1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Определить границы области, в которой движется между двумя упругими поверхностями y = 0 и y = a ch αx частица, вылетевшая изch 2αxначала координат под углом ϕ к оси y в плоскости xy (α, ϕ 1), и периодколебаний вдоль оси x.13.23. Как изменятся радиус и положение центра орбиты заряженнойчастицы при движении в однородном магнитном поле, медленно изменяющемся по величине? Векторный потенциал выбрать в видеа) A = (0, xB, 0); б) Ar = Az = 0, Aϕ = 1 rB.213.24. Вычислить адиабатические инварианты для заряженного осциллятора в однородном магнитном поле.13.25.
а) Определить адиабатические инварианты для заряженногоанизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергиейU (r) = m (ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 )2в однородном магнитном поле B, параллельном оси z. Векторный потенциал выбрать в виде A = (0, xB, 0).б) Пусть вначале B = 0 и траектория осциллятора заполняет прямоугольник |x| a, |y| b. Каким станет его движение, если магнитное поле медленно возрастает до большой величины (такой, что ωB == eB/mc ω1, 2 )?в) Пусть магнитное поле слабое (ωB ω1 − ω2 ) и вначале осциллятор колеблется почти вдоль оси x. Каким станет его движение, если величина ω1 , медленно уменьшаясь, достигнет значения ω1 < ω2 такого, чтоωB ω2 − ω1 ?13.32]§ 13.
Адиабатические инварианты7113.26. Частица совершает финитное движение в плоскости, перпендикулярной магнитному диполю m. Как меняется энергия частицы примедленном изменении величины m?13.27. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси z, причёмBϕ = 0, Bz = Bz (z), Br = − r Bz (z).2а) Bz (z) = B0 1 + λ th2 az ;2б) Bz (z) = B0 1 + z 2 .a13.28. Как изменяются энергия электрона и период его колебанийвдоль оси z в магнитной ловушке, описанной в предыдущей задаче примедленном изменении параметров поля B0 , λ, a?13.29. Найти изменение энергии частицы в центральном поле U (r)при медленном включении слабого однородного магнитного поля B.13.30.
Как известно, при наличии вырождения движения увеличивается число однозначных интегралов движения. Указать интегралы движения в поле2U = mω (x2 + 4y 2 ).213.31. Найти переменные действие–угол для следующих систем:а) осциллятор;∞при x < 0,б) частица в поле U (x) =xFпри x > 0.Для частицы в периодическом поле⎧1 a,⎪⎨ 0 при na < x < n +2n = 0, ±1, ±2, . . .U (x) =⎪1⎩ V при n +a < x < (n + 1)a,2в случае E > V провести каноническое преобразование с производящейфункциейx 2m|E − U (x)| dx,S(x, P ) =13.32.0где E(P ) выражается из равенстваa P =2m|E − U (x)| dx.01.1]1 ln 1 + Aα2 (t + C)2x(t) = αm2A(A + E) ch(αt 2E/m + C) − A1x(t) = α lnEОтветы и решения§ 1. Интегрирование уравнений движения с однойстепенью свободы1.1.а) По начальным значениям x(0)и ẋ(0) определяется энергия частицы E.
Дальнейшее её движение находится из закона сохранения энергииmẋ2 + U (x) = E.2мулы (1) U (xi ) = E:⎧⎪A(A + E) − A⎪1⎪⎪x1 = α ln⎪⎪E⎪⎪⎨ln2x1 = − α⎪⎪⎪⎪⎪A ∓ A(A − |E|)⎪1⎪⎪ x2, 3 = α ln⎩|E|Из (1) получаемt=m2xx(0)Отсюда1 ln A −x(t) = α(1)При E 0 частица может двигаться в области x x1 — движение инфинитно (E = E на рис. 69). При E < 0 (E = E ) частица движется в области x2 x x3 , движение финитно. Точки поворота определяются из фор-Рис.
69при E > 0,при E = 0,(2)при E < 0.dx.E − U (x)A(A − |E|) cos(αt 2|E|/m + C)|E|§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы(3)при E < 0,(4)73приE = 0,(5)приE > 0.(6)Постоянные C определяются начальными значениями x(0), например, в (4)при ẋ(0) > 0A − |E|eαx(0).C = arccos A − (A − |E|)Точки поворота (2) также легко найти из (4)–(6).Движениепри E < 0, согласно (4), периодическое с периодом T =π= αUmin2m . Если E близко к минимальному значению U (x), равному|E|A − |E|= U (0) = −A (т. е.
ε = 1), то периодAπ 2mT ≈ T0 1 − ε , T0 = α2Aслабо зависит от E. В этом случае (4) можно записать в виде√√ε112π2πx(t)=− α ln(1−ε)+ α ln 1− ε cost+C .t+C≈− α cosTT0(7)Частица при этомсовершаетгармоническиеколебаниявблизиточкиx=0√с амплитудой ε/α, определяемой разностью E − Umin , и с частотой, независящей от энергии. Такой характер движения при E, близком к Umin,имеет место в любом поле U (x), в котором потенциальная энергия вблизи точки минимума x = a имеет отличную от нуля вторую производнуюU (a) = 0.
(Подробнее об этом см. в § 5 и в [33], § 19.)При E 0 частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота x1(см. (2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность. При этом скоростьеё со временем стремится к 2E/m сверху.|E| + U01sin(αt 2|E|/m + C)б) x(t) = α Arshпри E < 0,|E|⎡⎤E+U1 Arsh ⎣0x(t) = ± αпри E > 0,sh(αt 2E/m + C)⎦E74Ответы и решения1 Arsh(αt2U /m + C)x(t) = ± α0⎡ "1 arcsin ⎣! Eв) x(t) = αsinE + U0[1.2αt2(U0 + E)m+ C ⎦.x(t) =x0, x0 = x(0). Знак в знаменателе противо1 ± tx0 2A/mположен знаку ẋ(0). Пусть для определенностиx(0) > 0. При ẋ(0) > 0частица уходит на бесконечность за время m/2Ax20 .
Разумеется, реальноречь может идти только о большом, но конечном расстоянии, до которогопростирается заданное поле U (x).При ẋ(0) < 0 частица асимптотически приближается к точке x = 0.1.3. Вблизи точки остановки U (x) = E − (x − a)F , где F = −U (a),т. е. можно считать, что движение частицы происходит под действием постоянной силы F .
Считая, что x(0) = a, получаем2x(t) = a + F t .2mТочность этой формулы убывает при удалении от точки x = a.Маленький отрезок пути s вдали от точки остановки частица проходитза время τ ∝ s. Если же отрезок пути примыкаетк точке остановки,то для√его прохождения необходимо время τ = 2ms/|F |, т. е. τ ∝ s.Если U (a) = 0 (рис. 70), то разложение U (x) необходимо продолжить до следующего члена:U (x) = E + 1 U (a)(x − a)2 .2В этом случае x(t) = a + se±λt, где s =U (a)= − m , а знак в по-= x(0) − a, λ2казателе определяется направлением скороРис.
70сти в начальный момент. Для прохожденияучастка пути до точки остановки частиценеобходимо бесконечно большое время.1 Arshx= ln(x +√x2 + 1).75Если U (a) = 0, то T ∝ ln ε, где ε = Um − E.Если U (a) = . . . = U (n−1) (a) = 0, U (n) (a) = 0, то T ∝ ε⎤Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные?1.2.§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы1.4.при E = 0; 1#1.5]−n−22n .1.5.
а) При малом ε = E − Um частица движется медленнее всеговблизи точки x = a. Поэтому и весь период движения T можно оценить повремени T1 прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точкиa − δ < x < a + δ:a+δ√dx≈ T.T1 = 2mE − U (x)a−δВ окрестности x=a представим U (x) в видеU (x)=Um − 1 k(x−a)2 ,2где k = −U (a). При достаточно малом ε можно выбрать δ таким, чтобы скорость v на границах интервала была много больше минимальной(при x = a)mv 2 ∼ kδ 2 ε22и в то же время чтобы было δ L = x2 − x1 , т.
е.ε δ L=x −x .21kТогдаT1 = 2m ln 2kδ 2 .εkВремя T2 движения частицы на участках x1и a + δ < x < x2 удовлетворяет условиюLT2 v ∼ m L .k δ(1)< x < a − δС уменьшением ε величина T1 возрастает, поэтому при достаточно малых ε оказывается T2 T1 и для оценки периода движения можно воспользоваться формулой (1).
Эта формула обладает асимптотической точностью. Её относительная ошибка стремится к нулю, как 1/ ln ε, при ε → 0.76Ответы и решения[1.51.7]§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы77Но с той же логарифмической точностью можно заменить в (1) δ на Lи опустить множитель 2 под знаком логарифма:2T = 2 m ln kL(2)ε .kЕсли U (a) = 0, U (4) = −K = 0, тоT =46m2εK1/4 ∞√0dx= 11, 61 + x4m2εK1/4Рис. 72,причём относительная ошибка стремится к нулю, как ε , при ε → 0.б) Если наблюдать за движением частицы в течение времени, большого посравнению с периодом T , то вероятностьобнаружить частицу на участке от x доx + dx√2m dx,w(x) dx = 2 dt = TT E − U (x)1/4где 2 dt — время нахождения частицы научастке dx за период.
Зависимость плотности вероятности w от x представлена на рис. 71.Рассматриваемой вероятности w(x) dx соответствует заштрихованнаяплощадь (вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых εосновной вклад в площадь под кривой дает площадь под центральным максимумом, равная T1 /T . Хотя w(x) → ∞ при x → x1, 2 вклад участковвблизи точек остановки относительно мал.в) $$ dtk $$dp1$ dp = 1$$$,w(p) dp =$$$TTdpdU (xk ) $$kk $$ dx $г) Линии E(x, p) = const (фазовыетраектории частицы) приведены на рис. 73,где кривые пронумерованы в порядке возрастания энергии.
При U (c) E < Um фазовая траектория 2 двусвязна. Стрелкиуказывают направление движения точки,изображающей состояние частицы.1.6. За начало отсчета потенциальной энергии принимаем нижнюю точку.При E = 2mgl имеем"Рис. 712где xk = xk (p) — различные корни уравненияp+ U (x) = E.2mГрафик w(p)изображен на рис. 72, гдеp1 = 2m(E − Um ), p2 = 2m[E − U (c)],p3 = 2m[E − U (b)].ϕ(t) = −π + 4 arctg e√±tРис. 73ϕ(0) + πg/ltg4#(ϕ — угол отклонения маятника от нижнего положения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
