1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 13
Текст из файла (страница 13)
80Рис. 81При Umin < E < 0 частица может также совершать радиальные колебания в области c r d (рис. 81). Если энергия близка к нулю, то размах радиальных колебаний велик, период их тоже может стать большим.При энергии, близкой к Umin , траектория близка к окружности радиуса r2 ,причём угол поворота радиуса-вектора за период радиального колебаниязависит от величин α, γ, M (ср. с задачей 5.4).
При E = Umin частицадвижется по указанной окружности.Подобным же образом можно исследовать движение частицы в остальных случаях.Какими особенностями может обладать траектория, если M 4 == 12αγm2 ?Закон движения и уравнение траектории можно найти, используя уравнения (4), (5). Из (5) получаем2 [E − U (r)],ṙ = ± m(7)эфф откудаdr+ C.(8)t=± m2E − Uэфф(r)Исключив dt из (7) с помощью (4), найдем уравнение траекторииdrϕ = ± √M+ C1 .22mr E − Uэфф (r)(9)%|pr | = 2m[E − Uэфф(r)].В частности, для частицы, скорость которой на бесконечности составляет сосью x угол ψ, нужно положить r0 = ∞, ϕ0 = π − ψ.Если E > Umax , то уравнения (10) и (11) полностью определяют закондвижения и траекторию частицы.Если же 0 < E < Umax , то эти уравнения отвечают только участку AB траектории (рис.
79, кривая a). В точке B радиальная компонентаскорости ṙ обращается в нуль, а затем меняет знак. Поэтому участок траектории BC описывается уравнением (9) со знаком «плюс», причём постоянную нужно определять заново. Удобно записать (9) в видеrϕ=Mrmindr + C .1r2 |pr |(12)Нижний предел интеграла мы могли выбрать произвольно, пока не определена постоянная C1 . Согласно (12) имеемC1 = ϕ(rmin ).(13)Определяя ϕ(rmin ) из (11), получаем уравнение участка траектории BC:⎞⎛ rrmin⎠ M dr + ϕ0 .−(14)ϕ=⎝r2 |pr |rminr088Ответы и решения[2.1Подобным же образом определяем закон движения на участке BC⎛ r⎞rmin dr⎠ m.t=⎝−2 E − Uэфф (r)rmin(15)r0Если Umin < E < 0, a < r0 < b, ṙ(0) < 0, ϕ|t=0 = ϕ0 , то уравнение (11) описывает участок траектории AB (рис.
81). Участок BC описывается уравнениемrdr + ϕ ,ϕ=M(16)1r2 |pr |2.3]§ 2. Движение частиц в полях89В приведенных формулах предполагается, что угол ϕ изменяетсянепрерывно, ограничения 0 ϕ < 2π не вводятся. Данному значению r соответствует бесконечно много значений ϕ (при различных n и знаках в формуле (20)); ϕ есть многозначная функция r.
Наоборот, зависимость r(ϕ)однозначна.Аналогично можно выразить законы движения и уравнения траектории и в других случаях.aгде угол ϕ1 можно получить, положив в (11) r = a. Уравнение участка CDrdr + ϕ ,ϕ = −M(17)22r |pr |bгде ϕ2 определяется из (16) при r = b и т. д. Подставляя в (16) и (17)значения ϕ1 и ϕ2 , представим уравнения участков траектории в виде⎞⎛ ra(18)ϕ = M ⎝ − ⎠ 2dr + ϕ0 ,r |pr |⎛ r⎞b aϕ=M⎝ + − ⎠bar0ar0⎛dr + ϕ = M ⎝−0r2 |pr |rb−+2aaar0⎞⎠Рис. 82dr + ϕ .0r2 |pr |(19)Нетрудно убедиться, что уравнение участка траектории, отвечающего n-мурадиальному колебанию (считая участок AB первым), имеет вид1⎞⎛ rb aϕ = M ⎝± +2(n − 1) − ⎠ 2dr + ϕ0 .(20)r |pr |a1 Уравнениегдеar0траектории (20) можно представить в видеrdr,cos γ(ϕ + α) = γMr 2 |pr |abaπ =Mdr , α = Mdr − ϕ .0γr 2 |pr |r 2 |pr |ar02.2.
Вне сферы радиуса R частица движется со скоростью 2E/m,а внутри — со скоростью 2(E + V )/m. В зависимости от соотношения Eи M получаются различные виды траектории.ПриM 2 − V < E < M 2 частица либо движется внутри сфе2mR22mR2ры, испытывая отражения на границе (рис. 82, a), либо (если, кроме того, E > 0) может двигаться и вне сферы (траектория прямая, рис. 82, б).2При M 2 < E имеет место преломление траектории (рис. 82, б).2mR2Как выглядит траектория при E = M 2 − V ?2mR2.3.Для определения уравнения траектории используем формулы2M dr, Uэфф = U (r) + M 2 .ϕ=(1)2mrr2 2m(E − Uэфф)90Ответы и решения2.4](2)r rm , причём E > 0.
Уравнение траектории такое же, как в задаче 2.3(уравнение (2)), а в равенствах (3) нужно заменить β на −β. Основное отличие от траектории, найденной в задаче 2.3, возникает вследствие того, чтоγ < 1. Примерный вид траектории показан на рис. 85. (Точка перегиба Aопределяется условием dU/dr = 0, т. е.
r = 2β/α.)Для случая β > M 2 /2m график Uэфф (r) приведен на рис. 86.В результате вычисления1 получаемr=p,e cos γ(ϕ − ψ) − 1где2p= α2β+M,2m1 + 4Eα2e=2β+M ,2mγ=1+91[2.4§ 2. Движение частиц в полях2mβ, (3)M2E > 0, ψ — произвольная постоянная.Траектория представляет собой кривую, получаемую из гиперболыс помощью уменьшения полярных углов в γ раз (рис.
83). Постоянная ψопределяет ориентацию траектории.Направление асимптот определяется условием r → ∞, илиe cos(ϕ1, 2 − ψ) = 1. Скорость отклоняется на угол2124E2M.π − (ϕ1 − ϕ2 ) = π − γ arccos e = π − γ arctgβ+2mα2Рис. 85Если E > UmaxРис. 86α2=, то частица, летящая из бесконеч4(β − M 2 /2m)ности, падает в центр поля. Уравнение траектории и в этом случае можнополучить из уравнения задачи 2.3. Для этого, кроме замены β на −β нужнозаменить ψ на ψ + π/2γ, а затем воспользоваться формулами√√−x = i x.sin ix = i sh x,В результате получимp,e sh γ (ϕ − ψ) + 1M 2 − 1,e = 4Eβ−2mα2r=Рис.
83Рис. 842.4. Полезно прежде всего исследовать характер движения с помощью графика Uэфф(r). Для случая β < M 2 /2m этот график изображен нарис. 84. В этом случае возможно только инфинитное движение в области1 Интеграл,записанный в видеMϕ=M drMr22 /2mr 2 − α/r)2m(E − M,2 = M 2 +2mβ, сводится к соответствующему интегралу в задаче Кеплера (см. [1], § 15).где M2 β − M2 ,p = α2m(1)γ =2mβ− 1.M2(2)Траектория для этого случая изображена на рис.
87а. Заметим, что приr → 0 оказывается ϕ → ∞. Это значит, что частица, падая в центр поля,делает вокруг него бесконечное число оборотов.Если E < Umax , то, согласно рис. 86, возможно движение либо в области b r < ∞ (рассеяние), либо в области 0 < r a (падение на центр).Уравнение траектории получаем, используя равенство cos ix = ch x (а во92Ответы и решения[2.42.6]93§ 2. Движение частиц в поляхНапример, для случая, когда траектория имеет вид (2), время падения с расстояния r равноt= 1Em *Er2 − αr − β − M 2 /2m − β − M 2 /2m++2#"2Er/α − 1αm1+− arcsin .arcsin2E 2EeeРис. 872.5.втором случае еще и замену ψ на ψ + π/γ):2p4EMr=., e = 1− 2 β−2m1 ∓ e ch γ (ϕ − ψ)αr=(3)В случае E = Umax воспользоваться формулой (2) задачи 2.3 нельзя(так как при её выводе предполагалось e = 0) и нужно вновь брать интеграл (1).
Получаемp,r=1 + c exp(−γ ϕ)т. е.r=p1 ± exp[−γ (ϕ − ψ)]илиr = pв зависимости от начального значения r. Траектория представляет собойлибо спираль, начинающуюся на бесконечности или вблизи от центраи асимптотически приближающуюся к окружности радиуса r = p , либосаму эту окружность (рис. 87б).Наконец, в случае β = M 2 /2m также проще вновь взять интеграл. Вэтом случае происходит рассеяние, а уравнение траекторииr=α/E1 − mα2 (ϕ − ψ)2 /2M 2 E.Время падения частицы в центр поля определяем с помощью формулыt=m2r0dr.E − Uэффp1 + e cos γ(ϕ − ψ)(p, e, γ определены в задаче 2.3).
При E < 0 движениефинитное1√πα mTr =, Δϕ = 2πγ Tϕ = γTr .(2|E|)3/2Рис. 88Траектория замкнутая, если γ — рациональное число. На рис. 88 изображена траектория для γ ≈ 5.2.6.Уравнение траекторииПри β < M 2 /2mp,r=1 − e cos γ (ϕ − ψ)2mβ,γ= 1−M222Mp = α−β ,2mM2 − β ;e = 1 + 4Eα2 2mTr (Tr то же, что в задаче 2.5).если E < 0, то Δϕ = 2π/γ , Tϕ = γПри β > M 2 /2m (в обозначениях задачи 2.4)r=p,e sh γ (ϕ − ψ) − 1если E > Umax ,r=p,e ch γ (ϕ − ψ) − 1если E < Umax .1 Период тот же, что и в поле U = −α/r.
Для определения T достаточно заметить,r0что добавление к полю U0 добавки β/r 2 сказывается на радиальном движении так же, какувеличение M . Период же Tr в кулоновском поле U0 от M не зависит.94Ответы и решения[2.72.7. а) Финитное движение возможно, если функция Uэфф(r) имеетминимум. Уравнение Uэфф(r) = 0 приводится к виду f (x) = M 2 κ/αm, гдеf (x) = x(x + 1)e−x , x = κr. С помощью графика f (x) легко убедиться,что это уравнение имеет корни только при условии, что M 2 κ/αm меньшемаксимального (при x > 0) значенияf (x).√ √1+ 5Последнее равно (2 + 5) exp −≈ 0, 84. Итак, финитное2.14]95§ 2.
Движение частиц в поляхE и M — полные энергия и момент системы. Частицы движутся по подобным коническим сечениям с общим фокусом, причём радиусы-векторычастиц в любой момент направлены противоположно (рис. 90).2движение возможно, если M 2 < 0, 84αm/κ.б) Финитное движение возможно, при M 2 < 8mV /e2 κ 2 .2.8. В уравнении траектории (см. формулу (1) задачи 2.3) при малых r можем пренебречьвеличиной E (при n = 2), а при n > 2 — такжеи членом M 2 /2mr2 . Получаем (рис. 89)M ln(r/r0 )ϕ = −√+ ϕ02mα − M 2−1+n/2Рис.
89+Cϕ = √2mr2mα(n − 2)Относительное движение характеризуется моментом M = mvρ2m1 m2и энергией E = mv , где m =— приведенная масса. Искомоеm1 + m22расстояние определяется условием Uэфф (rmin ) = E. Простой ответ можетбыть получен при n = 1, 2, 4.гдеКак легко видеть на рис. 91,где∞Траектории частиц:pmm1, 2 r1, 2 = 1 ± e cos ϕ,2m1 m22EM 2, p= Mm=mα , e = 1 + mα2 ;m1 + m2ϕ0 = ρпри n > 2.2.9. Число оборотов частицы вокруг центра бесконечно только в случае б) при E = 0, n = 2.2.10.
Время падения равно π mR3 /8α.2.12.2.13.Рис. 91OS = ρ(ctg ϕ0 − ctg 2ϕ0 ),при n = 2,Число оборотов оказывается бесконечным только при n = 2.Время падения в центр конечно, поскольку радиальная скорость приприближении к центру возрастает.2.11.Рис. 90rminr2dr.U (r)ρ21−− 2ErПри ρ → 0∞ϕ0 = ρrmindr− 2ρ3 E 3/2 ∂∂Er2 1 − U/E(ср. с задачей 2.23), так что⎛ ∞⎝OS = 2rmin∞rmindr+ ...√r4 E − U⎞−1r2dr⎠1 − U/E+ O(ρ2 ) . . .Точка S — мнимый фокус пучка рассеянных частиц, так как с точностью до первого порядка по ρ включительно положение точки пересеченияасимптоты траектории с осью пучка не зависит от ρ.2.14.Уравнение траекторииpr = e cos(ϕ − ϕ0 ) − 1,96Ответы и решения2где p = Mmα , e =[2.1521 + 2EM2 , а ϕ0 определяется из условия ϕ → 0 припо параметру M :2M −mr(2)2α = 1 + cos ϕ.ErИтак, недостижимая для частиц область2αE(1 + cos ϕ)ограничена параболоидом вращения (рис.
92).r<ρ<22aδ, где δ = mav ,2α1 − δ 2 − (1 − δ)2 cos ϕOA = a.2.16.Умножим равенствоРис. 92[v, M] − αrr =Aскалярно на r. Обозначив через ϕ угол между r и A, получаемM 2 − αr = Ar cos ϕ,mгде2.17.δT = − ∂δI , где∂EδI = T δU = 2m2r2r1δU (r) drE − Uэфф(r)(ср. с задачей 1.10). Подобным же образом изменение углового расстояниямежду последовательными прохождениями точек r = rmin можно представить в виде δΔϕ = ∂δI (ср. [1], § 15, задача 3; § 49).∂M2E sin ϕ = 0,mи исключим M из (1) и (2):2.15.97§ 2. Движение частиц в поляхmαr → ∞, что приводит к уравнению cos ϕ0 = 1/e. Область, недостижимаядля частиц, ограничена огибающей семейства траекторий.Для определения её продифференцируем уравнение траекторииM 2 + 1 − cos ϕ − M 2E sin ϕ = 0(1)mαrαmили2.19]pr = 1 + e cos ϕ,2.18. В области r D поле U (r) мало отличается от кулоновскогоU0 (r) = −α/r. Поэтому траектория финитного движения близка к эллипсу,параметр p и эксцентриситет e которого, определяемые постоянными Eи M , сохраняются, а ориентация изменяется.
Скорость поворота эллипса Ωопределяется смещением перигелия за период Ω = δΔϕ/T0 , где δΔϕ вычисляем по формуле предыдущей задачи с δU = α − αr2 , а T0 — периодDpr = 1 + e cos γϕ,γ =1−ΩT0.2πОтметим, что вектор A направлен от центра поля к точке r = rmin .(1)Отклонение кривой (1) от истинной траектории — первого порядка малостипо δU , т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
