1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Составить уравнения движениячастицы и найти момент силы реакции.4.27. Влияние связей и трения на движение системы можно описать,вводя в уравнения движения обобщённые силы Ri реакции связей и трения:d ∂L − ∂L = R .idt ∂ q̇i∂qiчтобы уравнения движения сохраняли вид (1)?4.28.Пусть уравнения связей имеют видq̇β =sn=r+1bβn q̇n ,β = 1, . . .
, r,N+1Ln (qn , qn − qn−1 , q̇n , t),n=1где qn — отклонение n-й частицы от положения равновесия.а) Получить уравнение движения непрерывной системы как предельный случайуравнений Лагранжа дискретной системы.б) Получить выражение энергии непрерывной системы как предел выраженияэнергии дискретной системы.У КАЗАНИЕ . Ввести координату точки струны x, а также величины, получаемые при предельном переходе a → 0, n = x/a → ∞:(1)а) Как изменяется со временем энергия системы?б) Как должны преобразовываться силы Ri при переходе к новымобобщённым координатамqi = qi (Q1 , .
. . , Qs , t),L(q1 , q2 , . . . , qN , q̇1 , q̇2 , . . . , q̇N , t) =q(x, t) = lim qn (t),L x, q,Рис. 10qn (t) − qn−1 (t)∂q= lim,a∂xLn (qn , qn − qn−1 , q̇n , t)∂q ∂q ,, t = lim.a∂x ∂t4.30.Заряженная частица движется в потенциальном поле U (r)и в постоянном магнитном поле B, причём U (r) и B(r) являются однородными функциями координат степени k и n соответственно, т. е.U (αr) = αk U (r), B(αr) = αn B(r).Вывести для данной системы принцип подобия, уточнив, при каком значении n он имеет место.24Задачи[4.315.11]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы254.31. Обобщить теорему о вириале для системы заряженных частицв однородном постоянном магнитном поле B.
Потенциальная энергия системы U является однородной функцией координатU (αr1 , . . . , αrs ) = αk U (r1 , . . . , rs ),а движение системы происходит в ограниченной области пространстваи с ограниченными скоростями.4.32. Три одинаковых частицы движутся по одной прямой и попарновзаимодействуют друг с другом по закону Uik = U (xi − xk ), где xi — координата i-й частицы. Проверить, что кроме очевидных интегралов движенияРис. 11P = m(ẋ1 + ẋ2 + ẋ3 ),E = m (ẋ21 + ẋ22 + ẋ23 ) + U12 + U23 + U312существует дополнительный интеграл движения [28]A = mẋ1 ẋ2 ẋ3 − ẋ1 U23 − ẋ2 U31 − ẋ3 U21в случае, если функция U (x) имеет вид:g2a) U (x) = 2 ,xg 2 a2б) U (x) = 2 .sh ax4.33. Рассмотреть столкновение трех частиц, описанных в предыдущей задаче.
Пусть x1 > x2 > x3 и при t → −∞ расстояния междучастицами бесконечно велики, а их скорости vi = ẋi (t = −∞) таковы, чтоv3 > v2 > v1 . Найти vi = ẋi (t = +∞).§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы5.1. Найти частоту ω малых колебаний частицы в поле U (x):а) U (x) = V cos αx − F x; б) U (x) = V (α2 x2 − sin2 αx).Рис. 125.4.Найти закон движения частицы в центральном поле U (r) == −α/rn (0 < n < 2) по траектории, близкой к окружности.5.5. Найти частоту малых колебаний сферического маятника (частицамассы m подвешена на нити длины l), при которых угол отклонения нитиот вертикали θ осциллирует вблизи значения θ0 .5.6. Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у неё момента импульса M .5.7. Найти свободные колебания системы(рис.
13), если частица может двигаться:а) вдоль прямой AB;б) перпендикулярно AB.Как зависит частота от натяжения пружинокв положении равновесия?Рис. 135.8. Найти свободные колебания системы (рис. 14), если она находится в однородном поле тяжести и частица может двигаться только вертикально.5.2.Найти частоту малых колебаний системы, изображённой нарис. 11. Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω.5.9. Найти установившиеся малые колебания плоского маятника, точка подвеса которого равномерно движется по окружности радиуса a с частотой Ω (рис.
15). Длина маятника l (l a).5.3. Частица массы m, несущая заряд q, может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса R. В нижней части окружностизакреплён заряд q. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы (рис. 12).5.10. Найти установившиеся колебания напряжения на конденсатореи ток в контуре с источником напряжения U (t) = U0 sin ωt (рис. 16).5.11. Найти закон движения осциллятора с трением, первоначальнопокоившегося, под действием силы F (t) = F cos γt.26Задачи[5.125.20]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы275.16.На гармонический осциллятор действует сила F (t), причёмF (−∞) = 0, F (+∞) = F0 .
Найти энергию E(+∞), приобретённую осциллятором за все время действия силы, и амплитуду колебаний его приt → +∞, если при t → −∞ осциллятор покоился.5.17.силыРис. 14Рис. 15Рис. 165.12. Определить энергию E, приобретённую осциллятором под дей2ствием силы F (t) = F e−(t/τ ) за всё время её действия, если при t = −∞:а) осциллятор покоился;б) амплитуда колебаний была равна a.5.13.
Найти движение под действием силы F (t):а) неустойчивой системы, описываемой уравнением1 F (t);ẍ − μ2 x = mб) осциллятора с трениемНайти энергию, приобретённую осциллятором под действием⎧⎪⎪ F0 eλt⎨2F (t) =⎪F⎪⎩ 0 (2 − e−λt )2при t < 0,при t > 0.Энергия осциллятора при t → −∞ равна E0 .5.18. Оценить изменение амплитуды колебаний осциллятора, еслисила F (t) включается медленно и плавно за большой промежуток времени τ , такой что ωτ 1. При t < 0 сила F (t) = 0, при t > τ сила F (t) = F0 ,при 0 < t < τ справедлива оценка F (k) ∼ F0 /τ k (k = 0, 1, .
. . , n + 1);причём F (s) (0) = F (s) (τ ) = 0 (s = 1, 2, . . . , n − 1), а n-я производнаясилы при t = 0 и t = τ испытывает скачок.5.19. Найти установившиеся колебания осциллятора под действиемпериодической силы F (t):а) F (t) = F · (t/τ − n) при nτ t < (n + 1)τ (рис. 17);б) F (t) = F · (1 − e−λt ), t = t − nτ при nτ t < (n + 1)τ (рис. 18).1 F (t).ẍ + 2λẋ + ω02 x = m5.14. Найти дифференциальное эффективное сечение возбужденияизотропного осциллятора до энергии ε быстрой частицей (E V ), взаимодействующей с ним по законуU (r) = V e−κ2 2r.Начальная энергия осциллятора равна нулю.5.15. Осциллятор может колебаться только вдоль оси z. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения осциллятора до энергии ε2 2быстрой частицей, взаимодействующей с ним по закону U (r) = V e−κ r .Скорость частицы v∞ параллельна оси z, её энергия E V .
Начальнаяэнергия осциллятора ε0 .Рис. 17Рис. 18Оценить время установления колебаний, если декремент затухания равен δ.в) Найти установившийся ток в контуре (см. рис. 16) с источникомпилообразного напряжения U (t) = (t/τ − n)V при nτ t < (n + 1)τ .5.20. На осциллятор с трением (собственная частота ω0 , сила тренияfтр = −2λmẋ) действует вынуждающая сила F (t).28Задачи[5.21а) Найти среднюю работу A этой силы при установившихся колебаниях, если F (t) = f1 cos ωt + f2 cos 2ωt.∞an einωt , a−n = a∗n .б) То же для F (t) =n=−∞в) Найти среднюю за большой промежуток времени работу силыF (t) = f1 cos ω1 t + f2 cos ω2 t при установившихся колебаниях.∞г) Найти полную работу силы F (t) =ψ(ω)eiωt dω, ψ(−ω)=ψ ∗ (ω),если осциллятор при t → −∞ покоился.
−∞5.21. Гармонический осциллятор находится в поле бегущей волны,которая действует на него с силой F (x, t) = f (t−x/V ), где x — отклонениеосциллятора от положения равновесия, V — скорость волны. Предполагая xдостаточно малым, найти связь между переданными осциллятору энергией ΔE и импульсом∞F (x(t), t) dt,Δp =6.5]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы296.1. Найти свободные колебания системы, изображённой на рис.
19,при которых частицы движутся вертикально. Найти нормальные координаты и выразить через них функцию Лагранжа.6.2. Найти установившиеся колебания системы, описанной в предыдущей задаче, если точка подвеса движется в вертикальном направлениипо закону a(t), гдеа) a(t) = a cos γt, б) a(t) = a τt − n при nτ t < (n + 1)τ .6.3 а. Найти свободные малые колебания плоского двойного маятника (рис. 20 а).6.3 б. Найти нормальные колебания для двойного маятника (рис. 20 б),у которого угол между плоскостями колебаний верхней частицы с массой 3m и нижней частицы с массой m равен 60◦ .
Длина каждого стержняравна l, их массами пренебречь.−∞ограничившись приближением, квадратичным по F , и считая f (±∞)=0.§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенямисвободыВ задачах 6.1–6.21 с помощью общих методов рассматриваются свободныеи вынужденные колебания относительно несложных систем (с двумя-тремя степенями свободы). В задачах 6.18–6.21 приведены системы с вырожденными собственными частотами.Для исследования более сложных систем полезно использовать ортогональность собственных колебаний и свойства симметрии системы. Соответствующиетеоремы приведены в задачах 6.22 и 6.39 (см. также [33], § 24–25), а иллюстрацииих применения, например, в задачах 6.26–6.33 и 6.40–6.45, 6.47, а также в задачахо колебаниях молекул 6.46, 6.48–6.52.Влияние малого изменения системы на её движение можно исследовать с помощью метода последовательных приближений — теории возмущений.
Общей форме теории возмущений в задачах о малых колебаниях посвящена задача 6.34, конкретным примерам — задачи 6.35, 6.37, 6.41, 6.42, 6.50 б. Полезно отметить, чтоподобным же образом строится теория возмущений в квантовой механике.В задачах 6.36–6.38 изучаются колебания систем, в которых действуют «гироскопические» силы (см.
также задачи 9.24–9.27 и [33], § 33).Рис. 196.4.Рис. 20 аРис. 20 бНайти свободные колебания системы, функция Лагранжа кото-ройL=ω 2 x2 + ω22 y 2ẋ2 + ẏ 2− 1.22Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами (x, y)?6.5.Найти нормальные колебания системы, функция Лагранжа кото-рой:а) L =ẋ2 + ẏ 2ω 2 x2 + ω22 y 2− 1+ αxy;2230Задачиб) L =[6.66.18]§ 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
