1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Знак в показателесовпадает со знаком ϕ̇(0). Маятник асимптотически приближается к верхнему положению.При 0 < E − 2mgl 2mgl маятник вращается, медленно «переваливая» через верхнее положение. Период обращения можно оценить, используя результат (2) предыдущей задачи:T =ε0lg ln E − 2mgl ;ε0 = 4π 2 mgl.1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения,энергия равнаE = 1 ml2 ϕ̇2 + mgl(1 − cos ϕ).278Ответы и решения[1.7Пустьв момент t0 угол ϕ(t0 ) = 0 и для определенности ϕ̇(t0 ) > 0.
Введяk = E/2mgl, имеемt= 12 ϕdϕl+ t0 .gϕk 2 − sin201.8]§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободыПри k > 1 маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаемϕ 1g1l1t=.F,+ t0 , ϕ = 2Arcsin sn u,, u = k(t − t0 )2 kk gkl(1)Период обращения2При k < 1 маятник колеблется в пределах −ϕm ϕ ϕm и k =ϕϕ= sin m . Подстановкой sin ξ = 1 sin интеграл (1) приводится к виду12k 2t = gl F (ξ, k) + t0 .Отсюдаϕ = 2 arcsin[k sn(u, k)],Период колебанийT =4gu = (t − t0 ).lξk) =01 − k 2 sin2 ξ— так называемый неполный эллиптический инте-грал первого рода.
Если u = F (ξ, k), то ξ выражается через одну из эллиптических функцийЯкоби — эллиптический синус: sin ξ = sn(u, k). Полным эллиптическим интегралом первогоπрода называется функция K(k) = F, k . Приведем также формулы для двух предельных2случаев:2K(k) = π 1 + kпри k 1,24при 1 − k 1.K(k) = 1 ln 16 221−kТаблицы и формулы этих функций можно найти, например, в [10]. 1 .kВ частности, при E − 2mgl 2mgl получаемε0,T = gl lnE − 2mglгде ε0 = 32mgl.
Этот результат отличается от довольно грубой оценки,сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной ε0 , т. е. на число,не зависящее от E − 2mgl.1.8.Закон движения в поле U (x) + δU (x) определяется равенствомt=m2xadxE − U (x) − δU (x)(1)(x = a при t = 0). Разлагая подынтегральное выражение в (1) по степеням δU (x), получаем(2)t = t0 (x) + δt(x),гдеdξlgKT = 2kl K sin ϕm .g2В предельных случаях (ср. с задачей 1.4)# "ϕ2mlT = 2π g 1 +при ϕm 1,168T = 4 gl lnпри π − ϕm 1.π − ϕm1 Функция F (ξ,79t0 (x) =δt(x) = 12m2xam2dx,E − U (x)xaδU (x) dx[E − U (x)]3/2(3).(4)Пусть закон движения в отсутствие поправки δU (x), определяемый изуравнения t = t0 (x), есть x = x0 (t). Тогда из (2) находимx = x0 (t − δt(x)),(5)80Ответы и решения[1.8причём в малой поправке δt(x) можно положить x = x0 (t), а также провести разложение (5) по δt.
Окончательноx = x0 (t) − x0 (t)δt(x0 (t)).(6)Вблизи точки остановки x = x1 разложение (2) становится неприменимым, так как поправка δt(x) → ∞ при x1 .Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливойвплоть до точки остановки, если|δU (x)| |F |,F = −U (x1 ).(7)Этот факт связан с тем, что хотя с приближением к точке остановки δtвозрастает, зависимость x(t) вблизи экстремума оказывается слабой.Очевидно, что вблизи x1 невозмущенное движение имеет видx0 (t) = x1 + F (t − t1 )2 .2m(8)U (x1 + δx1 ) + δU (x1 + δx1 ) = E.δU (x1 ). С учетом возмущения δU аналогично (8) имеемFx(t) = x1 + δx1 + F (t − t1 − δt1 )22m(9)(в силу (7) поправкой к F пренебрегаем).
Убедимся, что расчет по формуле (6) приводит к (9).Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от a до b и от bдо x, где b лежит вблизи x1 . Во второй области можно положить δU == δU (x1 ) и U (x) = E − (x − x1 )F . Тогда√m δU (x1 )+ δt0 ,(10)δt = 2F 3 (x − x1 )√ aδU (x) dxm δU (x1 )1m.δt0 =−3/22 2(E − U )F 3 (b − x1 )bПодставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая δt20 , получим (9) с δt1 = δt0 .§ 1.
Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы811.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозмущенное движениеx0 (t) = a sin ωt,E = 1 mω 2 a2 .2При этом |δU/U | ε = αa2 1. Поправкаω#"2αa22δt(x) =a −x + √− 2a ,3ω 3a2 − x21ε−2cos ωt +δt(x0 (t)) =cos ωt3ωи, согласно формуле (6) предыдущей задачи,x(t) = a sin ωt − εa (cos2 ωt + 1 − 2 cos ωt).3С точностью до членов первого порядка по ε включительно2x(t) = a sin ωt + ε − ε a − ε a cos 2ωt326Добавление δU смещает точку остановки на δx1 , согласно уравнениюОтсюда δx1 =1.9](ср. с задачей 8.1 б).б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаемβa2713ωt cos ωt − sin ωt − sin 3ωt , ε = 1.x(t) = a sin ωt + aε2884ω 2(1)Этот результат имеет относительную точность ∼ ε2 в течение одного периода, а через ε−1 периодов формула (1) становится полностью неприменима.
Учитывая периодический характер движения, можно распространитьрезультат (1) на бо́льший промежуток времени. С точностью до членов порядка ε включительно формула (1) преобразуется к явно периодическомувиду x(t) = a 1 − 7 ε sin ω 1 + 3 ε t − a ε sin 3ω 1 + 3 ε t . (2)8282Не учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты порядка ε2 ω, так что (2) сохраняет относительную точность ∼ ε в течение ε−1периодов (ср. с задачей 8.1 а, подробнее об этом см.
в [33], § 29.1).82Ответы и решения[1.10Искомое изменение периода⎡ x +δx⎤22x2 √dx−δT = 2m ⎣E − U (x)dx⎦ .E − U (x) − δU (x)1.10.(1)x1x1 +δx1Разлагать подынтегральное выражение (1) по δU (x) нельзя: условие применимости теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интегралрасходится. Разложение подынтегрального выражения по δU (x) до линейного члена включительно можно провести, если представить δT в виде⎡ x +δx⎤22x2 √∂⎣E − U (x) − δU (x) dx−,E − U (x) dx⎦ .δT = 2 2m∂Ex1x1 +δx1(2)Отсюдаx2√δU (x) dx∂= − ∂ (T δU ),δT = − 2m∂E∂EE − U (x)(3)x1гдеδU = 1TTδU [x(t)] dt(4)2.1]§ 2.
Движение частиц в полях1.11. а) Используя два первых члена ряда (5) предыдущей задачи,получим поправку к периоду 2π/ω, равную3πβEδT = −.2mω 5Эта поправка мала при достаточно малых E.б) Графики потенциальной энергииU (x) и U (x) + δU (x) изображены нарис. 74. Видно, что при E > Um == mω 6 /6α2 добавка делает движение инфинитным. При значениях E, близкихк Um , период колебаний неограниченновозрастает (как | ln(Um − E)|; см.
задачу 1.4); поэтому нельзя рассчитывать, чтов этом случае он определяется небольшим числом членов ряда (5) задачи 1.10.Если же E Um , то поправка к периодуРис. 74равнаδT = 5π E .18ω Um√√3πAV mв) δT =√ формула применима, если |E| |Um | ≈ 8AV5/22α|E|2(E < 0).1.12.Время задержки+∞0— среднее по времени значение δU .Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в период (разумеется, если U (x1, 2 ) = 0); по этому поводу см. задачу 1.3.
Именно поэтому формула (3) может давать хорошее приближение.В некоторых случаях даже малая добавка δU (x) может существенноизменить характер движения частицы (см. например, задачу 1.11 б, в).Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложенияδT по δU :x2∞√(−1)n ∂ n[δU (x)]n dxT = 2m.(5)nn! ∂EE − U (x)n=0x1Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или даже сходящимся рядом.83τ=%где v =11v0 − v−∞2m |E − U (x)|, v0 =%1 ln E ,dx = αv0E − U02E (ср. с решением задачи 1.1 б).m§ 2.
Движение частиц в полях2.1. Для исследования движения частицы используем законы сохранения энергии и момента импульса:mṙ2 + U (r) = E,2m[r, ṙ] = M.(1)(2)84Ответы и решения[2.1Согласно (2) траектория является плоскойкривой. Введя в её плоскости полярные координаты (рис. 75), получаем2 2mṙ2 + mr ϕ̇ + U (r) = E,22mr2 ϕ̇ = M.Рис.
75(3)(4)Исключая из (3) ϕ̇ с помощью (4), находимmṙ2 + U (r) = E,эфф2гдеРис. 76Если 12αγm2 < M 4 , то Uэфф имеет два экстремума приr1, 2 =M2 ∓M 4 − 12αγm2.2mα§ 2. Движение частиц в полях(5)85Максимальное значение Uэфф (r1 ) = Umax положительно при M 4 >16αγm2 (рис. 76, а) и отрицательно при 12αγm2 < M 4 < 16αγm2(рис. 76, б); в обоих этих случаях Uэфф (r2 ) = Umin < 0.Если же M 4 < 12αγm2 , то функция Uэфф(r) монотонна (рис. 76, в).Рассмотрим подробнее случай а).
Если E > Umax , то частица, летящаяиз бесконечности, падает в центр поля. При этом величина ϕ̇, согласно (4),возрастает. Этих соображений достаточно для того, чтобы грубо изобразитьтраекторию частицы (рис. 77, а).На больших расстояниях, таких, что2Uэфф(r) = U (r) + M 2 .2mrТаким образом, радиальное движение можно рассматривать как одномерное движение в поле Uэфф(r).Для качественного исследования характера движения используем графикиγM2(6)Uэфф (r) = − αr − r3 + 2mr2при различных значениях M (рис. 76).2.1]γ αr главную роль в U (r)r3играет член − αr и траектория мало отличается от гиперболы.
(О виде траектории при r → 0 см. задачу 2.8.)Если энергия E близка к Umax , то интервал значений r, близких к r1 , частица проходиточень медленно. Вращение же радиуса-вектора продолжается своим чередом со скоростьюϕ̇ ≈ M 2 , так что частица может сделатьmr1много оборотов вокруг центра, прежде чемпройдет этот интервал (рис. 77, б). Если E =Рис. 77= Umax , то частица в своем радиальном движении асимптотически приближается из бесконечности к точке r = r1 (ср.
с задачей 1.3).Траектория же представляет собой спираль,приближающуюся к окружности радиуса r1 сцентром в O (рис. 78, кривая a). Если частицас такой энергией удаляется от центра в области r < r1 , то её траектория также приближается к этой окружности, но изнутри (рис. 78,кривая b). Наконец, при E = Umax возможнодвижение по окружности r = r1 .Рис. 78Любое изменение величин E или M переводит частицу на траекторию, удаляющуюсяот этой окружности, т. е. движение с r = r1 неустойчиво.Если 0 < E < Umax , то частица, летевшая из бесконечности, отражается от потенциального барьера Uэфф (r) и вновь удаляется на бесконечность.Примерный вид траекторий в этом случае показан на рис. 79 (кривые a и b).Если энергия близка к Umax , то частица сделает много оборотов вокруг цен-86Ответы и решения[2.1тра, прежде чем радиальная скорость ṙ изменит знак.
Чем ближе энергияк нулю (при фиксированном M это соответствует увеличению прицельного параметра), тем менее искривлена траектория частицы. При E < Umaxвозможно также падение в центр поля частицы, которая движется в области r < a. Траектория в этом случае изображена на рис.
80.2.1]§ 2. Движение частиц в полях87Рассмотрим случай M 4 > 12αγm2 . Если частица движется к центру,то в (7) (а значит, и в (8)) следует выбрать знак «минус». Пусть r = r0 приt = 0, тогда (8) можно переписать в виде rdrt=− m.(10)2E − Uэфф(r)r0Равенство (10) определяет в неявном виде зависимость r от времени.Если траектория проходит через точку r = r0 , ϕ = ϕ0 , то уравнение траектории (с учетом выбранного знака) приобретает видrdr + ϕ ,ϕ = −M(11)0r2 |pr |r0гдеРис. 79Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
