1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Заменойyx2 = √mx1 = √x ,Mфункция Лагранжа сводится к виду, рассмотренному в задаче 6.5а, причёмg m2mgα=ω12 − ω22 =.Mll MВ этом случаеx = √1 (Q1 − Q2 ),2y = √1 (Q1 + Q2 ),2где Qi = ai cos Ωi t + bi sin Ωi t,g γ∓ ,Ω1, 2 =2lС учетом начальных условий Q1, 2 (0) =γ=mg.Ml√lβ m√ , Q̇1, 2 (0) = 0 получаем2gmt,x1 = lβsin γt sinMlgx2 = lβ cos γt cost.lТаким образом, маятники колеблются «по очереди» и амплитуда верхнего маятника в M/m раз меньше, чем нижнего.6.12.x1 =x2 =k , ω2 =где ω12 = m2ak(k1 + k − mγ 2 )cos γt,m (γ 2 − ω12 )(γ 2 − ω22 )2akk1cos γt,m2 (γ 2 − ω12 )(γ 2 − ω22 )k + 2k1m .6.15]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы6.13.x1 = x2 =187akcos γt, где xi — смещение вдоль кольца изk − mγ 2положения равновесия i-й частицы.
Резонанс возможен только на одной изнормальных частот при γ 2 = k/m (см. задачу 6.24).6.14. Пусть xi — смещение вдоль кольца из положения равновесияi-й частицы, тогдаak(ω22 − γ 2 )cos γt,x1 = x3 =2m(γ − ω12 )(γ 2 − ω32 )2ak 2cos γt,m (γ − ω12 )(γ 2 − ω32 )где собственные частоты ωi равны√ k2ω1,=2∓2 m , ω22 = 2k3m.x2 =22Обратим внимание на то, что при γ = ω2 смещения x1 = x3 = 0, а x2 == −a cos γt.
Почему число резонансов в системе меньше числа нормальныхчастот?6.15.Уравнения движения (ср. с задачей 6.12)mẍ1 + αẋ1 + kx1 + k1 (x1 − x2 ) = ka Re eiγt ,mẍ2 + αẋ2 + kx2 + k1 (x2 − x1 ) = 0.**++Ищем решение в виде x1 = Re Aeiγt , x2 = Re Beiγt . Для A и B получаем уравнения(−mγ 2 + 2imλγ + k + k1 )A − k1 B = ka,−k1 A + (−mγ 2 + 2imλγ + k + k1 )B = 0,2mλ = α,откудаA=ak(k + k1 − mγ 2 + 2iλmγ)m2 (γ 2 − 2iλγ − ω12 )(γ 2 − 2iλγ − ω22 ),akk1,m (γ − 2iλγ − ω12 )(γ 2 − 2iλγ − ω22 )2γ 2 − 1 ω12 − 1 ω22 + 4λ2 γ 2 cos(γt + ϕ1 + ϕ2 + ψ)ak22,x1 =m [(γ 2 − ω12 )2 + 4λ2 γ 2 ][(γ 2 − ω22 )2 + 4λ2 γ 2 ]B=22188Ответы и решенияx2 =k,ω12 = m[6.16akk1 cos(γt + ϕ1 + ϕ2 ),2m [(γ − ω12 )2 + 4λ2 γ 2 ][(γ 2 − ω22 )2 + 4λ2 γ 2 ]6.17]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободыУ данной системы в приближении слабой связи2k + 2k1ω22 =m ,tg ϕ1,22λγ= 2,2γ − ω1,24λγtg ψ = 2.ω1 + ω22 − 2γ 2Между колебаниями двух частиц возникает сдвиг фаз ψ; полного демпфирования колебании первой частицы нет. Амплитуда колебаний как функция частоты вынуждающей силы γ имеет один или два максимума в зависимости от соотношения параметров ω1 , ω2 и λ (см. [16], § 1).k2≡ε1k3 − k1(для определенности k1 < k3 ) интересно рассмотреть резонанс на второйнормальной частоте. Полагая γ = Ω2 (1 + ε1 ), имеемk1 a(cos ω2 t − cos ω1 t),k1 − k3k aεωQ2 = − 1 2 sin ε1 2 t sin ω2 t2mω2 ε1Q1 =6.16.
Функция Лагранжа системы (x и y — смещения из положенияравновесия первой и второй частиц)k +kk +k2kL = m ẋ2 + ẏ 2 − 1 m 2 x2 − 2 m 3 y 2 + m2 xy + k1 ax cos γt2отличается от функции Лагранжа, рассмотренной в задаче 6.5 а, лишь слагаемым xk1 a cos γt, отвечающим силе k1 a cos γt, действующей на первуючастицу. Ниже мы будем пользоваться обозначениями задачи 6.5 а.
Парциk1, 3 + k2альная частота ω1, 2 =соответствует нормальной частоте систеmмы, которая получится, если закрепить вторую (первую) частицу в положении равновесия, т. е. положить y = 0 (соответственно x = 0). При переходек нормальным координатам Q1 , Q2 функция Лагранжа приводится к видуL = m Q̇21 − Ω21 Q21 + Q̇22 − Ω22 Q22 + (F1 Q1 + F2 Q2 ) cos γt,2где F1 = k1 a cos ϕ и F2 = −k2 a sin ϕ — проекции амплитуды силы F = k1 a cos γt на нормальные координаты Q1 и Q2 (рис. 127). Для координаты Q1, 2 мы получаем уравнение движенияосциллятора с частотой Ω1, 2 под действием вынуждающей силы F1, 2 cos γt.
Начальные условияQi (0) = Q̇i (0) = 0. ПолучаемРис. 127Q1, 2 =F1, 2 (cos γt − cos Ω1, 2 t)m(Ω21, 2 − γ 2 )189Q2 = −k1 aεt sin ω2 t2mω2при ε1 = 0.Таким образом, даже при слабой связи амплитуда Q2 может быть большой или расти со временем, однако скорость её изменения при этом будет мала. Поскольку угол поворота мал (sin ϕ = ε), для смещении имеем:x = Q1 − εQ2 и y = Q2 .Какова скорость роста амплитуды колебаний при резонансе на первойчастоте γ = Ω1 ?Как изменится характер колебаний, если на обе частицы будет действовать малая сила трения, пропорциональная скорости (ср.
с задачей 5.11)?6.17.а) x =F0 cos ϕcos γt,m(ω12 − γ 2 )y=F0 sin ϕcos γt,m(ω22 − γ 2 )kk , ϕ — угол между направлением силы и осью AB, а xгде ω12 = m1 , ω22 = mи y — смещения из положения равновесия вдоль осей AB и CD. Частицаколеблется вдоль прямой, проходящей через центр.Интересно, что при γ 2 = ω12 sin2 ϕ + ω22 cos2 ϕ эта прямая перпендикулярна к вектору F0 . В этом случае работа вынуждающей силы равна нулю.Поэтому, казалось бы, наличие даже малого трения должно привести к затуханию колебаний. Так ли это?FFб) x =cos γt, y =sin γt. Траектория — эллипс2222m(ω1 − γ )с полуосями.при |ε1 | 1,a=m(ω2 − γ )F,m|ω12 − γ 2 |b=F.m|ω22 − γ 2 |190Ответы и решения[6.186.18]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы191Если величины (ω12 − γ 2 ) и (ω22 − γ 2 ) противоположны по знаку, то движение частицы по эллипсу происходит по часовой стрелке, а вектор силывращается против часовой стрелки.Как изменятся описанные выше картины движения частицы, если натяжение пружинок в положении равновесия не равно нулю?6.18. Пусть xi — смещение i-й частицы вдоль кольца из положенияравновесия. Три частицы могут вращаться по кольцу с постоянной угловойскоростью, при этомx1 = x2 = x3 = Ct + C1 = q1 (t),ω1 = 0.(1)Колебания же частиц 1 и 2 навстречу друг другу с равной амплитудой(2)x1 = −x2 = A cos(ω2 t + α) = q2 (t), x3 = 0, ω2 = 3kmпроисходят, очевидно, с той же частотой, что и колебания частиц 2 и 3навстречу друг другуx1 = 0,x2 = −x3 = B cos(ω3 t + β) = q3 (t),ω3 = ω2 .(3)Введем «вектор смещения»⎛⎞x1r = ⎝x2 ⎠ ,x3тогда колебания (1)–(3) можно представить в виде (рис.
128),⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞110r1 = ⎝1⎠ q1 , r2 = ⎝−1⎠ q2 , r3 = ⎝ 1⎠ q3 .10−1Любая линейная комбинация векторов r2 и r3 также представляет собойколебания с частотой ω2 . Таким образом, в пространстве с декартовымикоординатами x1 , x2 , x3 совокупность решений, отвечающих колебаниямс дважды вырожденной частотой ω2 = ω3 , определяет плоскость, проходящую через векторы r2 и r3 .1 Как легко видеть из (4), оба эти вектора1 Отметим,что в этой плоскости линейная комбинация вида ar1 (t) + br2 (t) представляетсобой либо колебания по прямой (при α = β, β + π), либо движение по эллипсу (при α = β).Рис.
128(а следовательно, и все векторы, лежащие в этой плоскости) ортогональнывектору r1 (общее соотношение ортогональности см. в задаче 6.22).Функция Лагранжа системы+*222L = m ẋ21 + ẋ22 + ẋ23 − k (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x1 ) . (5)22Нормальные координаты должны диагонализовать одновременно обе квадратичные формы — для кинетической и для потенциальной энергии. Поскольку в (5) кинетическая энергия уже пропорциональна сумме квадратовскоростей, то преобразование от xi к нормальным координатам, не меняющее её вида, должно быть ортогональным, а векторы соответствующихнормальных колебании — взаимно ортогональными.
Векторы ri независимы, но не ортогональны друг другу: r1 r2 = r1 r3 = 0, но r2 r3 = 0. Чтобыполучить нормальные координаты, достаточно в плоскости векторов r2 и r3выбрать два взаимно ортогональных вектора. Это могут быть, например,вектор r2 и ортогональный ему вектор eq3 , где единичный вектор e найдениз условия er1 = er2 = 0. В итоге набор нормированных векторов1⎛ ⎞1rr112r1 = √ , r2 = √ , r3 = eq3 = √ ⎝ 1⎠ q3(6)326 −2позволяет определить нормальные координаты:⎧⎪x1 = √1 q1 + √1 q2 + √1 q3 ,⎪⎪⎪326⎪⎪⎪⎨111x2 = √ q1 − √ q2 + √ q3 ,⎪326⎪⎪⎪⎪⎪12⎪⎩ x3 = √ q1 − √ q3 ,36(7)√√1/ 3 и 1/ 2 введены для того, чтобы нормировать векторы ri условиемri rk = δik qi2 , при этом условии преобразование (7) ортогональное.1 Множители192Ответы и решения[6.19которые приводят функцию Лагранжа (5) к видуL = m (q̇12 + q̇22 − ω22 q22 + q̇32 − ω32 q32 ).2(8)Разумеется, любые координаты, полученные из q2 , q3 ортогональнымпреобразованием (т.
е. простым поворотом вокруг r1 ), также являются нормальными координатами.6.19.Начальные условия для смещения xi вдоль кольцаx1 (0) = a,x2 (0) = x3 (0) = ẋi (0) = 0.Отсюда для нормальных координат qi (см. формулу (7) предыдущей задачи)найдем начальные условия:q1 (0) = √a ,3q2 (0) = √a ,2q3 (0) = √a ,6q̇i (0) = 0.Поэтомуq1 = √a , q2 = √a cos ω2 t, q3 = √a cos ω3 t,326и с учетом того, что ω2 = ω3 , получаем окончательноx1 = a + 2a cos ω2 t,33x2 = x3 = a − a cos ω2 t.3 36.20.
Пользуемся обозначениями задачи 6.18. Функция Лагранжа системы+9*7L = m ẋ21 + 2ẋ22 + 3ẋ23 − k 2(x1 − x2 )2 + 6(x2 − x3 )2 + 3(x3 − x1 )2 .22(1)Уравнения движения подстановкой xi = Ai cos(ωt + ϕ) сводятся к системетрех алгебраических уравнении:⎧2⎪⎨ (−mω + 5k)A1 − 2kA2 − 3kA3 = 0,−2kA1 + (−2mω 2 + 8k)A2 − 6kA3 = 0,(2)⎪⎩−3kA1 − 6kA2 + (−3mω 2 + 9k)A3 = 0.Эта система имеет нетривиальное решение, если её определитель равеннулю:ω 2 (mω 2 − 6k)2 = 0.6.20]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы193Отсюда находим собственные частоты системы:ω1 = 0, ω2 = ω3 = 6km.Значению ω1 = 0 отвечает очевидное решение — вращение по кольцус постоянной угловой скоростью⎛ ⎞1r1 = ⎝1⎠ q1 , q1 (t) = Ct + C1 .(3)1Для совпадающих частот ω2 = ω3 в системе (2) лишь одно уравнение является независимым:A1 + 2A2 + 3A3 = 0.(4)Любые наборы величин Ai , удовлетворяющие условию (4), дают колебанияс частотой ω2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
