1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Математический маятник являетсячастью электрической цепи (рис. 34). Перпендикулярно к плоскости рисунка приложено постоянное однородное магнитное поле B. Найтинормальные колебания системы.Рис. 34xi →Sij xj ;6.39. Пусть система, совершающая малые колебания (а следовательно, и её функцияЛагранжа L(x, ẋ)) не изменяет своего вида призаменеẋi →Sij ẋj , i, j = 1, 2, . . . , N,jjпричём постоянные коэффициенты Sij = Sji удовлетворяют условию1Sij Sjk = δik .j1 Это условие означает, что при двукратном преобразования система возвращается в исходное состояние.
Таким свойством обладают, например, отражения относительно плоскостисимметрии системы или повороты на 180◦ относительно оси симметрии.jjРис. 356.42. Найти поправки к частотам нормальных колебаний системычетырёх частиц на кольце (рис. 29), возникающие при малых измененияхмасс — на δm1 для первой и на δm2 для второй частицы.6.43 а. Используя соображения симметрии, определить векторы нормальных колебаний системы частиц (рис. 36 а). Все массы частиц и пружинки одинаковы.6.43 б. Найти собственные колебания «весов» рис. 36 б.
Подвес жесткой рамки BCD осуществлен с помощью короткой гибкой нити, допускающей любые поворотырамки вокруг точки C. Длины стержней BC =√= CL = l, BD = l 3, длины нитей AB = DE = 3l. В точках A, B, D, Eзакреплены одинаковые грузики. Массы стержней и нитей не учитывать.6.44.Найти нормальные колебания системы восьми масс, прикреплённых пружинками к неподвижной рамке (рис. 37).
Жёсткости k, натяжения f и длины l всех пружинок одинаковы.38Задачи[6.456.52]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы396.48.Классифицировать собственные колебания молекулы этилена C2 H4 по их свойствам симметрии относительно осей AB и CD (рис. 40).В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.Рис. 36Рис. 396.45. Рамка, изображенная на рис.
37, колеблется вдоль направления AA по закону a cos γt. При каких значениях частоты γ возможна резонансная раскачка колебаний?6.46. Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулы ацетилена C2 H2 (рис. 38), предполагая, что потенциальная энергиямолекулы зависит как от расстояния между соседними атомами, так и отуглов HCC.Рис. 37Рис. 386.47.Две одинаковые частицы прикреплены пружинками к неподвижной рамке (рис. 39). Система симметрична относительно оси CF .Какие сведения о нормальных колебаниях можно получить, не знаяжёсткостей и натяжении пружинок?Рис. 406.49. Найти нормальные колебания молекулы, имеющей форму равностороннего треугольника.
Считать, что потенциальная энергия зависиттолько от расстояний между атомами (все атомы одинаковы). Момент с точностью до малых первого порядка включительно по амплитуде колебанийравен нулю.6.50. Молекула AB3 имеет форму правильного треугольника, в центре которого находится атом A, а в вершинах — атомы B (такова, например,молекула хлорида бора BCl3 ).а) Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения собственных частот молекулы.б) Определить, насколько изменятся частоты колебаний, оставляющихмолекулу равносторонним треугольником, и колебаний, выводящих атомыиз плоскости, если один из атомов B (его масса m) заменить его изотопом,близким по массе (m + δm). Масса атома A равна mA .6.51.
Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения различных собственных частот «молекулы», состоящей из четырёх одинаковых «атомов» и имеющей в положении равновесия формуправильного тетраэдра.6.52.Молекула метана CH4 имеет форму правильного тетраэдра,в вершинах которого расположены атомы водорода, а в центре — атом углерода.40Задачи[7.17.5]§ 7.
Колебания линейных цепочек41а) Определить кратности вырождения собственных частот молекулы.б) На скольких различных частотах происходит резонансное возбуждение собственных колебаний молекулы CH4 , если на неё действует однородное переменное электрическое поле? (Речь идет фактически об электромагнитных волнах инфракрасного диапазона, длина волны которых нанесколько порядков больше размеров молекулы.) Учесть, что атомы водорода и углерода имеют заряды противоположных знаков.Как зависит амплитуда колебаний атома углерода от ориентации молекулы по отношению к электрическому полю?§ 7.
Колебания линейных цепочекРассматриваемые в задачах этого параграфа цепочки частиц, соединённых пружинками, представляют собой простейшие модели, используемые в теории твердоготела (см., например, [18]). Электрические аналоги таких цепочек — искусственныелинии, находящие применение в радиотехнике (см., например, [16]).7.1. Определить нормальные колебания системы N одинаковых частиц массы m, связанных одинаковыми пружинками жёсткости k и могущих двигаться по прямой (рис. 41).У КАЗАНИЕ . Удобно искать нормальные колебания в виде суперпозиции бегущих волн.Рис. 43Рис.
42 б7.4. Определить свободные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой:а) 2N частиц с массами m и M , соединённых одинаковыми пружинками жёсткости k (рис. 44);б) 2N частиц с массами m, соединённых пружинками жёсткости k и K(рис. 45);7.2 а. То же для системы (рис. 42 а), один из концов которой свободен.Рис.
44Рис. 41Рис. 42 аРис. 45в) 2N + 1 частиц с массами m, соединённых пружинками жёсткости kи K (рис. 46). См. указание к задаче 7.1.7.2 б. Определить нормальные колебания системы N плоских маятников, подвешенных друг к другу (рис. 42 б). Массы всех маятников одинаковы, длины равны N l, (N −1)l, . .
. , 2l, l, считая сверху.Рис. 467.3.Найти свободные колебания N частиц, соединённых пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 43). Массы всех частици жёсткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой бегущую по кольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведениюлинейной плотности энергии на групповую скорость.7.5. а) Найти установившиеся колебания системы, описанной в задаче 7.1, если точка A движется по закону a cos γt (рис. 41).б) Левая точка, в которой закреплена пружинка той же системы, движется по закону x0 = a cos γt. По какому закону должна двигаться точка A,42Задачи[7.67.10]§ 7. Колебания линейных цепочек43чтобы колебание представляло собой волну, бегущую вдоль цепочки в сторону точки A?Каким окажется в этом случае поток энергии вдоль цепочки?в) Тот же вопрос, что в пункте а), для системы, изображённой нарис.
42 а.7.6. Те же вопросы, что в пунктах а) и б) предыдущей задачи, но длясистемы, изображённой на рис. 44.7.7. Найти нормальные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой и соединённых пружинками, еслиа) mi = m = mN , i = 1, 2, . .
. , N − 1, жёсткости пружинок одинаковы(рис. 47); исследовать случаи mN m и mN m;б) ki = k = kN +1 , i = 1, 2, . . . , N , все частицы одинаковы (рис. 48);исследовать случаи kN +1 k и kN +1 k.Рис. 47Рис. 49Рис. 50ния R и индуктивности L0 (или ёмкости?) следует подключить к другомуконцу линии, чтобы колебания в линии представляли собой бегущую волну,т. е. чтобы напряжение на каждом из конденсаторов отличалось от напряжения на соседнем только определённым сдвигом фазы?б) То же для искусственной линии рис. 52.Рис. 487.8. а) N маятников связаны пружинками и могут двигаться лишьв вертикальной плоскости, проходящей через горизонтальную линию подвеса (рис. 49).
Найти нормальные колебания системы, если все маятникии пружинки одинаковы и в положении равновесия длина пружинки равнарасстоянию между точками подвеса соседних маятников.б) Найти вынужденные колебания системы рис. 49, если на последнюючастицу действует вынуждающая сила F (t) = F sin γt параллельно линииподвеса.в) 2N одинаковых маятников связаны одинаковыми пружинками и могут двигаться лишь в вертикальных плоскостях, перпендикулярных круговой линии подвеса (рис. 50). Расстояние между соседними точками подвесаравно a. Длина каждой из пружинок в нерастянутом состоянии равна b.
Исследовать, как зависит устойчивость малых колебаний вблизи вертикали отзначения параметра b − a. Радиус окружности линии подвеса R считать достаточно большим, так чтобы малыми величинами l/R, a/R, b/R можнобыло пренебречь.7.9. а) К одному концу искусственной линии рис. 51 подключён источник переменного напряжения U cos γt. Какую цепочку Z из сопротивле-Рис. 51Рис. 527.10.
Упругий стержень можно представить как предельный случайсистемы N частиц (см. рис. 41) при условии N → ∞, a → 0, причёмN m = const и N a = const, где m — масса частицы, a — расстояние междусоседними частицами в положении равновесия. Получить уравнения колебаний стержня как предел уравнений движения дискретной системы.У КАЗАНИЕ . Ввести координату точки стержня ξ = na, а также величины,получаемые при предельном переходе a → 0x(ξ, t) = lim xn (t),∂x = lim xn (t) − xn−1 (t) .a∂ξ44Задачи[7.117.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
