1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Движение частиц в поляхтра масс R =f = −ζ2.27]n=111+ m1nμn = n+1mkk=1p = μN ξ̇N ,M=Nn=1(n = 1, . . . , N − 1),μn [ξ n , ξ̇ n ], гдеμN =Nk=1mk .108Ответы и решения[2.282.28. Обозначим координаты летевшей и покоившейся вначале частиц через x1 и x2 .
Пусть в начальный момент x1 = −R, x2 = 0. Центрмасс системы движется по закону X = − R + vt . Относительное движение22с координатой x = x2 − x1 происходит по законуt=−m4xRdx.mv 2 − α4xnRxmv 24α1/n,а затем вновь возрастает. Когда оно вновь станет равно R, первая частицаокажется в точке⎡⎤#R/x min"⎢⎥1x1f = xmin ⎣− 1 dz − 1⎦ .(1)√−n1−z1Точка остановки налетевшей частицы есть предел x1f при R → ∞.Если n 1, то x1f → ∞ при R → ∞, т.
е. обе частицы после столкновения уходят на бесконечность.имеет интегралы движенияeg[v, r]cr3(1)mv 2 = E,2egm[r, v] − c rr = J.(2)(3)2Умножив (1) скалярно на r, получаем rv̇ = 0 или d r − v 2 = 0, откудаdt 22r =r02+ v (t − t0 ) .22Умножив (3) скалярно на r/r, получаемeg− c = J cos θ,(5)где θ — полярный угол в сферической системе координат с осью z, параллельной вектору J.
Проекция (3) на ось zegmr2 ϕ̇ sin2 θ − c cos θ = JИнтегрируя уравнение ϕ̇ =ϕ = ϕ0 +r0 v, получаемsin θ · r 2 (t)1 arctg v(t − t0 ) .r0sin θ(4)(8)Таким образом, частица движется с постоянной скоростью v по поверхности конуса θ = const. Введяψ = (ϕ − ϕ0 ) sin θ,(9)перепишем (8) в видеtg ψ =Уравнение движения (c — скорость света)mv̇ =109(6)ϕ̇ = J 2 .mrmr0 vПри t = t0 имеем v = r0 ϕ̇ sin θ и из (6) следует J =, и с учеsin θтом (5)mr vc(7)tg θ = − eg0 .dx− x.21 − 4α/mv 2 xnРасстояние между частицами уменьшается до величины xmin =2.30.§ 2. Движение частиц в поляхсовместно с (5) даетЗакон движения первой частицыx1 = X − x = − R + 12222.31]v(t − t0 ).r0(10)Равенства (4), (9) и (10) можно интерпретировать следующим образом: движение точки по развертке конуса оказывается равномерным и прямолинейным, причём r и ψ — полярные координаты в плоскости развертки.2.31.
Движение заряженной частицы в электромагнитном ноле определяется функцией Лагранжа2L = mv − eϕ + ec vA,2(1)где ϕ и A — скалярный и векторный потенциалы, а c — скорость света(см. [33], § 10 и [2], § 16, 17).110Ответы и решения[2.312.32]§ 2. Движение частиц в полях111Используя цилиндрические координаты, имеемmr2 ϕ̇L = m (ṙ2 + r2 ϕ̇2 + ż 2 ) + ec 2.2(r + z 2 )3/2(2)Из уравнения движения для zmr2 ϕ̇mz̈ + 3e 2=02c (r + z 2 )5/2(3)Рис. 94видно, что при z = 0 компонента силы, параллельная оси z, обращается в нуль.
Поэтому, если z(0) = ż(0) = 0, то траектория частицы лежитв плоскости z = 0. Так как ϕ является циклической координатой, имеем∂L = mr2 ϕ̇ + em = p = const.ϕcr∂ ϕ̇(4)Отсюда видно, что в общем случае проекция момента импульса Mz == m[r, v]z = mr2 ϕ̇ не сохраняется, но сохраняется сумма Mz + emcr = pϕ .При этом pϕ в случае инфинитного движения есть значение Mz при r → ∞.Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (так как ∂L/∂t = 0):m (ṙ2 + r2 ϕ̇2 ) = E.2(5)Исключая из (5) ϕ̇ с помощью (4), находимm ṙ2 + U (r) = E,эфф2(6)где1em 2 .p−(7)ϕcr2mr2Таким образом, движение вдоль радиуса происходит так же, как одномерное в поле Uэфф(r).Графики Uэфф(r) для случаев pϕ < 0 и pϕ > 0 изображены на рис.
94, аи б соответственно.В случае pϕ < 0 для любой энергии E > 0 движение инфинитно. Длятого, чтобы качественно изобразить траекторию, полезно выразить из (4)Uэфф(r) =ϕ̇ = −|pϕ |− em 3 .mrmcr2(8)Скорость поворота радиуса-вектора частицы имеет все время одно и то женаправление и возрастает с приближением к диполю.Примерный вид траектории показан на рис.
95 (кривая 1). Траектория симметрична относительно прямой, соединяющей центр поля с точкойr = rmin .В случае pϕ > 0 возможно рассеяние частиц любой энергии E > 0,а при E < Um =c2 p4ϕ32ne2 m2(см. линию E = E1 на рис. 94, б) возможнотакже финитное движение. Из равенстваpϕ− em 3ϕ̇ =mr2mcrem и ϕ̇ < 0 при r < r . При r = rследует, что ϕ̇ > 0 при r > r1 = cp11ϕчастица имеет «точки остановки» по ϕ.Частица с энергией E > Um (см. E = E2 на рис. 94, б) рассеивается,причём в двух точках r = r1 её скорость параллельна радиусу-вектору(рис.
95, кривая 2).При E < Um возможно рассеяние без точек остановки по ϕ (рис. 95,кривая 3) или финитное движение в кольце a r b (рис. 96). В последнемслучае частица в течение периода совершает как прямое (участок AB), таки «попятное» (участок BC) движение по ϕ.2.32. а) Удобно использовать цилиндрические координаты, а векторный потенциал выбрать в видеAϕ = 1 rB, Az = Ar = 0.2Движение в направлении оси z равномерное, а в плоскости, перпендикулярной к оси z, — финитное. Проекция траектории на эту плоскость изобра-112Ответы и решенияРис.
95[2.322.33]§ 2. Движение частиц в полях113Рис. 96жена на рис. 97. Траектории а, б, в отвечают условию1 pϕ > 0 и значениямэнергии E⊥ = E −mvz2соответственно2U1 < E⊥ < U2 , E⊥ = U2 , U2 < E⊥ ,где − Ω)pϕ , U2 =U1 = (Ωλpϕ = Ω2 + λ., Ω = eB , Ω2mc2ΩДля pϕ < 0 траектория приведена на рис. 97, г, для pϕ = 0 — на рис. 97, д.Закон движения частицы в этой плоскости легко найти, зная движение (см. [1], § 23, задача 3)свободного изотропного осциллятора с частотой Ωb2 222 2r = a cos Ωt + b sin Ωt, ϕ = −Ωt + Arctg a tg Ωt .1Здесь минимальный (b) и максимальный (a) радиусы определяются энерги2ей E = mΩ (a2 +b2 )−pϕ Ω и импульсом pϕ = mΩab,а начала отсчета t и ϕ2выбраны так, что ϕ(0) = 0, r(0) = a.
Интересно, что период радиальных не зависит от E и pϕ . Угол поворота радиуса-вектораколебаний T = π/Ω для pϕ = 0 для pϕ ≷ 0 и Δϕ = −Ω/Ωза этот период Δϕ = π(±1 − Ω/Ω)2не зависит от E.1 Здесь p — обобщенный импульс, соответствующий координате ϕ, и для определенностиϕсчитаем B > 0. 1 ВетвиArctg2 Другойb a tg Ωt нужно выбирать так, чтобы угол ϕ был непрерывной функцией t.способ решения приведен в задаче 6.36.Рис. 97Как изменится движение частицы, если λ < 0?Интересно сопоставить движение частицы в этой задаче с движениемв скрещенных электрическом и магнитном полях (см.
[3], § 22).2.33.Уравнение траекторииϕ=m2pϕmr 2−Ωdr,E − Uэфф(r)(1)где Ω = eB , c — скорость света и2mcmr2Uэфф(r) = − αr + 2pϕ 2Ω−.mr2Качественно характер движения можно исследовать, используя графина то, что ϕ̇ меняет знак,ки Uэфф(r). При этом нужно обращать вниманиекогда r проходит через значение r0 =pϕ. В результате получаем траmΩ114Ответы и решения[2.33ектории, приведенные на рис. 97, а–д.1 Различные траектории на рисункахсоответствуют следующим условиям:а) pϕ > 0, Umin < E < U0 , где Umin — минимальное значение Uэфф(r),U0 = Uэфф(r0 );б) pϕ > 0, E = U0 ;в) pϕ > 0, E > U0 ;г) pϕ < 0;д) pϕ = 0.
В последнем случае частица падает в центр на первом жевитке.Рассмотрим подробнее два предельных случая.Уравнение (1) представим в видеpϕdr− Ωt.(2)ϕ= √22m2 2pϕr 2 E + pϕ Ω + α− mΩ rr −22mr2Таким образом, можно считать, что влияние магнитного поля сводится к замене энергии на E = E + pϕ Ω, добавлении к полю U = − αr добавки δU =2 2= mΩ r (которая приводит к прецессии орбиты) и к добавочной прецес2сии с угловой скоростью −Ω.
При достаточно малых значениях магнитногополя B поле δU может оказаться малой добавкой кU0 =p2ϕ2mr2−αr.Для этого достаточно, чтобы во всей области движения частицы выполнялось условие(3)δU (r) |U0 (r)|.Скорость прецессии, вызванной δU , можно определить какΩ =δΔϕ= 1 ∂ (T δU ),TT ∂pϕ(4)где усреднение δU производится по движению частицы в поле U0 с энергией E и моментом pϕ , а T — период этого движения (ср. с задачами 2.17,1 Качественный характер исследования с помощью графиков позволяет воспользоваться темже приближенным изображением траекторий, что и в задаче 2.32.
Разумеется, точные траектории частиц в обеих задачах различны.2.33]115§ 2. Движение частиц в полях2.18). Вычисление1 приводит к значениюΩ = −3Ω2 pϕ,2|E |(5)причём δU , действительно, можно считать малой поправкой, если кроме (3)выполнено также условие δΔϕ 2π, т. е.√Ω2 pϕ α m|E |−5/2 1.(6)Разумеется, δU нельзя считать малой поправкой, если E 0, так как в этомслучае удаление δU качественно меняет характер движения.Величина Ω может оказаться как малой по сравнению с Ω, так и большой. Знак Ω противоположен знаку pϕ , т. е. направление этой скоростипротивоположно направлению движения частицы по орбите. Направлениеже скорости Ω определяется магнитным полем.Итак, траектория представляет собой эллипс, прецессирующий с угловой скоростью(7)Ωпр = −Ω + Ω ,точнее говоря, поскольку может оказаться ΩT 1, в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Ωпр , траектория представляет собой неподвижный эллипс.Интересно сопоставить полученные результаты с теоремой Лармора(см.
[33], § 17.3 и [4], § 45, а также задачу 9.23).Возможен ли случай, когда δU можно считать малой поправкой, еслиэнергия частицы E положительна?Далее рассмотрим случай, когда малой поправкой можно считать полеU = −α/r. Движение без учета U происходит по окружности.
Её радиус a и расстояние b от её центра до центра поля можно выразить черезмаксимальное и минимальное расстояния частицы от центра поля2r1,2=E + pϕ Ω ±(E + 2pϕ Ω)EmΩ2.(8)Возможны два варианта расположения окружности, изображенные нарис. 98. Если pϕ Ω < 0, то осуществляется случай а), если pϕ Ω > 0, то1 Для вычисления δU удобно использовать переменные, примененные в задачах 2.18, 2.19.Так как период в поле U0 не зависит от pϕ , в (4) можно вынести T из-под знака производной.116Ответы и решения[2.34осуществляется случай б). В обоих случаяхb2 =E + 2pϕ Ω2mΩ2,a2 =2.34]117§ 2. Движение частиц в поляхв предыдущей задаче, точностью легко определить, разлагаяE .2mΩ2p2ϕ2+ m ω 2 r 2 − 1 pϕ ωUэфф (r) = er +162mr2(9)Учет поля U приводит к систематическому смещению этой окружности (называемому дрейфом), причём её радиус и расстояние от центра поля,определяемые постоянными a и b, не изменяются, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
