1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функции Лагранжа системы+*L = m ẋ21 + ẋ22 − k [x21 + (x1 − x2 )2 ].226.2]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыСвободные колебания (4) полностью описывают движение системы.Однако при решении многих задач удобнее пользоваться нормальными координатами, например в задачах с вынуждающей силой (см. задачи 6.2 би 6.24), при построении теории возмущений (см. задачу 6.34), при переходе к квантовой механике. Это связано с тем, что нормальные координаты qi ,определённые равенствами(1)x1 = q1 + q2 ,√√5+15−1x2 =q1 −q2 ,22Уравнения движенияmẍ1 + k(2x1 − x2 ) = 0,mẍ2 + k(x2 − x1 ) = 0подстановкой xi = Ai cos(ωt + ϕ) сводятся к системе алгебраических уравнений(−mω 2 + 2k)A1 − kA2 = 0,−kA1 + (−mω 2 + k)A2 = 0.(2)Отсюда получаем собственные частоты√3∓ 5 k=m.2Из двух уравнений (2) в силу (3) лишь одно независимо.
Подставляязначения ω1 и ω2 в (2), получим соотношения между амплитудами2 A ≡A√25+1A1 = − √ 2 A2 ≡ B5−1A1 =для ω = ω1 ,q̈i + ωi2 qi = 0.Подобным же образом задача о движении двух взаимодействующихтел сводится к задачам о движении центра инерции и о движении частицыс приведённой массой в заданном силовом поле.Отметим, наконец, что более общий случай системы N частиц с однойточкой подвеса рассмотрен в задаче 7.2.6.2.Функция Лагранжа системы+9*7L = m ẋ21 + ẋ22 − k (x1 − a(t))2 + (x1 − x2 )2 .22L = L0 + ΔL,Таким образом, свободные колебания системы сутьПостоянные A, B, ϕ1 , ϕ2 определяются начальными условиями.(6)Если отбросить член − 1 ka2 (t), представляющий собой полную производ2ную по времени, то L можно переписать в видедля ω = ω2 .x1 = A cos(ω1 t + ϕ1 ) + B cos(ω2 t + ϕ2 ),√√5+15−1x2 =A cos(ω1 t + ϕ1 ) −B cos(ω2 t + ϕ2 ).22приводят функцию Лагранжа (1) к сумме квадратов√√5− 55+ 5L=m(q̇12 − ω12 q12 ) +m(q̇22 − ω22 q22 ),44(5)а уравнения движения для q1 и q2 разделяются:Эта система имеет нетривиальное решение, если её определитель равеннулю:(3)(−mω 2 + 2k)(−mω 2 + k) − k 2 = 0.2ω1,2179(4)ΔL = x1 ka(t),(1)где L0 — функция Лагранжа системы с неподвижной точкой подвеса (см.формулу (1) из предыдущей задачи).
Такая запись удобнее тем, что сразупозволяет выписать «вектор» внешней силы Fx1ka(t)=.0Fx2180Ответы и решенияа) Уравнения движенияmẍ1 + k(2x1 − x2 ) = ka cos γt,mẍ2 + k(x2 − x1 ) = 0подстановкой1x1 = A cos γt,6.2](2)Таким образом, задача сводится к отысканию установившихся колебаний двух независимых осцилляторов, на каждый из которых действуетпилообразная сила (см. задачу 5.19 а).Разумеется, и в пункте а) можно было решать задачу, переходя к нормальным координатам (ср. с задачей 6.24).x2 = B cos γtприводятся к линейной неоднородной системедвух уравнений относительно A и B. ОтсюдаA=ak(−mγ 2 + k),m (γ 2 − ω12 )(γ 2 − ω22 )B=ak 2,m (γ − ω12 )(γ 2 − ω22 )23∓2√25k2где ω1,2 =m — нормальные частоты2системы.Зависимость амплитуд A и B от частоты γизображена на рис.
122 а.При переходе через точки резонансаγ = ω1, 2 амплитуды A и B меняют знак, чтоотвечает изменениюфазы колебаний на π. Причастоте γ = k/m колебания верхней массыполностью демпфируются: A = 0.На рис. 122 б изображен примерный видзависимости |A| от частоты вынуждающей сиРис. 122лы при наличии трения.На каких частотах γ будут демпфироваться колебания верхней частицы, если к нижней подвесить еще одну частицу на такой же пружинке?б) Вводя нормальные координаты q1, 2 (см.
формулу (5) из предыдущейзадачи), представим функцию Лагранжа (1) в виде§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы181[6.26.3 а. Вводим систему координат с началом в точке подвеса и осью y,направленной по вертикали вниз. В качестве обобщённых координат выберем координаты x1 и x2 точек A и B. В выражение для потенциальнойэнергии U = −mgy1 − mgy2 подставляем y1 (x1 ) и y2 (x1 , x2 ) с точностьюдо второго порядка по x1, 2 /l:%x24l2 − x21 ≈ 2l − 1 ,4l(x2 − x1 )2x2y2 = y1 + l2 − (x2 − x1 )2 ≈ 3l − 1 −,4l2ly1 =а в выражение для кинетической энергииT = m (ẋ21 + ẏ12 + ẋ22 + ẏ22 )2подставляем ẏ1 и ẏ2 с точностью до первого порядка:ẏ1 = −x1 ẋ1≈ 0,2lẏ2 = ẏ1 −(x2 − x1 )(ẋ2 − ẋ1 )≈ 0.lПосле этого функция Лагранжаmg 2 mgx −(x2 − x1 )2 + 5mglL = m (ẋ21 + ẋ22 ) −22l 12lL = L1 (q1 , q̇1 ) + L2 (q2 , q̇2 ),√5± 5222L1, 2 =m(q̇1,2 − ω1, 2 q1, 2 ) + q1, 2 ka(t)4(ср. с формулой (6) предыдущей задачи).совпадает с функцией Лагранжа системы, рассмотренной в задаче 6.1, еслипринять k = mg/l и отбросить несущественную постоянную 5mgl.
Поэтому найденная в задаче 6.1 зависимость x1 (t) и x2 (t) справедлива и длядвойного маятника.Если точка подвеса маятника движется по закону x0 = a(t) l, то,как легко убедиться, мы возвращаемся к функции Лагранжа, рассмотреннойв задаче 6.2.1 Общее решение системы (2) является суперпозицией свободных и вынужденных колебаний. При наличии даже малого трения свободные колебания затухают, поэтому после большого промежутка времени решение системы (2) не зависит от начальных условий и представляетсобой вынужденные колебания (3).6.3 б. Пусть ϕ и ψ — углы отклонения верхней и нижней частицыот вертикали. Нормальные колебания таковы: ψ = 2ϕ с частотой 4g/5lи ψ = −2ϕ с частотой 4g/3l.182Ответы и решения6.4.[6.4Закон движенияx = a cos(ω1 t + ϕ),y = b cos(ω2 t + ψ).Постоянные a, b, ϕ, ψ определяются начальными условиями.
Траектория расположена внутри прямоугольника (рис. 123):−a x a,−b y b.Вообще говоря, траектория «заполняет» весь прямоугольник. Точнее, если ω1и ω2 несоизмеримы, она проходит какугодно близко к любой точке этого прямоРис. 123угольника. Движение точки в этом случаене является периодическим (хотя движение её проекций на оси координат периодическое). Если же ω1 и ω2 соизмеримы (lω1 = nω2 , где l и n —целые числа), то траектория представляет собой замкнутую кривую, называемую фигурой Лиссажу. Движение в этом случае периодическое, периодравен 2πn/ω1 .6.5.а) Для данной системы переход к нормальным координатам есть просто поворот в плоскости (x, y) (рис.
124):x = Q1 cos ϕ − Q2 sin ϕ,Рис. 124y = Q1 sin ϕ + Q2 cos ϕ.(1)Действительно, кинетическая энергия при поворотене меняет своего вида, а в потенциальной энергиикоэффициент при Q1 Q2 , равный+*− 1 ω12 − ω22 sin 2ϕ − α cos 2ϕ,2можно обратить в нуль, если определить параметр ϕ из условияctg 2ϕ =ω22 − ω12.2αЗависимость ϕ от ω1 показана на рис. 125; ширина области частот,в которой происходит переход от ϕ = 0 к ϕ = π/2 порядка α/ω2 .6.5]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы183При слабой связи, α |ω12 −ω22 | нормальные колебания локализованы, т. е. при ω1 < ω2оказывается ϕ ≈ 0 и x ≈ Q1 , y ≈ Q2 ,а при ω1 > ω2 получаем ϕ ≈ π и x ≈ −Q2 ,2y ≈ Q1 .При |ω12 −ω22 | α нормальные колебанияперестают быть локализованными:ϕ ≈ π , x ≈ √1 (Q1 − Q2 ), y ≈ √1 (Q1 +Q2 )422Рис. 125(см. [1], § 23, задача 1).Нормальные частоты%Ω21, 2 = 1 ω12 + ω22 ∓ (ω22 − ω12 )2 + 4α22(2)лежат вне интервала парциальных частот1 , т. е. Ω1 < ω1 и Ω2 > ω2 (дляопределенности считаем ω1 < ω2 ).
Соотношения подобного рода для систем со многими степенями свободы известны под названием «теорем Рэлея» (см. [15] и задачу 6.23).Зависимость Ω1, 2 от ω1 показана нарис. 126. Видно, что отличие нормальных частотΩ1, 2 от парциальных ω1, 2 (равно как и нормальных координат Q1 , Q2 от координат x, y) при малых α несущественно всюду, за исключением области вырождения |ω12 −ω22 | α. При достаточномалых ω1 одна из нормальных частот становитсямнимой — система перестаёт быть устойчивой.В координатах Q1 и Q2 закон движенияи траектория такие же, как в предыдущей задаче.Рис.
126б) Нормальные координаты можно получитьв этом случае из результатов предыдущей задачи2простой заменой ω1,2 → m1, 2 , причём нормальные частоты данной задачиобратны нормальным частотам Ω1, 2 предыдущей задачи. Почему?Можно ли обнаружить факт независимости нормальных частот от знака α (или β) из вида функции Лагранжа, не находя Ω1, 2 в явном виде?1 Следуя Мандельштаму [7], парциальной частотой мы называем частоту колебаний системы, которая получается из исходной при x ≡ 0 (или при y ≡ 0).184Ответы и решения6.6.[6.6+ 1 q12*q22(q1 + q2 )2122L1 q̇1 + L2 q̇2 −++L=,22 C1C2Cконденсаторов C1 и C2 .
Ввегде q1 и q2 — заряды на√√ верхних пластинахдя новые переменные L1 q1 = x и L2 q2 = y, мы получим функциюЛагранжа задачи 6.5 а с параметрами1 + 1CC1,ω22 = 1L21 + 1CC2,α=1.C L1 L2√√√б) Заменой переменных q1 = C1 x, q2 = C2 y можно функциюЛагранжа данной системы свести к функции Лагранжа задачи 6.5 б с параметрамиm1, 2 = (L + L1, 2 )C1, 2 , β = L C1 C2 .Могут ли данные системы стать неустойчивыми?6.7. Пусть x1 и x2 — отклонения частиц m1 и m2 от положения рав√√новесия. Сделав замену m1 x1 = x и m2 x2 = y, получим для системыфункцию Лагранжа, рассмотренную в задаче 6.5 а.В различных предельных случаях ответ может быть получен без решения уравнений. Например, если все ki = k и m1 m2 , то возможнонормальное колебание очень низкой частоты Ω21 = 3k , x1 = 1 x2 (ча2m2§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободы2стица m1 является как бы элементом пружинки, а частица m2 колеблетсямежду пружинками жёсткости 1 k слева и k справа) и очень высокой ча-б) x1, 2 = a (cos ω1 t ± cos ω2 t);2при k1 kx1 = a cos εt · cos ωt,k , ω2 =Всюду ω12 = m2Подобным же образом интересно рассмотреть случаиа) m1 = m2 , k1 = k2 k3 ;б) все жёсткости различные, но одного порядка, а m1 m2 ;в) k2 k1 = k3 , а массы m1 и m2 одного порядка.x2 = a sin εt · sin ωt.2k1 + kk11m , ε = 2k ω1 , ω = 2 (ω1 + ω2 ).6.9.
Энергия, переданная от первой частицы ко второй за время dt,равна работе силы F = k1 (x1 − x2 )dE = k1 (x1 − x2 ) dx2 = k1 (x1 − x2 )ẋ2 dt,а поток энергии dE = k1 (x1 − x2 )ẋ2 . Для предельного случая k1 kdtв задаче 6.8 а поток энергии, усредненный по периоду быстрых колебаний,равен1 mv 2 ω sin 2εt.146.10. Уравнения движенияmẍ1 + k1 (x1 − x2 ) + kx1 + αẋ1 = 0,mẍ2 + k1 (x2 − x1 ) + kx2 + αẋ2 = 0при замене x1, 2 = √1 (q1 ± q2 ) распадаются на два уравнения для нормальных координат2q̈1 + ω12 q1 + 2λq̇1 = 0,22k (когда частица m почти покоится). Амплитуду колебанийстоты Ω22 = m21второй частицы можно найти, рассматривая её движение как вынужденноепод действием вынуждающей силы kx1 высокой частоты (см.
[1], формуmла (22.4)): x2 = − 1 x1 .2m21856.8. а) x1, 2 = v ω11 sin ω1 t ± ω12 sin ω2 t ; при k1 k колебания2имеют форму биений:v cos εt · sin ωt, x = − v sin εt · cos ωt.x1 = ω2ωа) Функция Лагранжа системы (см. задачу 4.22)ω12 = 1L16.10]q̈2 + ω22 q2 + 2λq̇2 = 0,k , ω2 =где ω12 = m2k + 2k1αm , 2λ = m . Поэтому при λ < ω1, 2 (см. [1], § 25)x1, 2 = e−λt [a cos(γ1 t + ϕ1 ) ± b cos(γ2 t + ϕ2 )],%2 − λ2 .где γ1, 2 = ω1,2Для системы рис. 22 при наличии трения характеристическое уравнение не биквадратное, а четвёртой степени, поэтому найти свободные колебания гораздо сложнее.186Ответы и решения6.11.[6.11Функция Лагранжа двойного маятника9M g 2 mg 7 2L = M ẋ21 + m ẋ22 −x1 −x1 + (x2 − x1 )2 ,222l2lгде x1 и x2 — отклонения точек M и m от вертикали, проходящей черезточку подвеса (ср. с задачей 6.3а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
