1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 31
Текст из файла (страница 31)
задачу 6.9)1Sср = ω2π2π/ωk(xn−1 − xn )ẋn dt = 1 k|A|2 ω sin ϕ,201 Нижеа групповая скоростьvгр = dω =dKдля краткости мы всюду опускаем индекс s. Вычисление потока Sср и энергии Eудобно производить в комплексной форме, воспользовавшись формулами из [2], § 48.237ϕkm a cos 2 ,где a — равновесная длина одной пружинки, K = ϕ/a — волновой вектор.ЭнергияNNϕkm2ẋn +(xn − xn−1 )2 = 2N |A|2 k sin2 = 1 N mω 2 |A|2 .E=2222n=1n=1и потому7.4.E v =S .грсрNaа) Уравнения движенияmẍ2n−1 + k(2x2n−1 − x2n−2 − x2n ) = 0,M ẍ2n + k(2x2n − x2n−1 − x2n+1 ) = 0,s=1R§ 7. Колебания линейных цепочек(qs1 cos nϕs + qs2 sin nϕs ) + q0 ,s=1xn = q0 +7.4](1)причём x0 = x2N +1 = 0, n = 1, 2, . .
. , N .Ищем решение в виде бегущих волн разной амплитудыx2n−1 = Aei[ωt±(2n−1)ϕ] ,x2n = Bei[ωt±2nϕ] .(2)Для определения A и B получаем систему однородных уравнений(−mω 2 + 2k)A − k(e−iϕ + eiϕ )B = 0,−k(e−iϕ + eiϕ )A + (−M ω 2 + 2k)B = 0,(3)имеющих нетривиальные решения, только если детерминант обращаетсяв нуль. Это условие определяет связь частоты с разностью фаз колебанийсоседних частиц2k 1 ∓ 1 − 4μ sin2 ϕ , μ = mM .2ω(∓)=μ(4)mMm+MДополнительным условиям удовлетворяют только определенные линейные комбинации бегущих волн (2), а именно:x2n−1 = As sin(2n − 1)ϕs cos(ωs t + αs ),x2n = Bs sin 2nϕs cos(ωs t + αs ),238Ответы и решенияу которых ϕs =[7.47.4]239§ 7. Колебания линейных цепочекπs . Так как ϕ2N +1−s =2N + 1= π − ϕs , то различные частоты при выбореопределенного знака в (4) мы получим лишьдля s = 1, 2, . .
. , N . На рис. 137 (для случая M > m) они укладываются дискретными точками на две различные кривые, однуиз них (ω(−) ) принято называть акустической,другую (ω(+) ) оптической.Общее решение имеет видРис. 137x2n−1 =Nsin(2n − 1)ϕs [A(+)s cos(ω(+)s t + αs )+A(−)s cos(ω(−)s t + βs )],s=1x2n =Nsin 2nϕs [B(+)s cos(ω(+)s t + αs ) + B(−)s cos(ω(−)s t + βs )],s=1где A(±)s и B(±)s связаны, согласно (3), соотношениемB(±)s =22k − mω(±)s2k cos ϕsA(±)s .Замечательно, что B(−)s и A(−)s , отвечающие акустическим частотам,имеют одинаковые знаки, a B(+)s и A(+)s для оптических частот имеютпротивоположные знаки (т. е.
соседние частицы с массами m и M колеблются в противофазе). Распределение амплитуд колебаний для случая N == 8, s = 2 показано на рис. 138, где на оси ординат отложены номерачастиц, а на оси абсцисс — соответствующие им амплитуды (а — для акустических и б — для оптических колебаний).Каким образом можно получить из результатов данной задачи предельный случай m = M (см. задачу 7.1)?б) Нормальные колебания(s)x2n = As sin 2nϕs cos(ωs t + αs ),(s)x2n−1 = Asгдеωs2K sin 2nϕs + k sin(2n − 2)ϕscos(ωs t + αs ),k + K − mωs21 7K + k ∓ (K − k)2 + 4Kk cos2 ϕ 9,= msРис.
138а ϕs определяется из уравненияtg(2N + 1)ϕs = −K−ktg ϕs ,K+k0 < ϕs < π .2s = 1, 2, . . . , N,Кривые для оптической и акустической ветвей частот представлены нарис. 139, а (при K > k).Как совершить переход к предельному случаю K = k?πsв) Величина ϕs =; для s = 1, 2, . . .
, N получаем 2N2(N + 1)нормальных колебаний и собственных частот, имеющих тот же вид, чтои в пункте б) (рис. 139, б). Есть ещё одно, (2N + 1)-е, нормальное колеK +kбание x2n = 0, x2n−1 K = −x2n+1 k, частота которого ω02 = mв «запрещенной зоне» между оптической и акустической ветвями.лежит240Ответы и решения[7.57.5]§ 7. Колебания линейных цепочек241= a/ sin(N + 1)ϕ, а из уравнении (1) — «волновой вектор» ϕ стоячей волныmγ 2ϕ.=24ksin2При γ 2 < 4km установившиеся колебанияxn = aРис. 139Распределение амплитуд этого колебания показано на рис.
140, где наоси абсцисс отложены номера частиц, а на оси ординат — соответствующиеим амплитуды колебаний. Частицы, имеющие чётные номера, неподвижны,а соседние частицы с нечётными номерами колеблются в противофазе с амплитудами, экспоненциально затухающими при удалении от левого концацепочки.sin nϕcos γtsin(N + 1)ϕ(2)имеют большую амплитуду, если знаменатель sin(N + 1)ϕ близок к нулю.Но именно это условие и определяет спектр собственных частот ωs (см.задачу 7.1), т. е. при этом мы имеем случай, близкий к резонансу, γ ≈ ωs .Приγ ω1 = 2πkm sin 2(N + 1)колебания (2) соответствуют медленному растяжению и сжатию всех пружинок как целого;xn = a n cos γt.N +1Если γ 2 > 4km , то, сделав в (2) замену ϕ = π − iψ, получаемxn = (−1)N +1+n ash nψcos γt,sh(N + 1)ψгдеch2Рис.
1407.5.а) Решение уравнений движенияmẍn + k(2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0,n = 1, 2, . . . , N(1)(дополнительные условия x0 = 0, xN +1 = a cos γt) ищем в виде стоячихволн xn = A sin nϕ cos γt так, чтобы сразу удовлетворить первому дополнительному условию. Тогда из второго условия находим константу A =mγ 2ψ=.24kАмплитуды колебаний частиц убывают (при nψ 1 — экспоненциально)к левому концу цепочки. Естественность этого результата особенно очевидна для γ 2 4km , когда частота вынуждающей силы лежит гораздо вышеспектра нормальных частот.
В этом случае крайняя правая частица колеблется с малой амплитудой в противофазе с вынуждающей силой, a (N −1)-ячастица в первом приближении покоится. Затем можно движение (N − 1)-йчастицы рассматривать как вынужденное колебание, вызванное вынуждающей силой большой частоты со стороны N -й частицы, и т.
д.242Ответы и решения[7.6Отметим, что в явлениях полного внутреннего отражения имеет местоаналогичное затухание волны (например, при отражении коротких радиоволн от ионосферы).Какой вид имеет установившееся колебание при γ 2 = 4km?б) Находя нормальные колебания (см. решение зад. 7.1) мы первымделом рассматривали именно бегущие волны. В бегущей вправо, к точке Aволнеxn = Re Aei(γt−nϕ) ,§ 7. Колебания линейных цепочек2432k2частот 2km < γ < μ (см. задачу 7.4 а), то установившиеся колебанияsin(2n − 1)ϕcos γt,sin(2n + 1)ϕsin 2nϕ2k − mγ 2cos γt,=±a2sin(2N + 1)ϕ2k − M γx2n−1 = ax2nгдегде ϕ определяется условиемk sin2 ϕ .γ2 = 4 m2Согласно условию x0 = a cos γt, так что A = a. ПоэтомуxN +1 = Re Aei(γt−(N +1)ϕ) = a cos (γt − (N + 1)ϕ).Поток энергии слева направо равен средней за период работе пружинки, соединяющей (n−1)-ю и n-ю частицы, над n-й частицей (ср.
с зад. 6.9):k1122 22k(xn − xn−1 )ẋn = γa sin ϕ = γ am −γ .22%k бегущей волны не будет.При γ > mв) xn = a7.6]cos(N − n + 1/2)ϕcos γt,cos(N + 1/2)ϕcos2 ϕ =а верхний (нижний) знак отвечает частоте γ, лежащей в области акустических (оптических) собственных частот.Для частот 2k < γ 2 < 2km , лежащих в «запрещённой зоне»,Mch(2n − 1)ψcos γt,ch(2N + 1)ψsh 2nψ2k − mγ 2= (−1)N +n acos γt,2M γ − 2k ch(2N + 1)ψx2n−1 = (−1)N +n ax2nsh2 ψ =(2k − mγ 2 )(M γ 2 − 2k)mγ 2ϕпри γ 2 < 4k=m,24ksh(N − n + 1/2)ψxn = (−1)n acos γt,sh(N + 1/2)ψψmγ 2ch=24kпри γ > 4km.27.6. Если частота вынуждающей силы лежит в области акустическихсобственных частот 0 < γ 2 < 2k или в области оптических собственныхM4k 2,и для частот γ 2 > 2kμ , лежащих выше границы оптической ветви (это тоже«запрещённая зона»),sin22(2k − M γ 2 )(2k − mγ 2 ),4k 2sh(2n − 1)χcos γt,sh(2N + 1)χ2k − mγ 2sh 2nχ= −acos γt,2k − M γ 2 sh(2N + 1)χx2n−1 = ax2nch2 χ =(M γ 2 − 2k)(mγ 2 − 2k),4k 2колебания затухают к левому концу цепочки.244Ответы и решения7.7.7.7](1)решение, устанавливается следующим рассуждением.
Предполагая ϕ маm2лым и сохраняя лишь главные члены, получим из (5) ϕ = mN 1 + 1Nв полном согласии со сделанным предположением.При mN m имеются обычные колебания, характерные для системыиз (N − 1)-й частицы с пружинкой жёсткостью k/2 на правом конце, (па-а) Решение уравнений движенияmẍn + k(2xn − xn−1 − xn+1 ) = 0,n = 1, 2, . . .
, N − 1,mN ẍN + k(2xN − xN −1 ) = 0(2)(дополнительное условие x0 = 0) ищем в виде стоячих волн:xn = A sin nϕ cos(ωt + α),xN = B cos(ωt + α).n = 1, 2, . . . , N − 1,раметр ϕs и частоты ωs определяются из уравнения tg N ϕ = −(3)Из (1) находим связь4k sin2 ϕ = ω 2 .m2(4)ch2A sin N ϕ − B = 0. 2mϕ−A sin(N − 1)ϕ + − mN sin2 + 2 B = 0.2Отсюда B = A sin N ϕ, а параметр ϕ определяется как решение трансцендентного уравнения(5)При mN m, кроме очевидных нормальных колебаний, когда частица mNпочти неподвижна (sin N ϕs 1),x(s)n = 1, 2, . . .
, N,n = As sin nϕs cos(ωs t + αs ),ϕstg N ϕs ≈ m ctg, s = 1, 2, . . . , N − 1,2mN2имеется нормальное колебание, при котором амплитуды частиц линейноубывают к левому концу цепочки,n cos(ω t + α ), ω 2 = k 1 + 1 .)x(N=BNNnNmNNNЧастица mN при этом колеблется между пружинками жёсткости k (справа) и жёсткости k/N (слева). Тот факт, что уравнение (5) имеет подобноеsin ϕ).2 − cos ϕКроме них, существует нормальное колебание, при котором амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки)x(N= (−1)N +n BnИз уравнении (1) и (2), с учетом (3) и (4), получаем систему 4mϕsin N ϕ mN sin2 − 2 + cos ϕ = cos N ϕ sin ϕ.2§ 7.
Колебания линейных цепочек245[7.7sh nψcos(ωN t + αN ),sh N ψψ= m 1,22mN2k .2ωN=mNФормально значение параметра ψ можно получить из уравнения (5), сделавзамену ϕ = π − iψ и предполагая ψ большим. Это нормальное колебаниеможно рассматривать в первом приближении как простое колебание частицы малой массы при покоящихся остальных частицах, а затем рассмотретьдвижение остальных частиц как вынужденные колебания под действиемвысокочастотной силы kxN = kB cos(ωN t + αN ), приложенной к правомуконцу цепочки из N − 1 одинаковых частиц (см. задачу 7.5 а).Заметим, что в этой задаче моделируются колебания примесного атомав кристалле. Если масса атома примеси значительно отличается от массыатомов, образующих кристалл, то частота колебаний, в которых наибольшей амплитудой обладает примесный атом, может попасть в запрещённуюзону, и такие колебания оказываются локализованы вблизи этого атома.б) При kN +1 k решение совпадает с решением задачи 7.2.
ПриkN +1 k имеются нормальные колебания, при которых N -я частица почтинеподвижна:x(s)n = As sin nϕs cos(ωs t + αs ),ϕs ≈ sπ ,N2 ϕsωs2 = 4km sin 2 ,s = 1, 2, . . . , N − 1.Параметр ϕs определяется из уравненияϕ kN +1 2 sin2 −sin N ϕ = cos N ϕ sin ϕ,2k(6)246Ответы и решения[7.8которое в рассматриваемом приближении имеет видtg N ϕ = − k sin ϕ.kN +17.8]В области малых частот γ < ω0 все маятники колеблются в одной фазеF ch(n − 1 )χϕn =Уравнение (6) допускает еще одно решение, которое можно получить, положив ϕ = π − iψ и предполагая ψ большим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
