1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 9
Текст из файла (страница 9)
[18], гл. IX). Функция Гамильтона намагниченного шара в однородном магнитном поле B имеет вид2H = M − γMB,2Iгде I — момент инерции шара, γ — гиромагнитное отношение.Составить уравнения движения вектора момента импульса M и найтизакон его движения в случаях:а) B = (0, 0, B0 );б) B = (B1 cos ωt, B1 sin ωt, B0 ) и в начальный момент M == (0, 0, M0 ).10.22.Найти скобки Пуассона {vi , vj } для частицы в магнитномполе.
Здесь vi — компоненты скорости частицы в декартовых координатах.10.23. Доказать, что значение любой функции координат и импульсовсистемы f (p(t), q(t)) выражается через значения p и q в момент t = 0формулой2f (p(t), q(t)) = f + t {H, f } + t {H, {H, f }} + . . . ,1!2!гдеf = f (p(0), q(0)),аH = H(p(0), q(0))— функция Гамильтона. (Ряд предполагается сходящимся.)Вычислить с помощью этой формулы p(t), q(t), p2 (t), q 2 (t) для:а) частицы в однородном поле;б) осциллятора.10.24.
Доказать равенстваа) {f (p1 , q1 ), Φ(ϕ(p1 , q1 ), p2 , q2 , . . .)} = ∂Φ {f, ϕ};∂ϕб) {f (p1 , q1 , p2 , q2 ), Φ(ϕ(p1 , q1 , p2 , q2 ), p3 , q3 , . . .)} = ∂Φ {f, ϕ};∂ϕ ∂Φ{f, ϕi }.в) {f (p, q), Φ(ϕ1 (p, q), ϕ2 (p, q) . . .)} =i∂ϕi11.2]§ 11. Канонические преобразования5710.25. а) Пусть функция Гамильтона зависит от переменных q1 , p1лишь через посредство функции f (q1 , p1 )H = H(f (q1 , p1 ), q2 , p2 , . . . , qN , pN ).Доказать, что f (q1 , p1 ) есть интеграл движения.б) Найти интегралы движения частицы в поле U = ar3 (использоватьrсферические координаты).10.26.Как известно, для частицы в поле U = −α/r существуетинтеграл движенияA = [v, M] − αrr .а) Вычислить скобки Пуассона {Ai , Aj }, {Ai , Mj }.б) В случае финитного движения (E < 0) для векторовm1J1, 2 ==M±A2− 2Hвычислить скобки Пуассона{H, J1, 2 },{J1i , J2j },{J1i , J1j },{J2i , J2j }и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса M.Выразить функцию Гамильтона H через J1 и J2 .§ 11.
Канонические преобразования11.1. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящейфункцией:а) F (q, Q, t) = 1 mω(t)q 2 ctg Q.2Записать уравнения движения в переменных Q и P для гармонического осциллятора с частотой ω(t).F (t) 2б) F (q, Q, t) = 1 mω q −ctg Q.22mωЗаписать уравнения движения в переменных Q и P для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила F (t).11.2.
Найти производящую функцию вида Ψ(p, Q), приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и F (q, P ) = q 2 eP .58Задачи[11.311.3. Какому условию должна удовлетворять функция Φ(q, P ), чтобыее можно было использовать в качестве производящей функции канонического преобразования?Рассмотреть, в частности, примерΦ(q, P ) = q 2 + P 2 .11.4. Показать, что для системы с одной степенью свободы поворотв фазовом пространстве (q, p) является каноническим преобразованием.11.5. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которогоH=В каноническом преобразовании, задаваемом производящейподобрать параметры a и b так, чтобы малые колебания ангармоническогоосциллятораω 2 x2p2H=+ 0 + βx422в новых переменных Q, P сводились к гармоническим. Членами второгопорядка по βω −2 Q2 в новой функции Гамильтона пренебречь.11.7.11.8.
Используя преобразование предыдущей задачи, привести функцию Гамильтона изотропного гармонического осциллятора в магнитном поле, заданном векторным потенциалом A = (0, xB, 0), к сумме квадратови найти закон его движения.11.9. С помощью канонического преобразования привести к диагональному виду функцию Гамильтона анизотропного заряженного осциллятора с потенциальной энергиейU (r) = m (ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 ),2находящегося в однородном постоянном магнитном поле, заданное векторным потенциалом A = (0, xB, 0).11.10. Применяя каноническое преобразование задачи 11.7 к парамнормальных координат, соответствующих стоячим волнам системы частицна кольце (см. задачу 7.3), получить координаты, соответствующие бегущим волнам.11.11.Φ = xP + ax3 P + bxP 3 ,Показать, что преобразованиеPyx = X cos λ + mω sin λ,py = −mωX sin λ + Py cos λ,Pxy = Y cos λ + mωsin λ,px = −mωY sin λ + Px cos λявляется каноническим.
Найти новую функцию Гамильтона, H (P, Q), еслиp2x + p2y2H(p, q) =+ mω (x2 + y 2 )2m259§ 11. Канонические преобразования(ср. с задачей 11.17). Описать движение двумерного осциллятора при Y == Py = 0.2 2p2+ ω x + αx3 + βxp222и |αx| ω 2 , |βx| 1. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей функцией Φ = xP + ax2 P + bP 3 , подобрать параметры a и bтак, чтобы новая функция Гамильтона с точностью до членов первого порядка по αω −2 Q, βQ включительно не содержала ангармонических членов,и найти x(t).11.6.функцией11.12]Показать, что преобразованиеx = √ 1 ( 2P1 sin Q1 + P2 ),mω√mω ( 2P1 sin Q1 − Q2 ),px =2y = √ 1 ( 2P1 cos Q1 + Q2 ),mω√mω (− 2P1 sin Q1 + P2 )py =2является каноническим. Найти уравнения Гамильтоначастицы в магнитном1поле, заданном векторным потенциалом A = − yB, 1 xB, 0 в новых22eB .переменных.
Здесь ω = mc11.12. Каков смысл канонического преобразования, задаваемого производящей функцией Φ(q, P ) = αqP ?60Задачи[11.1311.13. Показать, что градиентное преобразование потенциалов электромагнитного поля является каноническим преобразованием для координат и импульсов заряженных частиц, и найти соответствующую производящую функцию.11.14.11.23]11.19.
Каноническое преобразование задано производящей функциейΦ(q, P ) = qP + λW (q, P ), где λ → 0.Для произвольной функции f (q, p) найти с точностью до первого порядка малости изменение ее величины, связанное с изменением аргументовКак известно, замена функции Лагранжа L(q, q̇, t) наL (q, q̇, t) = L(q, q̇, t) +dF (q, t),dtгде F (q, t) — произвольная функция координат и времени, не изменяетуравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.11.15. Найти производящую функцию канонического преобразования, состоящего в переходе от q(t), p(t) к Q(t) = q(t + τ ), P (t) = p(t + τ ),τ = const для:а) свободного движения,б) движения в однородном поле, U (q) = −F q;в) осциллятора.11.16.
Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемыхпроизводящими функциями:а) Φ(r, P) = rP + δaP;б) Φ(r, P) = rP + δϕ[r, P];в) Φ(q, P, t) = qP + δτ H(q, P, t);г) Φ(r, P) = rP + δα(r2 + P2 ),где r — декартовы координаты, а δa, δϕ, δτ , δα — бесконечно малые параметры.11.17.
Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией61§ 11. Канонические преобразованияδf (q, p) = f (Q, P ) − f (q, p).11.20.Найти {H, rp}, где функция ГамильтонаH(r, p) =p2+ ar2mr3(a = const),и получить, исходя из результата, интеграл уравнений движения. Для вычисления удобно воспользоваться результатами предыдущей задачи и задачи 11.12.11.21. Найти изменение вида зависимости M, p2 , pr, H(r, p, t) от rи p при преобразованиях задачи 11.16.11.22. Показать, что результат последовательного выполнения двухбесконечно малых канонических преобразований, заданных производящими функциямиΦi (q, P ) = qP + λi Wi (q, P ),λi → 0,i = 1, 2,не зависит от порядка их выполнения (с точностью до второго порядкамалости включительно), если{W1 (q, p), W2 (q, p)} = 0.11.23.
Найти каноническое преобразование, представляющее собойрезультат последовательного выполнения бесконечно большого числа Nбесконечно малых канонических преобразований, заданных функциейΦ(x, y, Px , Py ) = xPx + yPy + ε(xy + Px Py ),где ε → 0, представляет собой поворот в фазовом пространстве.11.18. Указать производящие функции для бесконечно малых канонических преобразований, представляющих собой:а) винтовое движение;б) преобразование Галилея;в) переход к вращающейся системе отсчета.Φ(q, P ) = qP + λ W (q, P ), λ = const, N → ∞;Nа) W (r, P) = [r, P] a, a = const; б) W (x, y, Px , Py ) = Ai ,где Ai определены в задаче 10.15.У КАЗАНИЕ . Составить и решить для конкретных W дифференциальные уравнения для Q(λ), P (λ).62Задачи[11.2411.24.
а) Как изменяются со временем объём, объём в импульсномпространстве и фазовый объём, занимаемые группой свободно движущихсявдоль оси x частиц? В начальный момент координаты частиц заключеныв интервале x0 < x < x0 + Δx0 , а импульсы — в интервале p0 < p < p0 ++ Δp0 .б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси x между двумястенками.
Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не взаимодействуют.в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.д) Тот же вопрос для группы ангармонических осцилляторов.е) Будем описывать распределение частиц в фазовом пространствев момент t функцией распределения w(x, p, t) такой, что число частиц скоординатами в интервале от x до x + dx и импульсами в интервале от pдо p + dp есть w(x, p, t) dx dp.
Определить функции распределения группысвободных частиц и группы гармонических осцилляторов, если в начальный моментw(x, p, 0) =11.25. (x − X )2(p − P0 )2 01.exp −−2πΔp0 Δx02Δx202Δp20Введем переменнуюa=mωx + ip iωte .√2mωа) Найти скобки Пуассона {a∗ , a}. Выразить через a и a∗ функциюГамильтона гармонического осциллятора2 2p2H0 =+ mω x .2m211.28]§ 11. Канонические преобразования63г) Исследовать закон изменения амплитуды колебаний осцилляторапод действием нелинейной резонансной силы2 2p2+ mω x + m2 ω 2 αx4 cos 4ωt.2m211.26.
Исследовать изменение амплитуды колебаний системы трёхосцилляторов со слабой нелинейной связью:H=H = 1 (p2x + p2y + p2z ) + m (ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 + αxyz),2m2если |ω1 − ω2 − ω3 | ω1 , |αx| ω12 . Рассмотреть подробнее случаи, когдав начальный момент |y| |x|, z = 0, ẏ = ż = 0.Воспользоваться тем же методом, что и в предыдущей задаче.11.27. Функция Гамильтона ангармонического осциллятора, испытывающего параметрическое воздействие, имеет вид2mβx4p2+ mω (1 + h cos 2γt)x2 +.2m24Введем канонические переменныеH=a=mωx + ip iγte ,√2mωP = ia∗ .а) Найти новую функцию Гамильтона H (a, P, t) и усреднить ее попериоду быстрых осцилляции 2π/γ.б) Исследовать изменение амплитуды колебаний в области резонанса|γ − ω| hω, h 1, если в начальный момент величина a близка к нулю.11.28.а) Проверить, что преобразование1 P sin γt,x = Q cos γt + mωp = −mωQ sin γt + P cos γtб) Показать, что Q = a и P = ia∗ — канонические переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
