1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(Теорема Лармора здесь неприменима, так как поле U не обладает симметрией относительно оси z.)б) В сильном магнитном поле ωB ω1,2 нормальное колебание с частотой Ω1 ≈ ωB происходит по окружности, а нормальное колебание с чаω ωстотой Ω2 ≈ ω1 2 — по эллипсу, у которого отношение осей, параллельBных x и y, равно ω2 /ω1 . Таким образом, происходит движение по окружности, центр которой относительно медленно движется по эллипсу.Известно, что при движении заряженной частицы в сильном однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к полю, появлениеслабого квазиоднородного поля U (r) (т.
е. такого, что сила F = − ∂U мало∂rизменяется в пределах круговой орбиты) приводит к медленному смещению (дрейфу) центра орбиты в направлении, перпендикулярном к F (т. е.по линии уровня U (r)) (см. [2], § 22). Заметим, что в нашем случае подобный же дрейф происходит и в сильно неоднородном осцилляторном поле.в) Если ω1 = ω2 , то в плоскости (x, y) нормальные колебания представляют собой движения по окружностям в противоположные стороны2 /4. Поэтому в системе, ± ωB /2, где ω = ω12 + ωBс частотами Ω1,2 = ωвращающейся с частотой −ωB /2 обе частоты этих движений оказываютсяравными ω . Такие движения суть нормальные колебания изотропного осциллятора с частотой ω . Действительно, сумма и разность таких колебанийс равными амплитудами cos ωtcos ωt±− sin ωtsin ωtпредставляют собой линейные колебания по осям x или y. (Мы отвлекаемсяот смещения вдоль магнитного поля.)210Ответы и решения[6.37Если магнитное поле мало, ωB ω1 , то ω ≈ ω1 , и все влияние поляна движение осциллятора сводится к появлению вращения («прецессии»)вокруг оси z с частотой −ωB /2 (теорема Лармора, ср.
[33], § 17.3 и [2],§ 45). Если же ωB ω1 , то использование вращающейся системы теряетнаглядность.6.37.Уравнения движенияẍ + ω12 x = ωz ẏ,6.37]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыПоправки оказываются малыми, если |ωz | |ω1 − ω2 |, |ωx | |ω2 −− ω3 |. Нормальные колебания суть колебания по эллипсам, сильно вытянутым вдоль осей координат.Если же, например, |ωz | |ω1 − ω2 |, |ωx | |ω2 − ω3 |, то x(2) и y (2) ,согласно (2), уже не малы. Это связано с тем, что частоты «сил» ωz ẏ (1)и −ωz ẋ(1) в (1) оказываются близкими к собственным частотам осциллятора. В этом случае в уравнениях первого приближения следует сохранитьрезонансные члены:ÿ + ω22 y = −ωz ẋ + ωx ż,ẍ(1) + ω12 x(1) − ωz ẏ (1) = 0,z̈ + ω32 z = −ωx ẏ,ÿ (1) + ω22 x(1) + ωz ẋ(1) = 0,гдеeBeBωz = mczωx = mcx ,решаем с помощью последовательных приближений.
Ищем координатыв виде x = x(1) + x(2) , y = y (1) + y (2) , z = z (1) + z (2) где x(2) , y (2) , z (2)малы по сравнению с x(1) , y (1) , z (1) . В первом приближении пренебрегаеммалыми членами, стоящими в правых частях уравнений:z̈Выпишем свободные колебания, во избежание громоздкости ограничившись случаем ω1 = ω2 ≡ ω:= −ωz ẋ,(1)+ ωx ż (1) ,(1)= −ωx ẏ (1) .Получаемx(2) =y(2)=z (2) =− ωz ω2 B sin(ω2 t + β),ω12 − ω22ω1 ωz A sin(ω1 t + α)ω22 − ω12−ωx ω2 B sin(ω2 t + β).ω32 − ω22ωx ω3 C sin(ω3 t + γ)ω22 − ω32= 0,z̈ (2) + ω32 z (2) = −ωx ẏ (1) .Поправки x(2) , y (2) , z (2) определяются из уравнений= ωz ẏ(3)ÿ (2) + ω22 y (2) = ωx ż (1) ,z (1) = C cos(ω3 t + γ).(1)+ω32 z (1)ẍ(2) + ω12 x(2) = 0,y (1) = B cos(ω2 t + β),ẍ + ω12 x(2)ÿ (2) + ω22 y (2)z̈ (2) + ω32 z (2)(1)т.
е. влияние Bz на движение необходимо учесть точно. Система (3) рассмотрена в задаче 6.36. Для поправок второго порядка имеем уравненияx(1) = A cos(ω1 t + α),(2)211⎧ ⎛⎞⎛ ⎞1⎪ωzx⎨i ω+t⎜⎟i2⎝y ⎠ = Re A1 ⎝e+⎠ωωx⎪⎩zω32 − ω 2⎫⎛⎞⎛⎞0⎪1⎪ωz⎜ iωx ω3 ⎟ iω t ⎬⎜ −i ⎟ i ω− 2 t3⎜⎟.+ A3 ⎝ 2+A2 ⎝ee− ωωx ⎠ω3 − ω 2 ⎠⎪⎪⎭221ω3 − ω(4)ω,(2)Нормальные колебания (4) с частотами ω ± z происходят (в принятом при2ближении) по окружностям, плоскости которых составляют с плоскостьюω ω(x, y) углы ∓ 2 x 2 (поворот вокруг оси y), а колебание с частотой ω3 —ω3 − ωпо сильно вытянутому вдоль оси z эллипсу, лежащему в плоскости (y, z).212Ответы и решения[6.386.38.
Колебания маятника предполагаем малыми, угол отсчитываем от вертикали против часовой стрелки, в качестве второй координатывозьмем заряд q на правой пластине. При отклонении маятника на угол ϕмагнитный поток через контур равен Φ = const − 1 Bl2 ϕ, поэтому функция2Лагранжа (см. задачу 4.21)"#2qL = 1 ml2 ϕ̇2 + L q̇ 2 − mglϕ2 −− Bl2 ϕq̇ .2CЕсли ввести координаты x = lϕ и y = L /mq, то функция Лагранжанашей системы отличается от рассмотренной в задаче 6.36 (с параметрамиgω12 = , ω22 = 1 , ωB = − √Bl при z = 0) лишь на полную производlLC2 mLd(xy). Поэтому уравнения движения и их решенияную по времени: 1 mωB2dt6.39]§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободыАналогичноŜ Ŝr = c Ŝr = c2 r.(4)Поскольку Ŝ Ŝ = Ê, то из (4) немедленно следует, что r = c2 r, или c2 = 1и c = ±1. Поэтому для невырожденной частотыилиŜr = +r,илиŜr = −r.б) Если частота ω вырождена, то колебания (1) и (2) могут и не совпадать. Но их сумма и разностьr ± Ŝr = (A ± ŜA) cos(ωt + ϕ)также являются нормальными колебаниями с той же частотой, обладающими необходимыми свойствами симметрии.в) Добавка к функции Лагранжа имеет вид ΔL = fi xi , гдеiв задаче 6.35 справедливы и для нашего случая.6.39.213f = (f1 , f2 , .
. . , fN )Пустьr = A cos(ωt + ϕ),A = (A1 , A2 , . . . , AN )(1)— какое-либо нормальное колебание. Поскольку заменаxi →Sij xj— внешняя сила, действующая на систему.Пусть сила f симметрична, а нормальное колебание ra вида (1) — антисимметрично относительно преобразования S, т. е.Ŝf = +f ,jне меняет вида функции Лагранжа, то наряду с (1) должно существоватьнормальное колебание видаŜr = ŜA cos(ωt + ϕ), (ŜA)i =Sij Aj .(2)jŜ Ŝ = Ê.(3)а) Если данная частота ω не вырождена, то решение (2) может отличаться от (1) разве лишь общим множителем:Ŝr = c r.(5)Данная сила не влияет на колебание ra , если векторы f и ra взаимно ортогональны (см.
задачу 6.24):(f , ra ) = 0.(6)Из (5) следует, что(Ŝf , Ŝra ) = −(f , ra ).Здесь Ŝ — матрица с элементами Sij , которая по условию обладает свойствами (Ê — единичная матрица, Ŝ T — транспонированная матрица S):Ŝ T = Ŝ,Ŝra = −ra .(7)С другой стороны, левую часть (7) можно переписать в виде(Ŝf , Ŝra ) = (f , Ŝ T Ŝra ).Из (3) очевидно, что Ŝ T Ŝ = Ê. Сравнивая тогда (7) и (8), получим немедленно (6).Остаются ли неизменными пункты а)–в) задачи, если заранее не требовать условия S T = Ŝ?214Ответы и решения[6.406.40. Пусть xi — смещение i-й частицы вдоль кольца из положенияравновесия, для определенности считаем положительным смещение против часовой стрелки.
Система явно симметрична относительно поворотана угол 180◦ вокруг оси AB, проходящей через положение равновесия второй частицы и центр кольца. Поэтому и функция Лагранжа системы 4++**L = m ẋ21 + ẋ22 + ẋ23 + M ẋ24 + ẋ25 − k(xi − xi+1 )2 + (x5 − x1 )2222i=1не изменяет своего вида при соответствующей такому повороту заменеx2 → −x2 ,x1 → −x3 ,x3 → −x1 ,x4 → −x5 ,x5 → −x4 .(1)Использование соображений симметрии (см. предыдущую задачу)и ортогональности позволяет очень просто свести эту задачу с пятью степенями свободы к двум независимым задачам с двумя степенями свободыкаждая.Действительно, векторы нормальных колебаний, симметричные и антисимметричные относительно преобразования (1), имеют вид⎛ ⎞⎛ ⎞ac⎜ 0⎟⎜d ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟rs = ⎜⎜−a⎟ cos(ωs t + ϕs ), ra = ⎜ c ⎟ cos(ωa t + ϕa ).⎝ b⎠⎝f ⎠−bfКроме того, одно антисимметричное «колебание» легко угадывается — этовращение всех частиц по кольцу⎛ ⎞1⎜1⎟⎜ ⎟⎟ra1 = ⎜⎜1⎟ (Ct + C1 ), ωa1 = 0.⎝1⎠1Два других (помимо ra1 ) антисимметричных колебания должны быть ортогональны к ra1 с метрическим тензором, определяемым коэффициентамикинетической энергии, т.
е.m(2c + d) + 2M f = 0.(2)6.41]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы215В итоге в ra и rs остаются неопределенными всего по два коэффициента.Для определения их достаточно использовать всего лишь два уравнениядвижения из пяти, например для первой и пятой частиц:mẍ1 + k(2x1 − x2 − x5 ) = 0,M ẍ5 + k(2x5 − x4 − x1 ) = 0.(3)Подставляя сюда явный вид rs , найдем для двух симметричных колебанийm2b1,2 =ω− 2 a1,2 ,k s1,222M + 3m ∓ 2(M − m)2 + 5m2 .ωs1,2= k2mMАналогично, подставляя в (3) вектор ra и учитывая (2), найдемM ω 2 − 1 f , d = −2c − 2M f ,2,32,32,3m 2,3k a2,3#"k1122(4M − m) + m .=4M + m ∓222mMc2,3 =2ωa2,36.41. Рассматриваемая система близка к изученной в задаче 6.28 а,функция Лагранжа в нашей задаче отличается на малую величинуδL = δL1 (x, ẋ) + δL2 (y, ẏ) + δL3 (z, ż),97δL1 (x, ẋ) = εk x22 + (x2 − x5 )2 + (x4 − x5 )2 + x24 ,2l − l1 1.ε=lИ в этом случае колебания по x, y, z происходят независимо.
Нас интересуют только колебания по x.Для определения частот колебании удобно воспользоваться методомпоследовательных приближений (см. задачу 6.34). Частоты ω3,4 невырожденные, так что к этим колебаниям непосредственно применима формула (4) из задачи 6.34.Частота ω1 исходной задачи (6.28 а) трехкратно вырождена, поэтому,казалось бы, для определения поправок к частоте и векторов нормальных216Ответы и решения[6.41колебаний придется рассматривать систему уравнений типа (5) из задачи 6.34.
Однако свойства симметрии системы позволяют сразу же указать тевекторы нормальных колебаний исходной системы, которые мало изменяются при добавлении δL. Это как раз векторы (1) из задачи 6.28, потому чтоименно они обладают определенными свойствами симметрии: колебание r3симметрично относительно оси AB и антисимметрично относительно CD,r1 — симметрично, а r2 — антисимметрично относительно обеих осей. Поправки к частотам этих колебаний тоже можно вычислять по формуле (4)из задачи 6.34.Подставляя x1 = −x3 = 1, x2 = x4 = x5 = 0, находимδK11 = −2δL1 = 0,так что δω1 = 0. АналогичноδK22 = −2δL1(x1 = x3 = x5 = 0, x2 = −x4 = 1) = −4εk,M2 = 2L1 (ẋ1 = ẋ3 = ẋ5 = 0, ẋ2 = −ẋ4 = 1, xi = 0) = 2m,так что δω2 = −ε k ;2mεk .δK33 = −4εk, M3 = 4m, δω3 = −2 2mПредставляя вектор начального смещения a0r(0) = 0−a0и векторначальной скорости ṙ(0) = 0 в виде r(0) =ri (0) и ṙ(0) =i= ṙi (0) соответственно, найдем, чтоiA1 = A2 = A3 = a , A4 = A5 = ϕi = 0.2Таким образом, в данном приближении четвертое и пятое нормальные колебания не возбуждаются, и колебания частицx1,3 = a (± cos ω1 t + cos ω3 t),2ax2,4 = (± cos ω2 t − cos ω3 t), x5 = 02носят характер биений (см.
по этому поводу задачу 6.31).6.42]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы2176.42. В этой задаче удобно воспользоваться методом последовательных приближений (см. задачу 6.34). Изменение масс приводит к появлениюдобавки к функции ЛагранжаδL = 1 (δm1 ẋ21 + δm2 ẋ22 ).2Её следует выразить через нормальные координаты исходной системы(см. задачу 6.21). При этом коэффициент при произведении обобщённыхскоростей q̇1 q̇2 , отвечающих вырожденной частоте, оказывается равным нулю. Остальные произведения q̇l q̇s (для ωl = ωs ) можно опустить, как этоотмечено в задаче 6.34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
