1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(2)=8Eθ31 + θ/θm1 − θ/θmR 2 − ρ2 < x < R 2 − ρ2 ,при |x| > R2 − ρ2 .при −2 ),ρ21, 2 = 1 R2 (1 ∓ 1 − θ2 /θm2где θm = V /E, поэтомуdσ = π(|dρ21 | + |dρ22 |) = πd(ρ21 − ρ22 ).Рис. 107Для справедливости полученного результата достаточно, чтобы каждое слагаемое в (1) было много меньше единицы. Оценка показывает, что для этого достаточно выполнения условия θ 1.
Выражение (2) получено дляθ < θm . Если θm 1, то для θm < θ 1 сечение#"1+θ/2θmαπ− 1 dΩ.dσ = π|dρ21 | =8Eθ31 + θ/θmОкончательно⎧⎪⎨dσ =dΩ ⎪⎩R22 − θ22θm θmпри 0 < θ < θm ,0при θ > θm .Сравните этот ответ с ответом задачи 3.6 б, в которой рассматривался потенциал, отличающийся знаком от данного.3.8.Угол отклонения частицы$$$$ 3πβ$$πa−θ=$$2$$ 4Eρ42EρРис. 108(1)Зависимость dσ от θ изображена на рис. 108. При θ → 0 и при θ → θmdΩэто сечение неограниченно возрастает. Сечение рассеяния в интервал углов, прилегающий к θ = 0, бесконечно, так как рассеяние на малые углыотвечает большим прицельным параметрам.1 Прощевсего взять оба слагаемых (1) из [1],§ 20, задача 2.136Ответы и решения[3.9Сечение рассеяния в интервал углов θm − δ < θ < θmθmθm −δ3.10]§ 3.
Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частицСечениеdσ = π2 1/22π dσ θ dθ = απ δ3/2dΩ2Eθml=0Учитывая, что(1)∞|dρ2 (χ, l, −)|.l=1dρ (χ, l, +)dρ (χ, l, −)< 0,> 0, находимdχdχ2 ∞∞22ρ (χ, l, +) +ρ (χ, l, −) =dσ = πd −l=03.9. Скорость частицы после рассеяния по сравнению с первоначальным направлением оказывается повёрнутой на уголa2 = α .E|dρ2 (χ, l, +)| + π2конечно и стремится к нулю при δ → 0.Как зависит количество рассеянных частиц, попавших на счётчик, отразмеров счетчика, если он расположен под углом θm ?,θ=π− π1 − a2 /ρ2∞1372 2= π a d2l=11− 12π − χ χ=πa2 (2π 2 − 2πχ + χ2 )dΩ.2χ2 (2π − χ)2 sin χСечение dσ обращается в бесконечность при χ → π. В данном случаеdΩэто приводит к тому, что сечение рассеяния в малый конечный телесныйπугол ΔΩ =2π sin χ dχ = πχ20 равноπ−χ0π2Δσ = a2πdΩ = a2 χ = a20χΔΩ .ππ−χ0Рис.
109Счётчик рассеянных частиц регистрирует вместе с частицами, отклоненными на угол |θ| < π, также и частицы, сделавшие предварительно несколькооборотов вокруг центра (рис. 109, а). Наблюдаемый угол отклонения χ лежит в пределах 0 < χ < π и связан с θ соотношением−θ = 2πl ± χ,(2)где верхнему знаку соответствует l = 0, 1, . . ., а нижнему l = 1, 2, .
. .(рис. 109, б). Из (1) и (2) имеем211−.ρ2 (χ, l, ±) = a2 + πa22πl ± χ 2πl + 2π ± χПоявление особенности дифференциального сечения обусловлено тем, чтоугол отклонения, равный π, достигается при значениях прицельного параметра ρ(π, l, ±), отличных от нуля. В телесный угол Δo, пропорциональный квадрату малой величины Δχ ≡ χ0 , попадают частицы, летевшиедо рассеяния через площадки 2πρΔρ, площади которых пропорциональныпервой степени Δρ ∝ χ0 . Такую особенность рассеяния называют сиянием(см.
[11], гл. 5, § 5).Такая же особенность есть и в рассеянии на угол χ = 0, но в данномслучае она маскируется бесконечным сечением из-за рассеяния частиц сосколь угодно большими прицельными параметрами. Сияние при рассеяниивперед могло бы проявиться, например, при ограничении диаметра налетающего на центр пучка частиц.3.10. а) Условие E V приводит, как легко видеть, к малости углаотклонения частицы при рассеянии. Изменение импульса (см.
[33], § 6.2)√∞2V π −x2∂U (|ρ + vt|) dt =,Δp = −v xe∂ρ−∞138Ответы и решения[3.103.11]§ 3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц139При θm − θ θm можно разрешить (1), разложив xe−x в ряд вблизимаксимума. Получаем1 ∓ 1 − θ/θm1.x1, 2 =, dσ =√2dΩ22κ 2 θm1 − θ/θm2где x = κρ.Рис. 110Рис. 111Разрешить это уравнение относительно x в аналитической форме не2удаётся. Однако, %используя график функции xe−x (рис. 110), видим, чтоπ — уравнение (1) имеет два корня.при θ < θm = V2eИспользуя соотношениеdθ =√VπE(1 − 2x2 )e−x dx2и учитывая (1), представим сечениеπ(|dρ21 |+|dρ22 |)в виде"dσ = 1dΩκ2 θ2dσ = 1 .dΩ2κ 2 θ2(1 + x1, 2 )πV3.11. а) При столкновении частица, имевшая скорость v, приобретаетскорость v = v − 2n(nv), где n — единичный вектор нормали к поверхности эллипсоида.
Подставляяx , y , z ,1v = v(0, 0, 1), n = 1N a 2 b 2 c222yz2xz2zv = v − 2 2 2, − 2 2 2, 1 − 2 4 .N a cN b cN c= 2π2 (x1 dx1 − x2 dx2 )κПри θ θm оказывается x1 1, x2 1 и2x2 − 1πV сечение имеет вид= √3 3EПри θm − θ θm сечение√3dσ =.√2dΩ2 2κ 2 θm1 − θ/θmполучаемx22x21+2x22 − 1 1 − 2x211 − 2x1κ θdσ = πV .dΩ4κ 2 Eθ3√V π −x2Δp.θ= p =xeEdσ =dΩПри θ θmУгол отклоненияEГрафик dσ/dΩ изображен на рис. 111. Особенность при θ = θm —интегрируемая (ср. с задачей 3.8).Связано ли появление особенности сечения при θ = θm с приближённым методомзадачи? решения2x1, 2x1 + x21x + x22dσ12Eθ .б)= 2 2+ 2=, где3Введем сферические углы, определяющие направление v :#v = v(sin θ cos ϕ,.1 Какsin θ sin ϕ, cos θ).известно из дифференциальной геометрии22y2xz+ 2 + 2 −1 .n ∝ grada2bcВеличина N определяется условием n2 = 1.(1)140Ответы и решения[3.11Сравнивая с (1), находимa2 ytg ϕ = 2 ,b x§ 3.
Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц2sin θ =2zN 2 c22 "2x2 + ya4b4#. (2)2πa ρyΔpx = − v x 3 ,ρгде зависимость x, y от θ, ϕ определяется из (2) и уравнения эллипсоида. Для вычисления якобиана оказывается удобным ввести промежуточнуюпеременную u такую, чтоx = a u cos ϕ,−∞Пусть ось z параллельна v, ось y перпендикулярна к a. Тогда$$$ ∂(x, y) $$$dσ = dx dy = $$ dθ dϕ,$ ∂(θ, ϕ) $2tg ϕ =y = b u sin ϕ.21 − cos θ = 2z2 4 ,N ctg θ = z 22ucΔpθ= p .(3)Из (2) и (3) находимρx = ±u−2 = a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ + c2 tg2 θ .2СечениеДалее,dσ =2 22∂(x, y) ∂(u, ϕ)∂(x, y)== a b ∂u .2 ∂θ∂(θ, ϕ)∂(u, ϕ) ∂(θ, ϕ)πax sin ϕ cos ϕ,2Eθρy = ∓πax cos2 ϕ.2Eθ$$2 $$ ∂(ρx , ρy ) $$cos2 ϕπaxdΩ.dρx dρy =$$ dθ dϕ =$ ∂(θ, ϕ) $E2θ4(4)(5)(Суммирование в (5) проводится по двум возможным, согласно (4), значениям ρ.)Окончательноdσ =dΩa 2 b 2 c22 .4 cos4 θ a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ + c2 tg2 θ22С помощью какого предельного перехода можно получить из этого результата сечение рассеяния на параболоиде?dΩΔpy,Δpxπ < ϕ < 3π .22и из уравнения эллипсоида находимв) dσ =(2)Из (2) ясно, что рассеяние происходит только в интервал угловsin θ = 2zu,N 2 c2dΩπa ρx ρyΔpy = v x 3 .ρНаправление скорости после рассеяния характеризуем углами в сферической системе координат2Из (2) получаемб) dσ =141а) Изменение импульса при рассеянии равно (см.
[33], § 6.2)∞π(aρ)∂(1)U (ρ + vt)dt = − ∂ vρ .Δp = −∂ρ∂ρ3.12.2cos θ = 1 − 2z2 4 ,N cСечение3.13]a2 b2 c2.cos3 θ(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ + c2 tg2 θ)22 2 2cos θ a b c.sin4 θ(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ + c2 ctg2 θ)2|a⊥ |б) dσ =, a⊥ — компонента a, перпендикулярная к v∞ . Сечение3dΩ2Eθоказывается симметричным относительно v∞ (хотя поле отнюдь не симметрично относительно этого направления).3.13.Изменение угла отклонения частицы (ср. с задачей 2.17)δθ(ρ) = − 1 ∂E ∂ρ∞rminδU (r) drU (r)ρ21− 2 −Er.(1)142Ответы и решения[3.14Из уравнения θ = θ0 (ρ) + δθ(ρ) находимρ = ρ0 (θ) − δθ(ρ0 (θ))3.18]§ 3.
Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частица сечение рассеяния для частиц с данным τ при cos ϕ > 0 (cos ϕ < 0) есть⎧⎨ πпри 0 < ε < εm cos ϕ (0 > ε > εm cos ϕ),dσ = κ 2 |ε|⎩dε0при |ε| > εm | cos ϕ|.dρ0 (θ)dθ(ср. с задачей 1.8). Здесь зависимость θ0 (ρ) соответственно ρ0 (θ), определяется при δU (r) = 0. Отсюда сечение$$$$$ dρ2 (θ)$ dρ2 $$dρ(θ)0$$$$0dσ = π− d 2ρ0 (θ)δθ(ρ0 (θ))$$ = π$$=$ d(θ)$ dθ $dθdθdθ $dσdσ= 0 ∓ d δθ(ρ0 (θ)) 0 .dθdθdθЗнак перед d/dθ противоположен знаку dρ0 (θ)/dθ.πβ d π − θ + 2 cos(θ/2);а) δ dσ =В падающем пучке есть частицы с различными τ . Усредняя сечение пофазе ϕ (например, для ε > 0 по формуле/ 0αdσ dϕ, α = arccos ε ,dσ = 1εm2πdεdε−α⎧получим|ε|/ 0 ⎪⎨ 1dσ = κ 2 |ε| arccos εm при |ε| < εm ,⎪dε⎩0при |ε| > εm .3.15.
Распределение распадных частиц имеет видdN =λ2 sin θ dθ,3Ncos θ 1 − λ2 tg2 θE dθsin θ(π− θ)22γd.б) δ dσ = 3 √dθπ βE dθ θ(2π − θ)dθ3.14.3.16.ет вид(p + Δp)2p2ε=−≈ vΔp2m2mопределяется в первом порядке лишь изменением продольной компонентыимпульса. Так как отклонение частицы можно считать малым, в выражениидля силы∂U (r, t),F=−∂rдействующей на частицу, положим (после дифференцирования) r = ρ ++ v(t − τ ).
Здесь ρ — прицельный параметр, а τ — момент времени, в который частица находится на минимальном расстоянии от центра. Тогдаε=vF(t)dt = εm e−κ 2 ρ2 cos ϕ,−∞2εmω√ω e− 4κ 2 v2 ,= πV2 κvλ=V 2 − v022V v0в интервале углов 0 θ arctg(1/λ), если V > v0 , и в интервале углов(π − arctg(1/|λ|) θ π, если V < v0 .Приобретаемая частицей энергия∞143ϕ = ωτ,Распределение распадных частиц по энергиям T = mv 2 /2 имеdN = 6(Tmax − T )(T − Tmin ) dT,N(Tmax − Tmin )3где3.17.3.18.Tmin = m (v0 − V )2 , Tmax =2tg θ1 = ctg θ2 = α ,E=EρEρv,v2 =v1 = 2α + E 2 ρ2Tmin T Tmax ,m (v + V )2 .2 0mv 2 ,2αv.2α + E 2 ρ2π θ π при m < m ,122θ = π при m1 = m2 ,2π0 θ при m1 > m2 .2144Ответы и решения[3.193.19.
В системе центра масс в результатестолкновения составляющая скорости, нормальная к поверхности шариков в точке соприкосновения, обратится в нуль, а тангенциальная v0сохранится (рис. 112). Сечение рассеяния, выраженное через угол χ отклонения частицы в системе центра масс,Рис. 1124.1]§ 4. Уравнения движения. Законы сохраненияπ3.22.v sin χsin χ cos χtg θ = 0=v0 cos χ + v01 + cos2 χнаходимcos2 χ1, 2 = 3 cos2 θ − 1 ± 1 cos θ22a) Fтр = 2πmv nб) Θ2 = 2πmM0π2f (θ) sin3 θ dθ;nl0здесь l — путь, пройденный частицей массы M , v — её скорость, a n —концентрация лёгких частиц.9 cos2 θ − 8.§ 4. Уравнения движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
