1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы31m1 ẋ2 + m2 ẏ 2x2 + y 2+ β ẋẏ −.226.6. Найти нормальные колебания в системах связанных контуров:а) рис. 21 а; б) рис. 21 б.6.7. Найти нормальные колебания системы частиц, соединённых пружинками (рис. 22). Частицы могут двигаться только вдоль прямой AB. Найти свободные колебания системы.6.8. Найти свободные колебания системы (рис. 23), если в начальныймомент:а) одна из частиц имеет скорость v, скорость другой и отклоненияобеих частиц от положения равновесия равны нулю;б) одна из частиц отклонена от положения равновесия на расстояние a,отклонение другой и скорости обеих равны нулю.Частицы могут двигаться только вдоль прямой AB.6.9. Определить поток энергии от одной частицы к другой, используяусловия предыдущей задачи.Рис.
24Рис. 256.12. Найти установившиеся колебания системы (см. рис. 23), еслиточка A, в которой закреплён левый конец пружины, движется по закону a cos γt в направлении прямой AB.6.13. Найти установившиеся колебания системы двух частиц на кольце1 (рис. 25 а), если точка A движется по кольцу по закону a cos γt. Исследовать зависимость амплитуд колебаний от частоты вынуждающей силы.6.14.
Три частицы, каждая массы m, связанные пружинками, могутдвигаться по кольцу (рис. 25 б). Найти установившиеся колебания системы,если точка A движется по кольцу по закону a cos γt.6.15. Найти установившиеся колебания системы, изображённой нарис. 23, если точка A движется по закону a cos γt. На частицы действуетсила трения, пропорциональная скорости.Рис. 216.16. Найти движение системы рис. 22, если в начальный моментчастицы покоились в положениях равновесия, а точка A движется по законуa cos γt.
Массы частиц равны (m1 = m2 = m).Рис. 22Рис. 236.10.Найти свободные колебания системы (см. рис. 23), если накаждую из частиц действует сила трения, пропорциональная её скорости.6.11. Найти свободные малые колебания двойного маятника (рис. 24),если в начальный момент верхний маятник вертикален, нижний отклоненна угол β 1, а скорости их равны нулю. Массы маятников M и m,причём M m.6.17. Найти установившиеся колебания частицы (рис. 26) под действием однородного переменного поля U (r) = −F(t)r, где вектор F(t)лежит в плоскости рисунка, в случаях:a) F(t) = F0 cos γt,б) F(t) вращается с частотой γ, оставаясь постоянным по величине.6.18. Найти нормальные колебания трёх одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис.
27).1Вэтой и подобных задачах кольцо предполагается гладким и неподвижным.32Задачи[6.196.25]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыимеют вид(l)33(l)xi (t) = Ai cos(ωl t + ϕl ).Доказать, что амплитуды, соответствующие колебаниям с различнымичастотами ωl и ωs , удовлетворяют соотношениям (s) (s)(l)(l)Ai mij Aj =Ai kij Aj = 0.i, j6.23.Рис. 26Рис. 27i, jНа систему, описываемую функцией ЛагранжаL= 1(mij ẋi ẋj − kij xi xj ),2i, jналожена линейная связьai xi = 0,ai = const.iПусть все собственные частоты системы без связи различны Ω1 < Ω2 << . . . < ΩN . Доказать, что все собственные частоты системы со связью ωlлежат в промежутках между Ωl :Ω1 ω1 Ω2 ω2 .
. . ωN −1 ΩN .Рис. 28Рис. 29Определить нормальные координаты, приводящие функцию Лагранжак диагональному виду.6.19. Найти свободные колебания системы, рассмотренной в предыдущей задаче, если в начальный момент одна из частиц отклонена из положения равновесия. Начальные скорости равны нулю.6.20. Найти нормальные колебания системы трёх частиц, которыемогут двигаться по кольцу (рис. 28).6.21.Найти нормальные координаты системы четырёх частиц накольце (рис. 29).6.22.
Пусть нормальные колебания системы, описываемой функциейЛагранжа1L= 1(mij ẋi ẋj − kij xi xj ),2i, j1 Так как произведение ẋ ẋ симметрично относительно замены i ↔ j, то матрицу массi jmij всегда можно выбрать симметричной mij = mji . То же справедливо и для матрицыжёсткостей: kij = kji .6.24.ЛагранжаУстановившиеся колебания системы, описываемой функцией(mij ẋi ẋj − kij xi xj ) +xi fi cos γt,L= 12i, ji(l)λ(l) Aicos γt. (Почему?) (Обозначеможно представить в виде xi (t) =lния задачи 6.22.)(l)Выразить коэффициенты λ(l) через fi и Ai .(l)Исследовать зависимость λ от γ.(s)Показать, что если для s-го нормального колебания fi Ai = 0, то(s)iλ = 0.6.25.
Система частиц, связанных пружинками, может совершать малые колебания. Пусть к одной из них — частице A — вдоль направления xприложена сила F = F0 cos γt, а другая — частица B — при этом совершает установившиеся колебания, при которых проекция её отклонения нанаправление x имеет вид xB = C cos γt.Показать, что при действии силы F на частицу B вдоль оси x возникают такие колебания частицы A, что xA = C cos γt (теорема взаимности).34Задачи[6.266.35]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы356.26.
Найти нормальные колебания системы частиц, которые могутдвигаться по кольцу (рис. 30).6.27. Найти нормальные колебания системы четырёх частиц на кольце (рис. 31).Рис. 32Рис. 33друг другу на одинаковые расстояния. Начальные скорости частиц равнынулю.Рис. 30Рис. 316.28.а) Найти нормальные колебания системы, изображённой нарис. 32. Все частицы и пружинки одинаковы. Натяжение пружинок в положении равновесия f = kl, где l — равновесное расстояние между частицами.У КАЗАНИЕ .
Некоторые из нормальных колебаний очевидны. Определениеостальных можно упростить, используя соотношения задачи 6.22.б) Найти нормальные колебания системы четырёх одинаковых частиц,изображённых на рис. 32 (пятая частица отсутствует, а пружинки в этомместе соединены). Коэффициенты жёсткости и натяжения всех пружинокодинаковы.6.29. Три частицы, имеющие различные массы mi (i = 1, 2, 3), могут двигаться по кольцу (рис. 33). При каких значениях коэффициентовжёсткости пружинок ki в данной системе наступит вырождение частот?6.32. Система рис.
29 имеет вырожденные частоты, поэтому её нормальные колебания не определены однозначно. Даже малое изменение массчастиц или жёсткостей пружинок может привести к снятию вырождения.Найти нормальные колебания системы рис. 29, близкие к нормальнымколебаниям системы, которая получится, если:а) к первой и второй частицам добавить одинаковые перегрузки;б) изменить одинаково жёсткость пружинок 1–2 и 3–4;в) добавить перегрузок к первой частице.6.33. Частицы 1 и 3 системы, описанной в задаче 6.32 б, в начальныймомент отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние aнавстречу друг другу; начальные скорости всех частиц равны нулю.
Описать свободные колебания системы.6.34. Определить, насколько изменяются собственные частоты системы, описываемой функцией Лагранжа(mij ẋi ẋj − kij xi xj )L0 = 12i, j6.30. Какие из нормальных колебаний системы рис. 27 мало изменяются при малом изменении системы, состоящем в следующем:а) жёсткость пружины 1–2 изменена на малую величину δk;б) к частице 3 добавлен малый перегрузок δm;в) к частице 1 добавлен перегрузок δm1 , а к частице 2 — δm2 ?Все собственные частоты исходной системы невырождены.6.31.Для случаев а) и б) предыдущей задачи описать свободныеколебания, если в начальный момент частицы 1 и 3 смещены навстречу6.35.
Найти изменение собственных частот системы рис. 31, еслик первой частице добавлен малый перегрузок δm, так что ε = δm/m 1.при небольшом её изменении:δL = 1(δmij ẋi ẋj − δkij xi xj ).2i, j36Задачи[6.366.36. Определить свободные колебания анизотропного заряженногоосциллятора с потенциальной энергией6.44]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы37U (r) = m (ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 )2Доказать, что:а) если нормальное колебание xi = Ai cos(ωt + ϕ) невырожденное, тоотносительно данногоамплитуды Ai симметричны или антисимметричныпреобразования, т. е.
илиSij Aj = +Ai , илиSij Aj = −Aj ;в однородном магнитном поле B, параллельном оси z. Рассмотреть, в частности, подробнее предельные случаи:a) |ωB | |ω1 − ω2 |,б) |ωB | ω1, 2 ,в) ω1 = ω2 |ωB |(здесь ωB = eB/mc).б) если частота вырождена, то можно выбрать нормальные колебаниясимметричными или антисимметричными;в) если на систему действует внешняя сила, симметричная (антисимметричная) относительно данного преобразования, то антисимметричные(симметричные) нормальные колебания не возбуждаются.
(Это один изпримеров так называемых правил отбора.)6.37. Определить свободные колебания анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией6.40.Используя соображения симметрии,найти нормальные колебания системы рис. 35.U (r) = m (ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 )26.41. Описать свободные колебания системы(см. рис. 32), если в начальный момент частицы 1и 4 смещены навстречу друг другу на одинаковыерасстояния в горизонтальном направлении, а начальные скорости всех частиц равны нулю. Натяжение пружинок f = kl1 ; l − l1 l, где l — равновесное расстояние между частицами (ср. с задачей 6.31).в слабом постоянном однородном магнитном поле B = (Bx , 0, Bz ), рассматривая влияние магнитного поля как малое возмущение.6.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
