1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. той фазы, которую осциллятор имел бы при t = 0,если бы не было вынуждающей силы.170Ответы и решения5.14.[5.14На осциллятор действует сила5.15]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы171бо́льших ε результат зависит от величины a. Если a > 1, то возможно лишьε < ε1 (рис.
119, а; для сечения — рис. 120, а). Если же a < 1, то возможноF(t) = − ∂ U (|r − r0 (t)|),∂r(1)2ε < ε2 = πV (рис. 119, б), причём при ε = ε1 график dσ/dε испытывает2Eeгде r(t) — отклонение осциллятора, а r0 (t) — радиус-вектор налетающейчастицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем r0 (t) = ρ + vt(ρ — прицельный параметр, векторы ρ и v взаимно ортогональны). Считая также малой амплитуду колебаний осциллятора, полагаем в (1) (последифференцирования) r = 0; тогдаскачок, а при ε2 − ε ε2 имеет интегрируемую особенность (рис. 120, б)1.dσ = √ π 2 dεε2 2κ1 − ε/ε2F(t) = −2κ 2 V (ρ + vt) · exp(−κ 2 ρ2 − κ 2 v2 t2 ).Колебания по направлениям ρ и v независимы и возбуждаются доэнергии$2$2$ +∞$ +∞$$$$$$$$1 $1 $−iωt $−iωt $F(t)edtиF(t)edt(2)ρv$$$$2m $2m $$$−∞Рис. 119−∞соответственно. Здесь Fv и Fρ — компоненты силы по направлениям v и ρ.Полная энергия возбуждения осциллятора12ε = πV (x + a)e−x−a ,2E(3)где 2ω, x = 2(κρ)2 .E = 1 mv 2 , a = 1 κv22Сечение возбуждения осциллятора до энергии, лежащей в интервалеот ε до ε + dε,$$$ a + x (ε) $k$$|dρ2k | = π 2 dεdσ = π(4)$,$ε$$1−a−x(ε)2κkkkРис.
1205.15. Если осциллятор имеет «прицельную фазу», равную ϕ (см. задачу 5.12 б), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергииосциллятора выражение22√ε = ε1 e−2(κρ) + 2 ε1 ε0 e−(κρ) cos ϕ + ε0 ,где xk — различные корни уравнения (3).Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) гра2фически, как это делалось в задаче 3.10 а. При ε ε1 = πV ae−a полу-2Eчаем dσ =π dε (в уравнении (4) полагаем x (ε) 1, x a). Дляkk2κ 2 ε1 Интересно отметить, что зависимость ε(ω) такая же, как и зависимость спектральнойплотности излучения быстрого электрона в поле U (r) (см.
[2], § 67).гдеε1 = π4EVωκv2(1)2ωexp −.2(κv)2При cos ϕ > 0 для всех ρ оказывается ε > ε0 , а при cos ϕ < 0 существуют такие ρ1, 2 , для которых ε < ε0 . Разрешая уравнение (1) относительно ρ2 ,172Ответы и решения[5.155.17]находим§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы5.16.ρ2 = 12κρ21, 2= 12κε1 /ε0ln%− cos ϕ + (ε/ε0 ) − sin2 ϕ√ε1ln √ε0 | cos ϕ| ± ε − ε0 sin2 ϕДля функции ЛагранжаL = 1 mẋ2 − 1 mω 2 x2 + xF (t)22при ε > ε0 ,энергия системы$2$$$F(t)F 2 (t)iF(t)$$,E(t) = m (Re ξ)2 + m (Im ξ)2 − ω Im ξ = m $ξ − mω $ −222 $$2mω 2при cos ϕ < 0и ε0 > ε > εmin = ε0 sin2 ϕ. Отсюда$$$ dρ2 $$$πdεdσ = π $$ dε =%$ dε $2κ 2 ε − ε sin2 ϕ − cos ϕ · εε − ε2 sin2 ϕ000гдеt(2)ξ = ẋ + iωx = eiωt1 F (τ ) dτe−iωτ m(1)−∞при ε > ε0 иε0 π| cos ϕ| dεdσ = πd(−ρ21 + ρ22 ) = 12%κ (ε − ε) εε − ε2 sin2 ϕ000(3)при εmin < ε < ε0 и cos ϕ < 0.Усредняя по всем возможным для данногоε фазам ϕ, получим/ 0πdσ =(4)dε2κ 2 |ε0 − ε|(рис.
121). Усреднение проводится по формулам/ 02πdσ = 1dσ dϕ2πdεdεРис. 121(см. [1], § 22). Хотя выражение для энергии имеет определённый пределпри t → ∞, интеграл, определяющий ξ(t) при t → ∞, не имеет предела(так как F (τ ) → F0 при τ → ∞). Интегрируя (1) по частям, получимiωtiF (t)ξ(t) = mω − iemω/dσdε0= 12ππ+απ−αdσ dϕdεдля ε < ε0 . Здесь α = arcsin ε/ε0 .Расходимость сечений (2), (3) и (4) при ε → ε0 связана с тем, что прилюбых больших ρ осциллятор возбуждается.С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему её нет в (4)?tF (τ )e−iωτ dτ,(2)−∞где F (τ ) → 0 при τ → ∞ и интеграл сходится при t → ∞. Из (2) видно, что движение осциллятора при t → ∞ представляет собой гармонические колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновеF0(первое слагаемое в (2)).
Переданная осциллятору энергиясия x0 =mω 2в соответствии с этим имеет вид$2$ ∞$$$$1 $−iωt $E(+∞) = −+F(t)edt$ .22 $2mω2mω $$0для ε > ε0 и173F02−∞5.17.ΔE = E(+∞) − E(−∞) = −λ4 F02F02aλ2 F0 cos ϕ+−.2mω 22mω 2 (λ2 + ω 2 )2λ2 + ω 2E0 = 1 mω 2 a2 , ϕ — «прицельная фаза» (см. сноску к задаче 5.12 б).2174Ответы и решения5.18.Проводя в формуле ξ(τ ) = ξ(0)e[5.18iωτ1 eiωτ+ mτF (t)e−iωt dt0(см.
[1], § 22) n-кратное интегрирование по частям, получаем выражениеF (n) (+0)eiωτ − F (n) (τ − 0)iFξ(τ ) = ξ(0)eiωτ + mω0 ++m(iω)(n+1)+eiωτm(iω)(n+1)τF (n+1) (t)e−iωt dt.0Здесь |ξ(0)| = a0 ω, где a0 — амплитуда колебаний до момента включения силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен5.20]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободыопределяющей постоянные B и C. Таким образом, при 0 t τsin(ωt − ωτ /2)tF−.x(t) =2 sin(ωτ /2)mω 2 τ1 Im iF +Fб) x(t) = ωe−λt + Aeiωt для 0 t τ ; здесьmωm(λ + iω)A=−Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передачаэнергии очень мала.а) В промежуток времени 0 t τ колебания имеют видx=а) A = 12= λωmДвижение окажется установившимся, если1 Представивẋ(τ ) = ẋ(0).Эти условия приводят к системе уравнений⎧⎨ F + B sin ωτ + C(cos ωτ − 1) = 0,mω 2⎩B(cos ωτ − 1) − C sin ωτ = 0,для 0 t τ .
Для n τt n + 1 нужно в формуле для тока заменить t наt = t − nτ .Можно ли, используя (1), получить выражение для установившегосятока при ω0 < λ или при ω0 = λ?5.20.F t + B sin ωt + C cos ωt.mω 2 τx(τ ) = x(0),1 − e−λτF;m(λ + iω) 1 − eiωτдля nτ t (n + 1)τ в правой части следует заменить t на t = t − nτ .в) При ω0 = (L C)−1/2 > λ = R/2L установившийся ток%αt1e1VI(t) = − Im+ω02 − λ2 (1),α=−λ+iατ1 − eαtω02 − λ2 Lпри t > τ по порядку величины равен"#2F01a0 +.mω 2 (ωτ )n5.19.(2)Если же t лежит в промежутке nτ t (n + 1)τ (где n — целое), тов правой части (2) следует заменить t на t = t − nτ (0 t τ ).При ωτ , близком к целому кратному 2π, второй член в (2) оказываетсяочень большим — случай, близкий к резонансу.
При ωτ = 2πl (l — целое)1установившихся колебанийбыть не может (система (1) противоречива ).F0−n(n+1)(t)mω (ωτ ) , а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если Fизменяется плавно). Квадрат амплитуды колебания$2$1 $$ξ − iF0 $$mω $ω2 $175TF (t)ẋ(t) dt =Tf124f22+ 2,(ω 2 − ω02 )2 + 4λ2 ω 2(ω0 − 4ω 2 )2 + 16λ2 ω 20силу в виде ряда Фурье∞FF (t) = F −sin 2πlτ t,2πll=1(1)видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать каждая гармоника вынуждающей силы. При τ = 2πl/ω для достаточно больших t (каких именно?)x(t) ∼ −F t sin ωt.2πmωl176Ответы и решения[5.20т. е.
каждая из двух гармоник силы передаёт энергию независимо от другой(здесь период T = 2πω ).∞2|a|2 n2.б) A = 4λωm(ω 2 − n2 ω 2 )2 + 4λ2 ω 2 n2n=1 0λв) A = m(ω02f12 ω12f22 ω22.+ 22 22 2− ω1 ) + 4λ ω1(ω0 − ω22 )2 + 4λ2 ω225.21]§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободыПри λ ω0 основной вклад в интеграл (1) даёт окрестность вблизисобственной частоты осциллятора ω = ω0 .Поэтому⎡ ∞⎤24π|ψ(ω0 )|2 ω0dω⎣λ⎦.A≈m(ω02 − ω 2 )2 + 4λ2 ω020При усреднении за большой промежуток времени T ω2πоказыва1, 2При этом сомножитель, стоящий в квадратных скобках, легко вычисляется и оказывается не зависящим от λ, так чтоется, что каждая из сил f1 cos ω1 t и f2 cos ω2 t передаёт энергию осциллятору независимо.
Это связано с тем, что лишь средние квадраты тригонометрических функций отличны от нуля. При T → ∞1TT0|2πψ(ω0 )|22m5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора x есть малая величинапервого порядка по F , получима средние значения перекрестных произведений типа sin ω1 t · cos ω1 t и т. д.исчезают. Например, при T → ∞TA=(ср. с формулой (22,12) из [1]).sin ω1 t dt = 1 + 1 (1 − sin 2ω1 T ) → 1 ,2 4ω1 T2201T1 − cos(ω1 + ω2 )T1 − cos(ω1 − ω2 )T+→ 0.sin ω1 t · cos ω2 t dt =2(ω1 − ω2 )T2(ω1 + ω2 )T∞∞F (x, t)ẋ dt ≈ΔE =−∞∞∞x=−∞−∞F (x, t) dt ≈ΔP =∞ψ(ω)eiωt dω;ω02 − ω 2 + 2iλωẋ(t)F (t) dt = 8πλm−∞∞0ΔP =−∞dt.f (t) dt + ΔE .V∞f (t) dt = 0, то ΔE = V ΔP .В частности, еслиω 2 |ψ(ω)|2(ω02 − ω 2 )2 + 4λ2 ω 2dω.(1)При доказательстве последнего равенства использовано обратное пре∞F (t)eiωt dt = 2πψ ∗ (ω).образование Фурье−∞−∞f (t) − f˙(t) xVИнтегрируя второе слагаемое по частям, найдемотсюда полная работа силы F (t) равна∞f (t)ẋ dt,∞ −∞г) Смещение осциллятораA=177−∞Поясним условие малости x на примере действия на осциллятор группы волн f (t) = f e−|t|/τ cos γt.
Малым параметром в разложении F (x, t)является x/λ, где λ = 2πV /γ — характерная длина волны, т. е.|x|fγ 1.=λ2πm|ω 2 − γ 2 |178Ответы и решения[6.1§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенямисвободы6.1. Пусть xi — отклонение i-й частицы от положения равновесия(i = 1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
