1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487)
Текст из файла
Г. Л. КОТКИН , В. Г. С ЕРБОСБОРНИК ЗАДАЧПО КЛАССИЧЕСКОЙМЕХАНИКЕИздание четвертое, исправленное и дополненноеМосква Ижевск2010УДК 531(075)ББК 22.21я73К 733физикаматематикабиологиянефтегазовыетехнологииПредисловие к четвертому изданию . . . . . . . . . . .
. . . . . .4Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . .5§ 1.Коткин Г. Л., Сербо В. Г.Сборник задач по классической механике. Изд. 4-е, испр. и доп. — Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010, 360 стр.В настоящее издание включены новые задачи из числа использованных в преподавании на физическом факультете Новосибирского государственного университета, а также задачи, добавленные в изданиях на испанском и французском языках.По охватываемому материалу сборник соответствует книгам «Механика»Л. Д. Ландау, Е.
М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.Для студентов, аспирантов и преподавателей, — физиков и математиков.ISBN 5-93972-058-7c Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, 2001, 2010c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 2010http://shop.rcd.ruhttp://ics.org.ruББК 22.21я73§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.§ 13.Интегрирование уравнений движения систем с однойстепенью свободы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Движение частиц в полях . . . . . . . . . . . . . . . .Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Уравнения движения. Законы сохранения . . . . . .
.Малые колебания систем с одной степенью свободы .Малые колебания систем с несколькими степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Колебания линейных цепочек . . . . . . . . . . . . .Нелинейные колебания . . . . . . . . . . .
. . . . . .Движение твёрдого тела. Неинерциальные системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона . . . . . . .Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . .Уравнение Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . .Адиабатические инварианты . . . . . . . .
. . . . . .Ответыи решенияhttp://shop.rcd.ru••••ЗадачиИнтернет-магазинОглавление6872831417241301451622840441782332534653576467267293304324340Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Предисловие к четвертому изданиюПредисловие ко второму изданиюВ настоящее издание включены новые задачи из числа использованныхв преподавании на физическом факультете Новосибирского государственного университета, а также задачи, добавленные в изданиях на испанскоми французском языках. Мы также постарались избавиться от наследия телеграфного стиля прежних изданий. С этой целью внесено значительноечисло исправлений и дополнений, уточняющих или проясняющих условияи решения задач.В этом году вышла книга Коткина, Сербо и Черных «Лекции по аналитической механике» [33], написанная на основе нашего многолетнего опытачтения лекций и проведения семинаров на физическом факультете Новосибирского государственного университета.
В ряде случаев мы нашли уместным сделать дополнительные ссылки на тот или иной раздел этой книги,прямо связанный с рассматриваемой задачей.Кроме того, мы согласовали обозначения этого сборника и «Лекций».В этом издании основные обозначения таковы:r, p и M — радиус-вектор, импульс и момент импульса частицы;L, H и E — функция Лагранжа, функция Гамильтона и энергия системы;E и B — электрическое и магнитное поля;ϕ и A — скалярный и векторный потенциалы;dΩ — элемент телесного угла.Настоящее издание существенно дополнено и переработано. Наибольшей переработке подверглись §§ 6 и 9. В § 6 для исследования колебанийсложных систем более широко используются свойства симметрии и методытеории возмущений.
Значительно расширен § 9 (о движении твердого тела).Мы рады случаю выразить глубокую благодарность редактору английского перевода задачника профессору Д. тер Хаару, многочисленные замечания которого способствовали устранению ряда неточностей и опечаток.Мы признательны А. В. Михайлову за полезные обсуждения некоторыхновых задач.Из предисловия к первому изданиюПредлагаемый сборник задач предназначен для студентов-физиков. Поохватываемому материалу он примерно соответствует книгам «Механика»Л.
Д. Ландау и Е. М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.Мы надеемся, что чтение сборника будет интересным не только длястудентов, изучающих механику, но и для лиц, знающих её. Порядок расположения задач в основном такой же, как и в курсе Ландау и Лифшица, затем исключением, что систематическое использование уравнений Лагранжаначинается здесь с § 4. Задачи же первых трех параграфов можно решать,используя лишь уравнения Ньютона и законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. За редкими исключениями обозначения в сборникесовпадают с обозначениями «Механики» Л.
Д. Ландау и Е. М. Лифшица ичасто даже специально не оговариваются. В задачах об электрических цепях используется Международная система единиц СИ, а в задачах о движении частиц в электромагнитных полях — гауссова система.Мы глубоко благодарны Ю. И. Кулакову за постоянную помощь. Намособо хотелось бы подчеркнуть его роль в составлении и обсуждении большого числа задач. Мы считаем приятным долгом поблагодарить И. Ф. Гинзбурга за целый ряд полезных советов и указаний, которые были нами приняты к сведению.
Мы весьма благодарны В. Д. Кривченкову, живое участиеи советы которого укрепили нас в решимости довести до конца эту работу,1.9]§ 1. Интегрирование уравнений движения систем7Задачи§ 1. Интегрирование уравнений движения систем с однойстепенью свободы1.1. Определить закон движения частицы в поле U (x):a) U (x) = A(e−2αx − 2e−αx ) (потенциал Морза, рис. 1, а);б) U (x) = −U0(рис.
1, б);ch2 αxв) U (x) = U0 tg2 αx (рис. 1, в).Рис. 3Рис. 41.5. а) Оценить период движения частицы в поле U (x) (рис. 4), еслиеё энергия близка к Um (т. е. E − Um Um − Umin ).б) Определить, в течение какой части периода частица находится научастке от x до x + dx.в) Определить, в течение какой части периода частица имеет импульс mẋ в интервале от p до p + dp.г) На плоскости x, p = mẋ изобразить качественно линии E(x, p) == const для случаев E < Um , E = Um , E > Um .1.6.Частица массы m может двигаться по окружности радиуса lв вертикальной плоскости в поле тяжести (математический маятник). Найти закон её движения, если кинетическая энергия в нижней точке E равна 2mgl.Оценить период обращения маятника в случае, когда E − 2mgl 2mgl.Рис. 11.2.Найти закон движения частицыв поле U (x) = −Ax4 , если энергия её равнанулю.1.3.Определить приближенно закондвижения частицы в поле U (x) вблизи точкиостановки x = a (рис.
2).У КАЗАНИЕ . Воспользоваться разложениемU (x) в ряд Тейлора вблизи точки x = a. РассмотРис. 2реть случаи U (a) = 0 и U (a) = 0, U (a) = 0.1.4. Определить, по какому закону обращается в бесконечность период движения частицы в поле, изображенном на рис. 3, при приближенииэнергии E к Um .1.7. Определить закон движения математического маятника при произвольном значении энергии.У КАЗАНИЕ . Зависимость угла отклонения маятника от времени выражаетсячерез эллиптические функции (см., например, [1], стр. 150).1.8. Определить изменение закона движения частицы на участке, несодержащем точек остановки, вызванное добавлением к полю U (x) малойдобавки δU (x).Исследовать применимость полученных результатов вблизи точкиостановки.1.9.
Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x):2 23а) U (x) = mω x , δU (x) = mαx ;232 2mβx4mωxб) U (x) =, δU (x) =.248Задачи[1.101.10. Определить изменение периода финитного движения частицы,вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x).1.11. Найти изменение периода движения частицы, вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x).2 2mβx4;а) U (x) = mω x (гармонический осциллятор), δU (x) =22 2mωx , δU (x) = mαx3 ;б) U (x) =23в) U (x) = A(e1.12.−2αx− 2e−αx4αxU0с энергией E > U0 .ch2 αxНайти время задержки частицы при движении от x = −∞ до x = +∞ посравнению со временем свободного движения с той же энергией.§ 2. Движение частиц в полях2.1.Описать качественно характер движения частицы в поле U (r) =γ= −αr − r 3 при различных значениях момента импульса и энергии.2.2. Найти траектории и законы движения частицы в поле−Vпри r < R,U=0при r > R(рис.
5, «сферическая прямоугольная потенциальнаяяма») при различных значениях момента и энергии.Рис. 52.3.Определить траекторию частицы в полеβU (r) = αr + r 2 . Выразить изменение направления еёскорости при рассеянии через энергию и момент.βОпределить траекторию частицы в поле U (r) = αr − r 2 . Найтивремя падения частицы в центр поля с расстояния r.
Сколько оборотоввокруг центра сделает при этом частица?2.4.2.5.βОпределить траекторию частицы в поле U (r) = − αr − r 2 . Полетакого вида возникает в задаче о движении релятивистской частицы в кулоновском поле в специальной теории относительности — подробнее см. [33],§ 42.1.2.6.2.7. При каких значениях момента импульса M возможно финитноедвижение частицы в поле U (r)?а) U (r) = − αer(V A).Определить траекторию частицы в поле U (r) = − αr +β. Найтиr2угловое расстояние Δϕ между двумя последовательными прохождениямиперигелия (точки r = rmin ), период радиальных колебаний Tr и периодобращения Tϕ . При каком условии траектория окажется замкнутой?9§ 2. Движение частиц в полях−κ r), δU (x) = −V eЧастица движется в поле U (x) =2.15];б) U (r) = −V e−κ2 2r.2.8.
Частица падает в центр поля U (r) = −αr−n с конечного расстояния. Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей,конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории для малых r.2.9. Частица в поле U (r) уходит на бесконечность с расстояния r = 0.Будет ли число оборотов, сделанных ею вокруг центра, конечным?а) U = αr−n ; б) U (r) = −αr−n .2.10. Определить время падения частицы с расстояния R в центрполя U (r) = −α/r, рассматривая траекторию как вырожденный эллипс.Начальная скорость частицы равна нулю.2.11.Определить наименьшее расстояние между частицами, еслипервая из них налетает из бесконечности со скоростью v и прицельнымпараметром ρ на вторую, первоначально покоившуюся.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
