБАНИЯ102также будут нормальными колебаниями с той же самой частотой, причемсумма является симметричным, а разность — антисимметричным колебанием относительно преобразования S;в) пусть на систему действует внешняя сила F(t), симметричная относительно данного преобразования:ŜF(t) = +F(t).Если xa — антисимметричное колебание, т.
е. Ŝxa = −xa , тоŜ F(t), Ŝ xa = −(F(t), xa ).С другой стороны, Ŝ F(t), Ŝ xa = F(t), Ŝ T Ŝ xa = + (F(t), xa )в силу свойств (2). Отсюда получаем (F(t), xa ) = 0, т. е. проекция силы наданное колебание равна нулю и поэтому симметричная сила не влияет наантисимметричные колебания (ср. § 21). Аналогично можно показать, чтоантисимметричная сила не влияет на симметричное колебание.Простой пример. Две одинаковые частицы соединены одинаковымипружинками и могут двигаться только вдоль прямой AB (рис.
38). Пусть x1и x2 — смещения частиц из положения равновесия. Система не изменяетсяпри повороте на 180◦ вокруг оси y, т. е. лагранжиан системы k 21m(ẋ21 + ẋ22 ) −x1 + (x1 − x2 )2 + x2222не изменяется при замене x1−x20 −1x=→ Ŝ x =, Ŝ =.−1 0x2−x1L=Рис. 38. Простая симметричная система(24.3)(24.4)§ 25. Колебания молекулЛегко проверить, что матрица Ŝ удовлетворяетусловиям (2). Значит, все колебания этой системы непременно будут либо симметричными, Ŝ xs = +xs , либо антисимметричными, Ŝ xa = −xa .
Этих требованийв данном случае достаточно для определения вида нормальных колебаний (рис. 39): 1xs =a cos(ωs t + ϕs ),−1 s 1xa =a cos(ωa t + ϕa ).1 aПредположим теперь, что точки A и B одновременно движутся по закону xA = xB = b cos(γt + ϕ). Этозначит, что на систему воздействует внешняя сила 1F(t) =k b cos(γt + ϕ).1103Рис. 39. Векторынормальных колебаний системы,изображенной нарис.
38Сила эта антисимметрична: Ŝ F(t) = −F(t), вектор силы направлен по xaи ортогонален xs . Поэтому данная сила не влияет на симметричное колебание и вызывает резонансную раскачку лишь антисимметричного колебания(при γ → ωa ).Более сложные и содержательные примеры, касающиеся колебаниймолекул, изображенных на рис. 35–37, можно найти в [3, задачи 6.46, 6.48,6.50а].Задачи24.1. Найти нормальные координаты системы четырех одинаковых частиц на кольце (рис. 40). Указание: удобно воспользоваться свойствами симметрии и взаимной ортогональности нормальных колебаний.24.2. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце(рис. 41).§ 25. Колебания молекулМолекула из N атомов имеет 3N степеней свободы, соответствующих3N компонентам радиусов векторов атомов r1 , r2 , . . .
, rN . При нахожденииГлава III. КОЛЕБАНИЯ104Рис. 40. К задаче 24.1Рис. 41. К задаче 24.2нормальных колебаний молекулы следует исключить поступательное движение и вращение молекулы как целого5 . Поступательное движение молекулы можно исключить, перейдя в систему центра инерции, в которойкоординаты атомов связаны условиемNma ra = 0,(25.1)a=1где ma — масса a-го атома. Пусть ua — смещение a-го атома из положенияравновесия, определяемого радиусом вектором ra0 , тогдаra = ra0 + ua ,ṙa = u̇a .(25.2)Поскольку в положении равновесияNma ra0 = 0,a=1то условие (1) перепишется в видеNma ua = 0.(25.3)a=1Это же условие можно получить, используя известные нам соотношения ортогональности нормальных колебаний (см.
§ 20). Действительно,5 Движение электронов и ядер в молекуле определяется не классической, а квантовой механикой. Тем не менее, после усреднения по быстрому движению электронов можно в определенном приближении рассматривать колебательное движение ядер как классическое.§ 25. Колебания молекул105малые колебания молекулы описываются функцией ЛагранжаNNua , k̂ab ub ,L(u, u̇) = 1ma u̇2a − 122a=1(25.4)a,b=1где k̂ab — матрица жесткостей. Среди решений уравнений Лагранжаma üa +Nk̂ab ub = 0(25.5)b=1помимо решенийx(α) = (u1 , . . . , uN ),(25.6)отвечающих нормальным колебаниям с ненулевыми частотами ωα , естьтакже решения с частотой ω0 = 0, отвечающие движению молекулы какцелого со скоростью V:x(0) = (Vt, . . . , Vt).(25.7)Соотношение ортогональности в метрике масс (20.5a) решений (6) и (7)имеет видNma ua = 0,Vt ·a=1а из произвольности вектора V как раз и следует условие (3).Вращение молекулы как целого можно исключить, требуя, чтобы момент импульса молекулы был равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
