1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Массы частиц m1 ,m2 , закон взаимодействия U (r) = α/rn .2.12. В системе центра масс определить траектории финитного движения двух частиц, массы которых m1 и m2 , а закон взаимодействияU (r) = −α/r.2.13. Определить положение фокуса пучка частиц, близких к осипучка, при рассеянии в центральном поле U (r), предполагая, что частица,летящая вдоль оси, поворачивает назад.2.14. Найти область, недостижимую для пучка частиц, летящих избесконечности со скоростью v параллельно оси z и рассеиваемых полемU (r) = α/r.2.15.
Найти область, недостижимую для частиц, вылетающих со скоростью v в различных направлениях из одной точки A в поле U (r) = −α/r.10Задачи[2.162.16. Найти траекторию частицы в поле U (r) = −α/r, используяинтеграл движения A = [v, M] − αrr (вектор Лапласа — см. [33], § 3.3).2.17. Определить изменение зависимости периода T радиальных колебаний точки в центральном поле U (r) от энергии и момента, вызванноеизменением поля на малую величину δU (r).Показать, что траектория частицы в поле−r/DU (r) = − αreпри условии rmax D представляет собой медленно прецессирующийэллипс, и найти угловую скорость его прецессии.2.18.2.19.|ε| 1.2.20 а.Найти скорость прецессии орбиты в поле U (r) = −α/r1+ε , гдеНайти угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле2 2βU = mω r + 42rпри β mω a , mω b , где a и b — параметры невозмущенной траектории: r cos ϕ 2 r sin ϕ 2+= 1.ab2 62 62.20 б.
Частица скользит по поверхности гладкого параболоида вращения, ось которого (ось z) направлена вертикально вверх:2.27]§ 2. Движение частиц в полях11где R — расстояние от Солнца до центра масс системы Земля–Луна. Определить происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет.б) Плоскость орбиты Луны составляет с плоскостью орбиты Землиугол θ = 5◦ . Определить связанную с этим среднюю скорость прецессииплоскости орбиты Луны.2.22.
Определить угловую скорость прецессии орбиты в поле U (r) == −αr + δU (r), если эксцентриситет орбиты e 1, полагаяδU (r) = δU (a) + (r − a)δU (a) + 1 (r − a)2 δU (a),2где a =rmax + rmin— средний радиус орбиты.22.23. Определить угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле U (r) = − αr + δU (r) (δU (r) — малая добавка) с точностью до второгопорядка включительно по δU (r).2.24.Найти уравнение траектории частицы, движущейся в полеγγαU (r) = − r + 3 , рассматривая 3 как малую добавку к кулоновскомуrrполю.2.25. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле E сводится к задачам о движении центрамасс и о движении частицы в заданном поле.x2 + y 2.2lНайти угловую скорость прецессии орбиты.
Наибольшее и наименьшее расстояния частицы от оси z равны a и b, причём a l.2.26. При каком условии разделяются задачи о движении центра масси об относительном движении для двух заряженных частиц в постоянномоднородном магнитном поле B?Векторный потенциал магнитного поля удобно выбрать в виде2.21.Исследовать движение системы Земля–Луна в поле Солнца.Учесть, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние отЗемли до Луны r = 380 тысяч км много меньше среднего расстояния доСолнца R = 150 миллионов км.а) Принимая для простоты, что плоскость орбиты Луны совпадаетс плоскостью орбиты Земли, показать, что потенциальная энергия системы Земля–Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет видA = 1 [B, r] .2z=βU (R) = − α − 3 ,R R2.27.
Выразить кинетическую энергию, импульс и момент импульсасистемы N частиц через координаты Якоби:m1 r1 + . . . + mn rn− rn+1m1 + . . . + mnm r + . . . + mN rN= 1 1.m1 + . . . + mNξn =ξN(n = 1, . . . , N − 1),12Задачи[2.282.28. На первоначально покоившуюся частицу налетает частица такой же массы m, имевшая на бесконечности скорость v и взаимодействующая с первой по закону U (r) = α/rn . Удар центральный. Найти точкуостановки налетевшей частицы.2.29. Доказать, что для заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле B интегралом движения являетсяMB + e [r, B]2 ,2cгде M = m[r, v], а c — скорость света.2.30. Найти траекторию и закон движения заряженной частицы в магнитном поле B = gr/r3 (поле магнитного монополя).Подобный вид имеет магнитное поле тонкого длинного соленоида внеего в точках, удалённых от его торца на расстояние, большое по сравнениюс диаметром соленоида, но малое по сравнению с его длиной.2.31.
Описать качественно характер движения и вид траектории заряженной частицы в поле магнитного диполя m, движущейся в плоскости,перпендикулярной к вектору m. Векторный потенциал магнитного диполяA = [m, r]/r3 .2.32. а) Описать качественно движение заряженной частицы в полеU = 1 mλr2 , где r — расстояние от оси z (поле равномерно заряженно2го цилиндра), при наличии постоянного однородного магнитного поля B,параллельного оси z.б) Найти закон движения и траекторию заряженной частицы, движущейся в поле U = α/r2 в плоскости, перпендикулярной постоянному однородному магнитному полю B.2.39]13§ 2.
Движение частиц в полях2.35. Показать, что в поле U (r) = − αr − Fr, где F = const, сохраняется величина12F[v, M] − αFrr + 2 [F, r] .Истолковать этот интеграл движения при очень малых F.2.36. Исследовать влияние малой добавки δU (r) = −Fr, где F == const, к кулоновскому полю на финитное движение частицы.а) Найти среднюю (за период) скорость изменения момента импульса.б) Определить зависимость от времени момента импульса, размерови ориентации орбиты, если сила F лежит в плоскости орбиты.в) Тот же вопрос при произвольной ориентации силы.У КАЗАНИЕ .
Составить и решить усреднённые по периоду уравнения движения для векторов M = m[r, v] и A = [v, M] − αrr .2.37. Найти систематическое изменение траектории финитного движения заряженной частицы в поле U (r) = −α/r под влиянием слабыхпостоянных однородных электрического E и магнитного B полей.а) Ограничиться случаем, когда магнитное поле перпендикулярноплоскости орбиты, а электрическое поле лежит в ней.б) Рассмотреть общий случай.2.38 а.
Найти систематическое изменение эллиптической орбиты частицы в поле U (r) = α/r под влиянием малой добавкиδU = −βr2 (3 cos2 θ − 1).Ограничиться случаем, когда плоскость орбиты проходит через ось z. Этазадача представляет собой упрощённую модель движения спутника в полеЗемли с учетом усреднённого за месяц поля тяготения Луны в околоземномпространстве.2.38 б. Принимая, что орбита Луны в поле Земли представляет собойэллипс, лежащий в плоскости орбиты Земли, определить систематическоеизменение орбиты Луны под влиянием добавки к потенциальной энергии2.33.
Заряженная частица движется в кулоновском поле U (r) = −α/rв плоскости, перпендикулярной к постоянному однородному магнитномуполю B. Описать траекторию частицы. Исследовать случай, когда B мало́,и случай, когда поле U (r) является малым возмущением.δU (r, t) = − mΩ r2 (3 cos2 χ − 1),2где m — масса Луны, Ω — угловая скорость обращения Земли вокруг Солнца, χ — угол между направлениями от Земли к Солнцу и к Луне.2.34.
Найти законы движения двух одинаковых заряженных частицв постоянном однородном магнитном поле B в случае, когда траектории ихлежат в одной плоскости, перпендикулярной к B, а энергию их взаимодействия U (r) = e2 /r можно считать малой поправкой.2.39. Найти систематическое смещение траектории финитного движения частицы, движущейся в поле U = −α/r и в поле магнитного диполя m, если влияние магнитного диполя можно рассматривать как малое2возмущение.
Векторный потенциал выбрать в виде A =[m, r]r3.14Задачи[2.402.40. Определить среднюю скорость прецессии орбиты частицы в поле U (r) = −α/r под действием малой добавочной силы F = β v̈ (такой вид2qимеет сила торможения излучением, в этом случае β = 2 3 , где q — заряд3cчастицы, а c — скорость света — см. [2], § 75).§ 3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновениечастиц3.1. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеяния параллельна оси z, на гладкой упругойповерхности вращения ρ(z):а) ρ = b sin az , 0 z πa;б) ρ = Az n , 0 < n < 1;2в) ρ = b − az ,a2 z < ∞.b3.2. Найти поверхность вращения, сечение упругого рассеяния накоторой совпадает с резерфордовским.3.3.
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц сферическим «потенциальным горбом»:V при r < a,U (r) =0 при r > a.3.4.3.13]§ 3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц⎧⎨ 1 mω 2 (r2 − R2 )б) U (r) = 2⎩0β,r2б) U =3.8.βγa) U = − αn , n 2; б) U = 2 − 4 .rrr3.6. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле U (r):⎧⎨ α − α при r < R,rRа) U (r) =⎩0при r > R;при r > R.Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния ча-стиц на малые углы в поле U (r) =β− α2 .r4r3.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
