1612134389-38f1c0b45e1f51152856fa5b86345f0b (829489), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Далее читались уже устоявшиеся традиционные разделы аналитической механики как части курса теоретической физики: линейные и нелинейные колебания, гамильтонов формализм, движениетвердого тела. Возникшие в последнее время такие важные разделы, какобщее исследование уравнений динамики, улучшенная теория возмущенийПредисловие7для нелинейных колебаний, динамический хаос, должны, по нашему мнению, быть предметами отдельных дополнительных курсов.(ii) Если была возможность достаточно просто провести аналогии илисопоставления с электродинамикой, квантовой механикой, статистическоймеханикой, мы не могли устоять перед такими искушениями.(iii) В пособие включено большинство задач, которые решались на семинарах. Основным пособием для семинаров по данному курсу является«Сборник задач по классической механике» Коткина и Сербо [3], в котором студенты и преподаватели могут найти не только постановку задач, нои их решения.(iv) Содержание книги несколько (но не слишком!) расширено по сравнению с тем, что читалось на лекциях.(v) Для вдумчивых студентов есть дополнения, расширяющие и проясняющие основной текст.Нумерация формул содержит две цифры.
Например, (3.7) означаетформулу (7) из § 3. Ссылки на формулы из данного параграфа даются в сокращенном виде без указания номера параграфа.В заключение заметим, что есть много хороших книг по аналитической механике, начиная с «Механики» Ландау и Лифшица (первый том курса теоретической физики) [1] и «Классической механики» Голдстейна [2].Из числа написанных позже книг упомянем курс механики Кембриджскогоуниверситета — D. Tong «Classical Dynamics» (доступна по адресу в Интернете http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/).ГЛАВА IНЬЮТОНОВА МЕХАНИКА.ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ.
РАССЕЯНИЕВ дальнейшем предполагаются хорошо известными из курса общейфизики такие понятия, как инерциальная система отсчета, материальнаяточка или частица, масса, сила, потенциальная энергия и законы Ньютона.§ 1. Одномерное движение в потенциальном поле. ПериодколебанийПусть в некоторой инерциальной системе отсчета частица массы mдвижется вдоль оси x в потенциальном поле U (x, t). Хорошо известно, чтоуравнение движения (уравнение Ньютона)mẍ = Fx (x, t) = −∂U (x, t)∂x(1.1)с начальными условиями x(t0 ) = x0 , ẋ(t0 ) = v0 имеет единственное решение x(t). Если потенциальная энергия не зависит от t, т.
е. U = U (x), топри движении в таком поле сохраняется энергияE=1mẋ2 + U (x) = const,2(1.2)что можно проверить прямым дифференцированием по времениdU(x)dE = mẍ +ẋ = 0.dtdxЭнергия представляет собой пример интеграла движения, т. е. такойфункции координат и скоростей, которая сохраняется при движении системы. Для одномерного движения наличие такого интеграла движения дает§ 1.
Одномерное движение в потенциальном поле. Период колебаний9возможность вместо уравнения второго порядка (1) использовать уравнениепервого порядка (2) и найти в квадратурах закон движения x(t).Действительно, по начальным данным находим константуE = 1 mv02 + U (x0 ),2после чего в уравнении первого порядкаdx = ± 2 [E − U (x)] (для ẋ ≷ 0)mdt(1.3)переменные разделяются и ответ в квадратурах имеет вид xdxt=± m+ t0 .2E − U (x)(1.4)x0Точки xi , в которых U (xi ) = E, определяют границы области движения частицы. В этих точках скорость vi = 0, но ускорение ai = −U (xi )/mможет быть отлично от нуля.Рассмотрим пример потенциальной энергии c локальным максимумом Um (рис. 1). Поскольку кинетическая энергия T = E − U (x) > 0,то при энергии E < Um движение возможно лишь в двух областях: в интервале x1 x x2 и на полупрямой x x3 .
Ускорения a1,2,3 = 0, причемa1,3 > 0, a2 < 0, поэтому вблизи точек x1,2,3 движение оказывается приближенно равноускоренным и эти точки являются точками поворота. В областиx1 x x2 частица совершает колебания (движение финитное) с периодом√.T = 2m dxE − U (x)x2(1.5)x1В области x x3 частица уходит на бесконечность, ее движение инфинитно.Особый случай — движение частицы с энергией, равной величине локального максимума, E = Um .
В этом случае в точке локального максимума xm сила Fx (xm ) = −U (xm ) = 0, т. е. не только скорость, но и ускорениечастицы обращаются в нуль. Пусть, например, U (xm ) = 0, но U (xm ) = 0.В этом случае вблизи точки xm потенциальная энергия имеет видU (x) = Um + 1 U (xm ) (x − xm )2 + . . . ,2U (xm ) < 0,10Глава I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКАРис. 1.
Границы движения в потенциальном полеи решение уравнения (4), соответствующее приближению к точке xm , таковоU (xm )−λ(t−t0 ), λ= − m ,x(t) = xm − (xm − x0 ) eт. е. x(t) → xm лишь при t → ∞. Таким образом, в рассматриваемом случае приближение частицы к точке xm слева или справа будет происходитьбесконечно долго. Отсюда, в частности, следует, что период колебаний (5)обращается в бесконечность, когда энергия E → Um .Задачи1.1. Описать качественно характер движения частицы массы m в поле(при x > 0)2 a 2U (x) = V a2 1 − xxпри различных значениях энергии частицы.1.2.
Найти закон движения частицы в поле U (x) = −Ax4 , если ееэнергия равна нулю. В начальный момент частица находится в точке x(0) == a. Рассмотреть случаи ẋ(0) > 0 и ẋ(0) < 0.Тот же вопрос для поля U (x) = −kx2 .1.3. При длительном наблюдении финитного движения частицы можноговорить о распределении вероятностей обнаружить частицу вблизи точ-§ 2. Движение в центральном поле11ки x. Точнее, вероятность dw обнаружить частицу в интервале (x, x + dx)можно определить как отношение времени ее пребывания на этом интервале dt к полупериоду ее движения: dw = 2 dt/T .
Найти плотность вероятности dw(x)/dx для движения частицы в осцилляторном поле U (x) == mω 2 x2 /2 с амплитудой a.§ 2. Движение в центральном полеПотенциальная энергия центрального поля зависит лишь от модулярадиус-вектора U (r) ≡ U (r). Движение частицы в центральном поле — этои движение планеты в Солнечной системе, и движение электрона в атоме.К тому же это один из немногих примеров задач, решаемых в квадратурах при произвольной зависимости U (r). Разумеется, уравнения движениячастицы можно интегрировать численно. Однако определение закона движения «в лоб» на длительное время в сколько-нибудь сложных условиях —задача, превосходящая возможности даже мощных компьютеров.Большое число учебных задач можно найти в [3], § 2. Обратим внимание на простые и точно решаемые задачи 2.3 и 2.5 и на интереснуюзадачу 2.36, несколько выходящую за рамки необходимого минимума.2.1.
Радиальное движениеПри движении частицы в центральном поле сила1F = − ∂U = − dU rr∂rdrнаправлена по радиус-вектору или против него и потому сохраняется нетолько энергия1E = mv2 + U (r),(2.1)2но и момент импульсаM = m[r, v],(2.2)так какdM = [r, F] = 0.dt1 Производныепо вектору определяются следующим образом:∂∂∂∂≡,,.∂r∂x ∂y ∂zГлава I.
НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА12Из уравнения (2) следует, что орбита частицы находится в плоскости,перпендикулярной постоянному вектору M; пусть это будет xy-плоскость.Вводя полярные координаты r и ϕ в этой плоскости (рис. 2), получаемE=1 2 1mṙ + m (r ϕ̇)2 + U (r),22M = (0, 0, M ),M = mr 2 ϕ̇.(2.3)(2.4)Рис. 2. Компоненты скорости в полярных координатахИспользуя (4), исключим ϕ̇ из (3):E=1 2mṙ + Uэф (r),2M2.(2.5)2mr 2Таким образом, радиальное движение сведено к одномерному движениюв поле с эффективной потенциальной энергией Uэф (r), включающей центробежную энергию M 2 /(2mr 2 ) (ср. (1.2)).
Из (5) находимdr = ± 2 [E − U (r)] (для ṙ ≷ 0)эфmdtUэф (r) = U (r) +илиdt = ± m dr,2E − Uэф (r)откуда и получаем зависимость t(r): rdrt=± m+ t0 .2E − Uэф (r)r0(2.6)§ 2. Движение в центральном поле13Это уравнение вполне аналогично уравнению (1.4) для одномерногодвижения.
Поэтому для радиального движения r(t) можно повторить всето, что было сказано для зависимости x(t) в § 1 с заменой потенциальной энергии U (x) на эффективную потенциальную энергию Uэф (r). Такточки ri , в которых Uэф (ri ) = E, определяют границы области движениячастицы по радиусу. В этих точках радиальная скорость ṙi = 0, но радиальное ускорение r̈i = −Uэф(ri )/m обычно отлично от нуля. При этом точки riявляются точками поворота для движения частицы по радиусу. Пусть, например, зависимость Uэф от r имеет такой же вид, как и зависимость U от xна рис. 1. В этом случае при энергии E < Um движение возможно лишьв двух областях: финитное движение в интервале r1 r r2 и инфинитноедвижение в области r r3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
