1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти смещение диска за большое время. Наклонная плоскость составляет малый угол α с горизонтальной.9.20. а) Найти в квадратурах закон движения неоднородного шара,который движется без трения по горизонтальной плоскости. Распределениеплотности симметрично относительно оси, проходящей через центр масси геометрический центр шара.Исследовать влияние малых сил трения на движение шара в случае,когда в отсутствие трения шар двигался бы так, что угол между осью симметрии и вертикалью был бы постоянным.б) Найти уравнения движения описанного шара, если он катится безпроскальзывания по горизонтальной плоскости.9.21.
Найти отклонения к востоку и к югу от вертикали свободнопадающего с высоты h тела. Начальная скорость тела равна нулю.9.22. 2 Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной смолой,приводят во вращение с угловой скоростью ω2вокруг оси AB, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси CD с угловойскоростью ω1 (рис. 60).
Какую форму примет,затвердев, поверхность смолы?9.23. Частица движется в центральномполе U (r). Найти уравнение траектории и закон движения в системе координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью Ω, параллельной моменту импульса M.Рис. 609.24. Найти малые колебания частицыm, прикрепленной пружинками жёсткости k1 и k2 к рамке, вращающейся1 Это означает, что сцепление диска с плоскостью в «точке» соприкосновения таково, чтоплощадка в месте контакта не скользит по плоскости и не проворачивается. Потерями энергиина трение качения пренебречь.2 Задача В.
С. Кузьмина и М. П. Перельройзена.52Задачи[9.25в своей плоскости с угловой скоростью Ω (рис. 61). Частица может двигаться в плоскости рамки.9.25.10.8]53§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассонажёсткости связи. Момент импульса перпендикулярен к плоскости молекулы.Гладкий параболоид§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона2y2z= x +2a 2bвращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω. При каком значении ω нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейсявнутри параболоида? Ускорение силы тяжести g = (0, 0, −g).9.26. Рамка с частицей массы m, закреплённой на пружинках (длины которых l, коэффициенты жёсткости k и натяжения при неподвижнойрамке f ) вращается с угловой скоростью γ вокруг оси z, смещённой нарасстояние a от центра рамки (рис. 62).10.1.
Пусть функция Гамильтона H системы частиц не изменяетсяпри бесконечно малом переносе (повороте). Вывести отсюда закон сохранения импульса (момента импульса).10.2. Найти функцию Гамильтона свободно движущегося симметрического волчка, выбрав в качестве координат эйлеровы углы θ, ϕ, ψ.10.3. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого22 2L = ẋ − ω x − αx3 + βxẋ2 .2210.4 а.Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой10.4 б. p2ω 2 x2ω 2 x2 2p2.+ 0 +λ+ 02222√То же для H(x, p) = A p − xF .H(x, p) =10.5.Рис. 61Рис.
62Определить равновесное расстояние частицы от оси и исследовать егоустойчивость.Рассмотреть следующие случаи:а) частица может двигаться только вдоль пружин;б) возможны любые смещения частицы.Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона ко-торой H(p, r) =c|p|(луч света).n(r)Найти траекторию, если n(r) = ax.10.6.Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равнаа) H(p, r) =p2− pa2m(a = const);б) H(p, r) =c|p|.n(r)9.27. Две звезды движутся по окружностям вокруг их центра масс.В системе отсчёта, в которой звезды неподвижны, найти такие точки, в которых помещенное там легкое тело также остается неподвижным.
Исследовать устойчивость этих «положений равновесия». (Ограничиться точками,не лежащими на прямой, соединяющей звезды.)10.7. Найти закон движения заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле B, решая уравнения Гамильтона. Векторный потенциал выбрать в виде9.28.Определить нормальные колебания трёхатомной молекулы,описанной в задаче 6.49, если её момент импульсаM не равен нулю. Угловая скорость вращения молекулы Ω k/m; здесь k — коэффициент10.8. Исследовать качественно движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле, описываемом векторным потенциалом A == (0, hx2 , 0). Сравнить с дрейфовым приближением.Ay = xB,Ax = Az = 0.54Задачи[10.910.9.Показать, что задача о движении двух частиц с противоположными зарядами (e и −e) в однородном магнитном поле приводится к задаче о движении одной частицы в заданных потенциальном и магнитномполях [30].В задачах 10.9–10.13 идет речь о движении электронов в металле или полупроводнике.
Электроны в твёрдом теле представляют собой систему частиц, взаимодействующих как друг с другом, так и с ионами, образующими кристаллическуюрешетку. Их движение описывается квантовой механикой. В теории твёрдого телачасто удаётся привести задачу о движении многих взаимодействующих частиц, составляющих тело, к задачам о движении отдельных свободных частиц (называемыхквазичастицами — электронами или дырками в зависимости от знака заряда), имеющих, однако, сложную зависимость энергии от импульса ε(p) («закон дисперсии»)1 .Во многих случаях оказывается возможным рассматривать движение квазичастиц спомощью классической механики.
Функция ε(p) является периодической функцией с периодом, равным периоду так называемой обратной решётки2 . В остальномрассматриваемые далее зависимости ε(p) можно считать произвольными.10.10. Известно, что ε(p) является периодической функцией p с периодом, равным периоду обратной решётки, умноженным на 2πh̄ (например, для кубической решетки с периодом a период ε(p) равен 2πh̄/a).Определить закон движения электрона в однородном электрическомполе E.У КАЗАНИЕ К ЗАДАЧАМ 10.11–10.13.В этих задачах удобно, кромеобобщённого импульса P, ввести кинематический импульс p = P − ec A, где A —векторный потенциал магнитного поля.10.11.Полагая функцию ГамильтонаH(P, r) = ε(P − ec A) + eϕ,получить уравнения движения (заряд электрона e < 0).1 Например,для дырок в кристаллах германия и кремнияε(p) = 1 Ap2 ± B 2 p4 + C 2 (p2x p2y + p2x p2z + p2y p2z ) ,2mгде оси координат выбраны в соответствии с симметрией кристаллов, m — масса электрона, аконстанты A, B, C имеют следующие значения:GeSi2 Например,A−13,1−4,0B8,31,1C12,54,1для кристалла, решётка которого обладает в направлении оси x наименьшим2πh̄периодом a, имеем ε(px , py , pz ) = ε px + a , py , pz , где h̄ — постоянная Планка.10.19]§ 10.
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона5510.12. а) Найти интегралы движения электрона в твердом теле в постоянном однородном магнитном поле. Как выглядит «траектория» в импульсном пространстве?б) Доказать, что проекция траектории электрона в постоянном однородном магнитном поле на плоскость, перпендикулярную к B, в обычномпространстве получается из траектории в импульсном пространстве поворотом и изменением масштаба.10.13.
Выразить период обращения электрона в постоянном однородном магнитном поле через площадь S(E, pB ) сечения поверхности ε(p) == E в импульсном пространстве плоскостью pB = p B = const.B10.14. Вычислить скобки Пуассона:а) {Mi , xj }, {Mi , pj }, {Mi , Mj };б) {ap, br}, {aM, br}, {aM, bM};в) {M, rp}, {p, rn }, {p, (ar)2 }.Здесь xi , pi , Mi — декартовы компоненты векторов, a, b — постоянныевекторы.10.15.Вычислить скобки Пуассона {Ai , Aj }, гдеA1 = 1 (x2 + p2x − y 2 − p2y ),4A3 = 1 (xpy − ypx ),2A2 = 1 (xy + px py ),2A4 = x2 + y 2 + p2x + p2y .10.16. Вычислить скобки Пуассона {Mi , Λjk }, {Λjk , Λil }, где Λik == xi xk + pi pk .10.17. Показать, что скобка Пуассона {Mz , ϕ} = 0, где ϕ — любаяскалярная функция координат и импульсов частицы ϕ = ϕ(r2 , p2 , (rp)).Показать, что скобка Пуассона {Mz , f } = [n, f ], где n — единичныйвектор в направлении оси z, а f — векторная функция координат и импульсов частицы, т.
е. f = r ϕ1 + p ϕ2 + [r, p] ϕ3 и ϕi = ϕi (r2 , p2 , (rp)).10.18.Вычислить скобки Пуассона {f , aM}, {fM, lM}, где a == const, а f и l — векторные функции r и p.10.19. Найти скобку Пуассона{Mζ , Mξ }, где Mζ , Mξ — проекциимомента импульса на оси ζ, ξ декартовых координат, жёстко связанных свращающимся твёрдым телом.56Задачи[10.2010.20. Составить уравнения движения проекции Mα момента импульса на оси, связанные со свободно вращающимся телом. Функция ГамильтонаH= 1(I −1 )αβ Mα Mβ .2α, β10.21. В этой задаче рассматривается модель электронного и ядерного парамагнитного резонанса (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
