1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Получить уравнение колебаний стержня предыдущей задачис учётом первой неисчезающей поправки, связанной с конечностью расстояния a между соседними частицами.8.12]§ 8. Нелинейные колебания45при условииh 1,|ω − ω0 | ω0 ,βx2 ω02 .б) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колебания.§ 8. Нелинейные колебания8.8.8.1. Определить искажение гармонического колебания осциллятора,вызванное наличием ангармонических поправок к потенциальной энергии:a) δU (x) =mβx4;43б) δU (x) = mαx .ẍ + ω02 (1 + h cos 2ωt)x = 0при условииh 1,38.2. Определить искажение гармонического колебания осциллятора,вызванное ангармонической поправкой к кинетической энергииmγxẋ2.28.3. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника, точкаподвеса которого движется по окружности (рис.
15).δT =8.4.Определить колебание осциллятора|ω − ω0 | ω0а) в области неустойчивости относительно параметрического резонанса;б) вблизи области неустойчивости.8.9. Частота гармонического осциллятора ω(t) меняется по закону,изображённому на рис. 53. Найти области неустойчивости относительнопараметрического резонанса.Найти колебания осциллятора под действием силыf1 cos ω1 t + f2 cos ω2 t3с учётом ангармонической пoправки δU (x) = mαx .38.5. Маятник представляет собой грузик массы m, подвешенный напружинке жёсткости k. Длина ненапряжённой пружинки l0 .
Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника.Воспользоваться декартовыми координатами отклонения грузика отположения равновесия.8.6. Найти амплитуду установившихся колебаний ангармоническогоосциллятораẍ + 2λẋ + ω02 x + βx3 = f cos ωtа) в области резонанса |ω − ω0 | ω0 ;б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы|3ω − ω0 | ω0 .8.7.а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебанияосциллятора при параметрическом резонансе:ẍ + 2λẋ + ω02 (1 + h cos 2ωt)x + βx3 = 0Рис. 538.10. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо связанных осцилляторов, функция Лагранжа которыхL = m (ẋ2 + ẏ 2 − ω 2 x2 − 4ω 2 y 2 + 2αx2 y).28.11.Найти частоту малых свободных колебаний маятника, точкаподвесакоторогосовершает вертикальные колебания с большой частотой γ(γ g/l).8.12.
Определить эффективную потенциальную энергию:а) частицы массы m, находящейся в полеU (r) =на расстоянии r a;αα−|r − a cos ωt| |r + a cos ωt|46Задачи[8.13б) осциллятора, находящегося в полеωt .U (r) = 2α ar cosr38.13. Определить движение быстрой частицы, влетающей в поле U == A(x2 − y 2 ) sin kz под малым углом к оси z (k 2 E A).9.7]§ 9. Движение твёрдого тела. Неинерциальные системы отсчёта479.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции следующих систем:а) массы m и M расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 2a и 2b (рис. 54, б).б) массы m и 2m расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2a и 4a (рис. 54, в).8.14.
Определить скорость смещения центра орбиты заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном поле Bx = By = 0, Bz = B(x),причёмB (x)r 1, r = mvc ,ε=B(x)eB(x)где r — радиус орбиты.8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых переходов второго рода.Железный шарик массы m может колебаться вдоль оси y на пружинке,потенциальная энергия которой имеет вид U (y) = −Cy 2 + By 4 .1 С помощью электромагнита возбуждают колебания шарика по закону y0 cos γt,причём γ много больше частоты его собственных колебаний1 .Найти частоту малых собственных колебаний шарика в зависимостиот параметра T = y02 .Рис. 549.3. Выразить момент инерции In относительно оси, параллельнойединичному вектору n и проходящей через центр инерции тела, через компоненты тензора инерции.§ 9. Движение твёрдого тела.
Неинерциальные системыотсчёта9.4. Найти главные моменты инерции шара радиуса R, имеющего внутри полость в форме шарарадиуса r (рис. 55).9.1. В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m и M(рис. 54, а). Найти компоненты тензора инерции относительно:а) осей x, y, z;б) осей x , y , совпадающих с диагоналями квадрата, и z.9.5.Выразить компоненты тензора квадрупольного момента массDik = (3xi xk − r2 δik )ρ dV1 Такова, например, потенциальная энергия системы, изображённой на рис. 13, если шарик может двигаться лишь в направлении оси y, перпендикулярной к линии AB, и длинанерастянутой пружинки l0 больше l. В этом случае при |y| l имеем(ρ — плотность) через компоненты тензора инерции Iik .C = k(l0 − l)/l,B = kl0 /4l3 .1 При действии высокочастотной силы f (t) = −(y γ 2 /m) cos γt в пределе γ → ∞ ам0плитуда вынужденных колебаний стремится к y0 , поправки к амплитуде и высшие гармоникиимеют малость ∼ γ −2 .Рис.
559.6. Найти частоту малых колебаний однородного полушара, находящегося на гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести.9.7.На покоившуюся гантельку, состоящую из пары касающихсяодинаковых шариков, налетает третий такой же. Скорость его V перпендикулярна линии центров гантельки и направлена к центру одного из её48Задачи[9.8шариков. Найти скорость шарика и гантельки после столкновения.
Ударупругий.9.8. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются(за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земливокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскостиорбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однороднымшаром радиуса a = 6,4 тыс. км и массы M , в 81 раз большей массы Луны m; расстояние от Земли до Луны R = 380 тыс. км.9.13]§ 9. Движение твёрдого тела. Неинерциальные системы отсчёта499.11. На однородный эллипсоид вращения (полуоси a = b, c) налетает частица, движущаяся параллельно оси Oy со скоростью v и прицельными параметрами ρ1 , ρ2 (рис.
57), и прилипает к нему. Описать движениеэллипсоида, предполагая, что его масса много больше массы налетающейчастицы.9.12.Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся диск,ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости(рис. 58). Исследовать движение гирокомпаса на широте α. Угловая скорость вращения Земли Ω.9.9.
Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями ω, медленно сблизившись, жёсткосостыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегосятела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловые скорости шаров были направлены:а) перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;б) одна — вдоль линии центров, другая —перпендикулярно.Рис. 56 аРис. 56 б9.10 а.
Однородный шар радиуса rи массы m катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью v. В момент, когда он касается другого такого жешара, лежавшего неподвижно, шары жёсткоскрепляются (рис. 56 а). Плоскость абсолютно гладкая (после скрепления шары свободноскользят по ней).С какими силами действуют на плоскостьшары? Ускорение свободного падения достаточно велико, так что шары всё время касаются плоскости.9.10 б. В двух противоположных вершинах A и C однородного прямоугольного параллелепипеда находятся шаровые шарниры,так что он может свободно вращаться вокругдиагонали AC (рис. 56 б). Найти силы, действующие на шарниры при вращении параллелепипеда с угловой скоростью Ω.Рис. 57Рис. 589.13.
Волчок с неподвижной точкой опоры O, вращавшийся с угловой скоростью Ω вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой),касается горизонтальной плоскости краем диска (рис. 59).Рис. 59Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится. В момент касания нутаций не было.50Задачи[9.149.14.
В поле тяготения неподвижной точечной массы M движетсяоднородное тело массы m, имеющее форму эллипсоида вращения. Найтифункцию Лагранжа системы, выбрав в качестве переменных сферическиекоординаты центра тяжести и углы Эйлера. Размеры тела малы по сравнению с расстоянием до центра поля.У КАЗАНИЕ . Потенциальная энергия системы приближенно равнаU (R) = mϕ(R) + 163i, k=1Dik∂ 2 ϕ(R),∂Xi ∂Xkгде R = (X1 , X2 , X3 ) — радиус-вектор центра эллипсоида, Dik — тензор квадрупольного момента масс (см. задачу 9.5), ϕ(R) = −GM/R — потенциал полятяготения (ср.
[2], § 42).9.15. Определить угловую скорость прецессии земной оси под влиянием притяжения Солнца и Луны. Для простоты Землю считать однородным эллипсоидом вращения, полярная полуось которого c меньше экваa−cториальной полуоси a, причём a ≈ 1 . Принять также, что орбиты300Земли и Луны — окружности, лежащие в одной плоскости.
Наклон земнойоси к плоскости орбит Земли и Луны равен 67◦ .9.16. Составить уравнения движения для проекций момента импульса твёрдого тела на подвижные оси координат, выбранные по его главнымосям инерции. Проинтегрировать эти уравнения для свободного движениясимметрического волчка.9.17. Исследовать устойчивость вращения ассиметрического волчкаотносительно главных осей инерции с помощью уравнений Эйлера.9.18. Однородный шар радиуса a движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса b, не проскальзывая. Найти закондвижения шара.9.19. а) Плоский симметричный относительно своей оси диск катится по гладкой горизонтальной плоскости (трение отсутствует).
Определитьзакон движения диска (в квадратурах).Исследовать подробнее закон движения в следующих случаях.Определить, при каких условиях угол наклона диска к плоскостиостаётся постоянным.Диск катится так, что его ось сохраняет определённое (горизонтальное) направление. Определить, при какой угловой скорости вращения вокруг этой оси такое движение устойчиво.9.24]§ 9. Движение твёрдого тела. Неинерциальные системы отсчёта51б) Диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости.Найти уравнения движения и ответить на те же вопросы, что и в пункте а).в) То же для диска, который катится по горизонтальной плоскости, непроскальзывая и не проворачиваясь вокруг вертикальной оси1 .г) Находящийся на наклонной плоскости диск вращается без проскальзывания вокруг своего диаметра, перпендикулярного этой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
