1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле U = −α/r2 .3.10.Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяниябыстрых частиц (E V ) в поле U (r). Исследовать подробнее предельные случаи, когда угол отклонения близок к своему минимальному илимаксимальному значению:2 2V.a) U (r) = V e−κ r ; б) U (r) =2 21+κ r3.11. Поток частиц, скорости которых первоначально параллельныоси z, рассеивается на неподвижном эллипсоиде2x2 + y + z 2 = 1.a2b2c2βγ− 4.r2r3.5.
Найти сечение падения частиц на шарик радиуса R, находящийсяв центре поля U (r):при r < R,3.7. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц (E V ) в поле U (r):2а) U (r) = V ln 1 + a2 ;r⎧ ⎨ V 1 − r2при r < R,2б) U (r) =R⎩0при r > R.Найти сечение падения частиц в центр поля:а) U = − αr −15Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния, если эллипсоид:а) гладкий упругий, б) гладкий неупругий, в) шероховатый упругий.3.12.
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния намалые углы в нецентральном поле U (r) (здесь a — постоянный вектор):а) U (r) = ar2 ; б) U (r) = ar3 .rr3.13. Найти поправку к дифференциальному эффективному сечениюрассеяния частиц в поле U (r), вызванную изменением поля на малую величину δU (r):16Задачи[3.14βа) U (r) = αr , δU (r) = 2 ;§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения173.21. Найти число актов реакции, происходящих в объеме dV за время dt при столкновении двух пучков частиц со скоростями v1 , v2 и плотностями n1 , n2 . Сечение реакции равно σ.rγ,δU(r)=;б) U (r) = αrr3βγв) U (r) = 2 , δU (r) = 3 .rr3.14.
Определить усреднённое по времени дифференциальное эффективное сечение рассеяния как функцию приобретаемой частицами энергиипри рассеянии в полеU (r, t) = (V1 + V2 sin ωt)e−κ4.4]3.22. Частица массы M движется в области, заполненной частицами,массы которых равны m , первоначально неподвижными (m M ). Сечение рассеяния частиц m на частице M есть dσ = f (θ) dΩ. Столкновенияупругие. Найти:а) «силу трения», действующую на частицу M ;б) средний квадрат угла отклонения Θ частицы M .2 2rбыстрых частиц (E V1, 2 ).3.15. Частица, летящая со скоростью V , распадается на две одинаковые частицы. Определить распределение по углу разлета распадных частиц(угол между направлениями вылета обеих частиц). В системе центра массраспад изотропен, а скорость распадных частиц равна v0 .3.16.
Найти распределение распадных частиц по энергиям в лабораторной системе, если в системе центра масс угловое распределение имеетвидdN = 3 sin2 θ dΩ ,008πNгде θ0 — угол между скоростью V первичной частицы и направлением вылета распадной частицы в с. ц. м. Скорость распадных частиц в с. ц. м. равна v0 .3.17. Электрон, имевший на бесконечности скорость v, налетает надругой электрон, первоначально неподвижный (прицельный параметр ρ).Найти скорости электронов после рассеяния.3.18.Определить интервал значений, которые может иметь уголмежду направлениями скоростей после столкновения движущейся частицы (масса m1 ) с первоначально покоившейся (масса m2 ).§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения4.1.
Частица в поле U (x) = −F x за время τ перемещается из точкиx = 0 в точку x = a. Найти закон движения частицы, предполагая, что онимеет вид x(t) = At2 + Bt + C, и подбирая параметры A, B, C так, чтобыдействие имело наименьшее значение.4.2.Частица движется в плоскости xy в поле0 при x < 0,U (x, y) =Vпри x > 0,перемещаясь за время τ из точки (−a, 0) в точку (a, a). Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет видx1, 2 (t) = A1, 2 t + B1, 2 ,y1, 2 (t) = C1, 2 t + D1, 2 .Значки 1, 2 относятся к левой (x < 0) и правой (x > 0) полуплоскостям.4.3. С помощью непосредственного вычисления доказать ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразований координатqi = qi (Q1 , Q2 , . .
. , Qs , t),i = 1, 2, . . . , s.3.19. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния гладких неупругих шариков на таких же шариках, первоначально покоившихся.4.4. Каким образом должна преобразовываться функция Лагранжапри переходе к новым координатам и «времени»3.20. Найти закон, по которому изменяется интенсивность пучка частиц при прохождении им области, заполненной поглощающими центрами.Плотность распределения центров n, сечение поглощения σ.qi = qi (Q1 , Q2 , . . .
, Qs , τ ),i = 1, 2, . . . , s,чтобы уравнения Лагранжа сохранили свой вид?t = t(Q1 , Q2 , . . . , Qs , τ ),18Задачи[4.54.5.Записать функцию Лагранжа и уравнения движения частицыв поле U (x), введя «местное время» τ = t − λx.4.6.4.13]§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияи пусть при этом преобразовании сохраняется вид действия с точностью дочленов порядка ε включительно:Как преобразуется функция Лагранжа 2L = − 1 − dxdtпри переходе к координатам q и «времени» τ :t2 t2 dq dq , t dt = L q , , t dt .L q,dtdtДоказать, что величина ∂L(q̇i h − fi ) − Lh∂ q̇it = q sh λ + τ ch λ?qi = fi (Q1 , .
. . , Qs , t),i = 1, . . . , s.iявляется интегралом движения.4.11. Обобщить теорему предыдущей задачи на случай, когда виддействия при преобразовании координат и времени меняется следующимобразом:4.8. Найти законы преобразования энергии и обобщённых импульсов,сопряжённых полярным и декартовым координатам, при переходе к системе отсчёта, вращающейся вокруг оси z:а) ϕ = ϕ + Ωt, r = r ;б) x = x cos Ωt − y sin Ωt, y = x sin Ωt + y cos Ωt.4.9. Найти законы преобразования энергии и импульсов при переходе к системе отсчёта, движущейся с постоянной скоростью V. ФункциюЛагранжа L в движущейся системе выбрать в видеа) L1 = L(r +Vt, ṙ +V, t), где L(r, ṙ, t) — функция Лагранжа в неподвижной системе;2б) L2 = mv − U (r + Vt, t).
Здесь L2 отличается от L1 на полную2производную по времени от функцииVmr + m V2 t.24.10. Пусть бесконечно малое преобразование координат и времениимеет видqi = qi + εfi (q, t),(Подчеркнем, что в левой и правой сторонах этого равенства стоит однаи та же функция L, но от разных аргументов.)t = t + εh(q, t),ε → 0,t1t1x = q ch λ + τ sh λ,4.7.
Найти законы преобразования энергии и обобщённых импульсовпри преобразовании координат19t2 t2 dF (q , t ) dq dq L q , , t + εdt ,, t dt =L q,dtdtdtt1t1где F (q, t) — произвольная функция координат и времени.4.12.Найти интегралы движения, если вид действия не меняетсяпри:а) пространственном сдвиге;б) повороте;в) сдвиге начала отсчёта времени;г) винтовом сдвиге;д) преобразовании задачи 4.6.4.13. Найти интегралы движения для частицы, движущейся:а) в однородном поле U (r) = −Fr;б) в поле U (r), где U (r) — однородная функция:U (αr) = αn U (r)(уточнить, при каком n преобразование подобия не меняет вид действия);в) в поле бегущей волны U (r, t) = U (r − Vt), где V — постоянныйвектор;20Задачи[4.14г) в магнитном поле, заданном векторным потенциалом A(r), гдеA(r) — однородная функция.д) в электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси z.4.14.Найти интеграл движения, отвечающий преобразованию Гали-лея.4.24]4.15. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле B, если векторный потенциал задан в виде:а) A = 1 [B, r]; б) Ax = Az = 0, Ay = xB.24.16.
Найти интегралы движения для частицы в поле:а) магнитного диполя A = [m, r]/r3 , m = const;б) Aϕ = μ/r, Ar = Az = 0.4.17.которой:Составить уравнения движения системы, функция Лагранжаа) L(x, ẋ) = e−x2 −ẋ2+ 2ẋe−x2ẋ21описывает движение заряженной частицы в магнитном поле B = gr/r3(см. задачу 2.30).
Найти интегралы движения.4.21.ранжаПроверить, что функции Лаг-L q̇12− U q1 ,2q22+ U q22Cприводят к правильным «уравнениямРис. 6движения» для q1 и q2 и правильным значениям энергии. Здесь q̇1 = I — ток, идущий по индуктивности в направлении от A к B (рис. 6, а), q2 — заряд на верхней пластине конденсатора(рис. 6, б), a U — напряжение между точками A и B (U = ϕB − ϕA ).L1 =У КАЗАНИЕ .
Использовать результат задачи 4.11.§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияL2 = −4.22. Используя аддитивность функции Лагранжа и результат предыдущей задачи, составить функции Лагранжа и уравнения Лагранжа для цепей, изображённых на рис. 7 (а, б и в).e−y dy;20б) L(x, ẋ, t) = 1 eαt (ẋ2 − ω 2 x2 ).24.18. а) Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферической системе координат.б) Найти составляющие ускорения в ортогональной системе координат qi , если элемент длины задан соотношениемds2 = h21 dq12 + h22 dq22 + h23 dq32 ,где hi (q1 , q2 , q3 ) — коэффициенты Ламэ.4.19. Записать уравнения движения частицы в произвольных координатах qi , связанных с декартовыми координатами xi соотношениями:а) xi = xi (q1 , q2 , q3 ), i = 1, 2, 3;б) xi = xi (q1 , q2 , q3 , t), i = 1, 2, 3.4.20.Показать, что функция Лагранжа [32]egL = m (ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 ϕ̇2 sin2 θ) − c ϕ̇ cos θ2Рис.
74.23. Найти функции Лагранжа следующих систем:а) цепь с переменным конденсатором, подвижные пластины которогосоединены с маятником массы m (рис. 8, а). Зависимость ёмкости от углаповорота C(ϕ) известна, массой пластин конденсатора пренебречь;б) сердечник на пружинке жёсткости k, втягиваемый внутрь соленоида, индуктивность которого есть заданная функция смещения сердечника L (x) (рис. 8, б).4.24.
Квадратная идеально проводящая рамка может вращаться вокруг закреплённой стороны AB = a (рис. 9). Рамка находится в постоянном однородном магнитном поле B, перпендикулярном к оси AB. Индуктивность рамки L , масса стороны CD равна m, массами других сторонможно пренебречь.Описать качественно характер движения рамки.22Задачи[4.254.30]§ 4.
Уравнения движения. Законы сохранения23причём функция Лагранжа L(qr+1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , t) и коэффициенты bβn не зависят от координат qβ .Показать, что уравнения движения могут быть представлены в видеrsd ∂L∂L ∂bβm − ∂bβn q̇ = 0,− ∂L +mdt ∂ q̇n∂qn∂ q̇β∂qn∂qmβ=1m=r+1 r+1 , . . . , qs , q̇r+1 , . . . , q̇s , t) — функция, получаемая исключениемгде L(qскоростей q̇1 , . .
. , q̇r из L с помощью уравнений связей.Рис. 84.29. Струну можно представить как предельный случай системы Nчастиц (рис. 10), соединённых упругой нитью, при N → ∞, a → 0,N a = const. Функция Лагранжа дискретной системы имеет видРис. 94.25. Пользуясь методом неопределённых множителей Лагранжа, получить уравнения движения частицы в поле тяжести, если она может двигаться по заданной кривой:а) параболе, лежащей в вертикальной плоскости;б) окружности радиуса r = l, расположенной в вертикальной плоскости.Выразить силы реакции связи.4.26. Частица движется в поле тяжести вдоль прямой, равномерновращающейся в вертикальной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
