1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Найтиновую функцию Гамильтона H0 (Q, P ).в) Для осциллятора с ангармонической добавкой к потенциальнойэнергии δU = 1 mβx4 усреднить функцию Гамильтона H (Q, P ) по пе-является каноническим. Получить новую функцию Гамильтона H (Q, P, t)для осциллятора с параметрическим возбуждением:риоду быстрых осцилляций 2π/ω.Используя усреднённую функцию Гамильтона, найти медленные изменения переменных Q и P .б) Усреднить H (Q, P, t) по периоду 2π/γ и исследовать качественно движение точки на фазовой плоскости Q, P .
Принять h 1, ε == 1 − γ/ω 1.4H=2 2p2+ mω x (1 − h cos 2γt).2m264Задачи[11.2911.29. а) Рассматривается движение двух слабо связанных осцилляторовH = H0 + V, H0 = 1 (p2x + p2y ) + m (ω12 x2 + ω22 y 2 ),2m2V = mβxy sin(ω1 − ω2 )t, β ω12 ∼ ω22 .В плоскости x, px /mω1 перейдем к системе координат X, Px /mω1 , вращающейся с угловой скоростью ω1 по часовой стрелке; аналогичное преобразование сделаем и для переменных y, py /mω2 . Показать, что X, Y , Px , Py— канонические переменные.Найти новую функцию Гамильтона H (X, Y, Px , Py , t), усреднить еепо времени tуср такому, чтоω1, 21ω1, 2 tуср β ,и исследовать изменение амплитуд колебаний по x и y со временем за времяt ω1, 2 /β.б) То же для V = mβxy sin(ω1 + ω2 )t.§ 12.
Уравнение Гамильтона–Якоби12.1. Найти траекторию и закон движения частицы в поле U (r) с помощью уравнения Гамильтона–Якоби:а) U (r) = −F x;б) U (r) =mω22 y 2mω12 x2+.2212.2. Определить траекторию и закон движения частицы, рассеиваемой в поле U (r) = ar/r3 . Траекторию выразить через квадратуры, а приEρ2 a — и аналитически. Скорость частиц до рассеяния направлена противоположно вектору a.12.3. Найти сечение рассеяния на малые углы частиц, скорость которых до рассеяния направлена противоположно оси z, в поле U (r):θ ; б) U (r) = b cos2 θ ; в) U (r) = b(θ) .а) U (r) = a cos222r12.4.rrНайти сечение падения частиц в центр поля U (r):а) U (r) = ar;r3б) U (r) = ar+λr;3rb(θ)γ− 4;г) U (r) = 2 .в) U (r) = ar3rrrУсреднить сечение, предполагая все направления a равновероятными.12.12]§ 12.
Уравнение Гамильтона–Якоби6512.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса R, являющийся центром поля U (r) = ar/r3 .12.6. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых и падающих в центр поля U (r). Траекторию выразить через квадратуры, а при Eρ2 a — и аналитически.Для первого поля найти аналитическое выражение траектории частицыпадающей в центр при Eρ2 a. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси z.θ ; б) U (r) = − a(1 + sin θ) .а) U (r) = a cos22rr12.7.Найти траекторию и закон движения частицы, падающейв центр поля U (r) = ar/r3 . На бесконечности частица летит вдоль прямойy = ρ, x = −z tg α, где ρ — прицельный параметр (вектор a параллеленоси z, начальные сферические координаты частицы r = ∞, θ = π − α,ϕ = 0).
Траекторию выразить через квадратуры, а при α2 <и аналитически.2Eρ2a 1 —12.8. а) Определить траекторию (выразить через квадратуры) финитθ − α при M = 0.ного движения частицы в поле U (r) = a cosz2rrγacosθб) То же для поля U (r) =+ 4.r2r12.9. При каком условии траектория, найденная в предыдущей задаче, окажется замкнутой?12.10. Описать качественно характер движения частицы и вид траекторий в полеU (r) = ar−αr.r312.11.
При каких значениях момента импульса Mz частицы возможнофинитное движение в поле U (r)?а) U (r) =22γ− b cos2 θ ; б) U (r) = b cos2 θ − α4r.rrrКак выглядит при этом траектория?12.12. Найти уравнение траектории и закон движения частицы в поле U (r) в параболических координатах:a) U (r) = − αr;б) U (r) = − αr − Fr.66Задачи[12.1313.4]67§ 13. Адиабатические инвариантыВ случае б) ограничиться рассмотрением финитного движения, траекторию и закон движения выразить в квадратурах.У КАЗАНИЕ .
Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби искать в видеразложения по r.Внутри гладкого упругого эллипсоида вращения12.17. Каким образом можно найти действие как функцию координати времени, зная полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби?12.13.2x2 + y + z 2 = 1a2a2c2движется частица, вылетевшая из начала координат под углом α к оси z.Найти области эллипсоида, недоступные для частицы.12.14.Найти траекторию частицы(выразить через квадратуры) в поле двух кулоновских центровU (r) = rα − α21r(рис.
63), если скорость частицы на бесконечности параллельна оси O2 O1 z. ОпиРис. 63сать движение частицы, «падающей» на «диполь», образованный данными центрами.12.15. Короткая магнитная линза образована полем, определяемымвекторным потенциаломAϕ = 1 rBz (z), Ar = Az = 02(Bz (z) отлично от нуля в области |z| < a). Из точки (0, 0, z0 ) на линзупадает пучок электронов, близких к оси z. Найти точку (0, 0, z1 ), где пучокбудет сфокусирован. Предполагается, что z0 , z1 a.У КАЗАНИЕ . Интеграл уравнения Гамильтона–Якоби искать в виде разложенияпо степеням r2S(r, ϕ, z, t) = −Et + pϕ ϕ + f (z) + rψ(z) + r σ(z) + .
. .212.16. Магнитная линза образована полем, определяемым векторнымпотенциаломAϕ = 1 rBz (z), Ar = Az = 0,2гдеBBz (z) =.1 + κ2 z 2Из точки (0, 0, z0 ) на линзу падает пучок электронов, близких к оси z.Найти точки, в которых он будет сфокусирован.12.18. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании уравнений движения с помощью полного интеграла уравнения∂S + H − ∂S , p, t = 0,∂t∂pгде H(q, p, t) — функция Гамильтона.
(Уравнение Гамильтона–Якоби в pпредставлении.)12.19. С помощью уравнения Гамильтона–Якоби в p-представлениинайти траекторию и закон движения частицы в однородном поле.§ 13. Адиабатические инварианты13.1. На нити, пропущенной через колечко A (рис. 64),подвешена частица массы m. Определить среднюю силу, действующую на колечко A со стороны нити при малых колебаниях маятника. Найти изменение энергии маятника при медленном вертикальном перемещении колечка.13.2.
Частица движется в прямоугольной потенциальной яме ширины l. Найти, как изменяется энергия частицыпри медленном изменении l, рассматривая столкновения частицы со «стенкой» ямы.13.3. Шарик, находящийся в лифте, подскакивает надупругой плитой. Как изменяется максимальная высота, на которую поднимается шарик, когда ускорение лифта медленноизменяется? Как меняется высота, если плита медленно поднимается?Рис. 6413.4.
Как изменяется энергия частицы в поле U при медленном изменении параметров поля?Uб) U = − 2 0 ;a) U = A(e−2αx − 2e−αx );ch αxв) U = U0 tg2 αx;г) U = A|x|n .68Задачи[13.5У КАЗАНИЕ . Может оказаться удобным использовать формулу ([1], § 49),T = 2π ∂I .∂E13.5.Частица движется по наклоннойплоскости AB (рис.
65), упруго отражаясь отстенки в точке A. Найти, как изменяется максимальная высота подъёмачастицы при медленном изменении угла α.Рис. 6513.6. Как изменяется амплитуда колебаний маятника OA (рис. 66), находящегося в наклонной плоскости, при медленном изменении угла α?13.7. Найти адиабатический инвариант для математического маятника, не предполагая колебания малыми.13.8. Вдоль прямой OA (рис. 67) могут двигаться две частицы, представляющие собой упругие шарикималого радиуса, массы которых соответственно m и M ,Рис. 66причём m M . В точке O частица m отражается отупругой стенки.
Предполагая, что в начальный момент скорость лёгкойчастицы гораздо больше скорости тяжёлой, определить закон движениятяжёлой частицы, усредненный по «периоду» движения лёгкой.Рис. 67Рис. 6813.9. В этой задаче рассматривается модель иона H+2 . Две частицымассы M и находящаяся между ними частица массы m M могут двигаться только вдоль прямой AB (рис. 68).
Лёгкая частица притягиваетсяк каждой из тяжёлых с постоянными силами f , а при столкновениях отражается упруго. Определить частоту малых колебаний расстояния междутяжёлыми частицами (усреднив по движению лёгкой).13.10. Решить методом последовательных приближений уравнениязадачи 11.1а для P и Q в случае, когда частота изменяется медленно(|ω̇| ω 2 , |ω̈| |ω̇|ω), с точностью до первого порядка по ω̇/ω 2 включительно.В чем преимущество переменных P , Q перед p, q в этом случае?13.18]13.11.§ 13. Адиабатические инварианты69Убедиться, чтоq = √1 e(iωω dt)удовлетворяет уравнениюq̈ + ω 2 (t)q = 0с точностью до первого порядка по ω̇/ω 2 включительно.На осциллятор действуетсила F (t).
Найти зависимость адиа1p dq от времени.батического инварианта I =2π13.12.13.13. Найти связь между объёмом и давлением «газа», состоящего из частиц, которые движутся параллельно ребрам внутри куба, размеркоторого медленно изменяется.13.14. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как изменяется энергия частиц, если:а) размеры параллелепипеда медленно изменяются,б) параллелепипед медленно поворачивается?13.15. Частица движется в сфере с упругими стенками, радиус которой медленно изменяется.
Как изменяется при этом энергия частицы и угол,под которым она налетает на стенку?13.16. Как изменяется энергия и траектория частицы, совершающейфинитное движение в поле U (r) при медленном изменении коэффициента γ?а) U = −γr−n (0 < n < 2);γб) U = ar3 + 4 .rr13.17. Найти изменение энергии частицы в центральном поле примедленном «включении» малой добавки к полю δU (r).13.18.
Найти зависимость от времени энергии системы двух связанных осцилляторов, функция Лагранжа которой имеет видL = m (ẋ2 + ẏ 2 − ω12 x2 − ω22 y 2 + 2αxy)2при медленном изменении ω1 . Как изменяется траектория точки (x, y)?70Задачи[13.1913.19.Пусть связь осцилляторов в предыдущей задаче мала:2α ω1,.Показать,что адиабатические инварианты, вычисленные в пре2небрежении связью, сохраняются вдали от области вырождения (ω1 = ω2 )и резко изменяются при медленном прохождении этой области.13.20. В какой области ω1 (t) будут сильно меняться адиабатическиеинварианты осцилляторов, если связь имеет вид δU = βx2 y?13.21. Определить минимальное расстояние, на которое приблизитсяк ребру двугранного угла α частица, упруго отражающаяся от его граней.На расстоянии l от ребра угол падения частицы на грань равен ϕ0 .Задачу решить двумя способами: методом отражений (точно) и с помощью адиабатического инварианта в случае малых α и ϕ0 .13.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
