1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Момент инерции эллипсоида (см. [1], § 32, задача 2e) относительно оси вращения I3 = 2M a2 ; относительно любой перпендикулярной5ей оси, проходящей через центр масс,M (a2 + c2 )I1 =5(M — масса эллипсоида).Налетающая частица массы m M передает эллипсоиду импульсp = (px , py , pz ) = mv(0, −1, 0) и момент импульса M = mv(ρ1 , 0, −ρ2 ).p, найдём (см. [1], § 33В системе, движущейся со скоростьюM +mи [33],§47), что эллипсоид будет вращаться вокруг полуоси c с угловойскоростью5mvρ2M,Ω3 = z = −I32M a2одновременно прецессируя вокруг направления M с угловой скоростью5mv ρ21 + ρ22|M|=.Ω=I1M (a2 + c2 )9.12.
Обозначим угловую скорость вращения диска вокруг его оси ψ̇,угол между этой осью и направлением на север ϕ. Угловая скорость дискав инерциальной системе ω = Ω + ϕ̇ + ψ̇, её проекции: на ось диска ω3 == ψ̇ + Ω cos α cos ϕ, на вертикаль ω1 = ϕ̇ + Ω sin α, на горизонтальную ось,273перпендикулярную оси диска, ω2 = Ω cos α sin ϕ. Функция Лагранжа равнакинетической энергии (учтём, что I1 = I2 ):2где N — неопределимая величина. (Мы ввели N = N − 2mΩ(a4 , b4 , c4 )).l5§ 9.
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчетаИсключив ψ̇, находимE = 1 I1 ϕ̇2 + Uэфф (ϕ) + const,2гдеUэфф (ϕ) = −pψ Ω cos α cos ϕ + 1 I1 Ω2 cos2 α cos2 ϕ.2Ограничимся случаем ψ̇ Ω. Тогда pψ ≈ I3 ψ̇,Uэфф (ϕ) ≈ −pψ Ω cos α cos ϕ.Функция Uэфф(ϕ) имеет минимум при ϕ = 0 (т. е. в направлении на север).Ось гирокомпаса колеблется около этого направления. Для малых колебанийUэфф (ϕ) = 1 I3 ψ̇Ω cos α · ϕ2 + const2и частота колебаний оси равнаI3Ωψ̇ cos α.I1Например, для гироскопа, делающего около 10 тысяч оборотов в минуту,период колебаний приблизительно полминуты (дляI3cos α ∼ 1).I1Каким образом можно учесть момент инерции рамки?274Ответы и решения[9.139.13.
Удобно использовать подвижную систему координат с осью x,проходящей через точку O и через точку касания диска с поверхностьюстола, и вертикальной осью z. Эта система отсчёта вращается вокруг оси zс угловой скоростью ϕ̇.Тогда для проекций на подвижные осиdM + [ϕ̇, M] = K ,(1)iidt iгде M — момент импульса волчка относительно неподвижной точки O, K —момент действующих на него сил.
(ср. [1], § 36, [33], §45). Проекция (1) наось xṀx − ϕ̇My = Kx .Очевидно, My = 0, Kx = 0, так что Mx = const.Пусть I1 = I2 = I3 — главные моменты инерции волчка относительноточки O. В начальный моментM = ΩI3 ,Mx = ΩI3 cos θ.Когда проскальзывание прекратится, ось x станет мгновенной осью вращения, т. е. угловая скорость волчка ω будет направлена вдоль оси x, а Mx == I3 ω cos2 θ + I1 ω sin2 θ. Таким образом,ω=ΩI3 cos θ.I3 cos2 θ + I1 sin2 θОтметим, что после прекращения проскальзывания ϕ̇ = −ω tg θ.9.14.
Пусть a = b = c — полуоси эллипсоида, R, Θ, Φ — сферическиекоординаты центра инерции эллипсоида, θ, ϕ, ψ — эйлеровы углы, причёмось x3 движущейся системы направлена вдоль полуоси c. Кинетическаяэнергия тела (см. [1], § 35)T = m (Ṙ2 + R2 Θ̇2 + R2 Φ̇2 sin2 Θ)+2II+ 1 (ϕ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + 3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 ,22(1)где I1 = I2 = m (a2 + c2 ) и I3 = 2m a2 — моменты инерции эллипсоида55относительно осей x1 , x2 , x3 .9.15]§ 9.
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета275Предложенная потенциальная энергия взаимодействия эллипсоида скулоновским центром может быть преобразована к виду3 cos2 α − 1U = − GmM − GM D ·,4RR3(2)где D = 2(I1 − I3 ), а α — угол между радиусом-вектором R и осью x3 .Единичный вектор e3 , задающий направление этой оси, имеет компоненты e3 = (sin θ sin ϕ, − sin θ cos ϕ, cos θ). Отсюдаcos α =Re3= cos θ cos Θ + sin θ sin Θ sin(ϕ − Φ).R(3)Из (1), (2) и (3) получается окончательное выражение для функции Лагранжа L = T − U .9.15. Рассмотрим вначале влияние только Солнца. Начало системыкоординат совместим с Солнцем, ось X3 (см. обозначения предыдущей задачи) направим перпендикулярно к плоскости орбиты Земли, ось x3 — насевер.Можно ожидать, что угловая скорость прецессии земной оси ϕ̇ малапо сравнению со скоростями суточного ψ̇ и годичного Φ̇ вращения Земли.Поэтому в функции Лагранжа сохраним лишь члены первого порядка по ϕ̇.Кроме того, положим постоянными величины R, Θ = π/2 и Φ̇ и усреднимcos2 α за год: cos2 α = (1/2) sin2 θ.
После этого3GM m(a2 − c2 )sin2 θ.L = 1 I1 θ̇2 + 1 I3 (ψ̇ 2 + 2ψ̇ϕ̇ cos θ) −2220R3Из сохранения pψ = I3 (ψ̇ + ϕ̇ cos θ) и pϕ = I3 ψ̇ cos θ следует, что ψ̇ иθ = 23◦ сохраняются (с точностью до величин порядка ϕ̇). Уравнение движения по углу θI1 θ̈ + I3 ϕ̇ψ̇ sin θ +3GM m(a2 − c2 )sin θ cos θ = 010R3с учетом того, что θ̈ ∼ θ̇2 ∼ ϕ̇2 , даетϕ̇ = − 3GM4R3 ψ̇a 2 − c2cos θ.a2276Ответы и решенияПодставляя[9.162(a − c)a2 − c2≈, а также GM= Φ̇, 2π = 1 год, получаемaa2R3Φ̇ϕ̇ ≈ − 32a − c Φ̇2a ψ̇ cos θ ≈ −16 в год.Скорость прецессии, вызываемой Луной, получается из (2) заменоймассы Солнца M на массу Луны и R — расстоянием от Земли до Луны иоказывается равной −31 в год.
Полная скорость ϕ̇ = −48 в год. Наблюдаемая величина ϕ̇эксп. = −50, 2 в год (см. [24], гл. 2).Таким образом, земная ось вращается вокруг оси X3 с периодом около26 тысяч лет в направлении, противоположном вращению Земли вокругСолнца (так называемое предварение равноденствий).9.16.1 − 1 M M =K ,2 31I2I3Ṁ2 + 1 − 1 M3 M1 = K2 ,I3I11Ṁ3 +− 1 M1 M2 = K3 .I1I2=0ω=M1 = B cos(ωt + ϕ), M2 = B sin(ωt + ϕ), M3 = const,1 − 1 M (см. [1] § 36, [33] § 47, а также ср. с задачей 10.20).3I3I19.17. Рассмотрим движение вокруг оси, близкой к оси инерции x1 .Из уравнении Эйлера (см. [1], формула (36.5))Ω̇1 +I3 − I1Ω2 Ω3 = 0I19.18.Движение шара определяется уравнениямиmv̇ = mg + f ,(1)I ω̇ = [a, f ],(2)v + [ω, a] = 0,(3)(r = b − a, ϕ, z — координаты центра шара, ϕ̇ = vϕ /r).
Из уравненийI ω̇z = afϕ ,vϕ = const,ωz = const,(1)(2)fϕ = 0.Из уравненийmv̇z = −mg + fz ,I(ω̇ϕ + ϕ̇ωr ) = −afz ,(I1 − I3 )(I2 − I1 ) 2Ω1 .I2 I3vϕ + aωz = 0получаемполучаем для s уравнениеs2 =277При I2 < I1 < I3 или I3 < I1 < I2 уравнение (2) имеет действительные корни, что, согласно (1), соответствует неустойчивости вращенияотносительно оси x1 .Если же момент инерции I1 является наибольшим или наименьшим, тоуравнение (2) имеет мнимые корни, т. е. изменение Ω2 и Ω3 имеет характеросцилляций и вращение вокруг оси x1 устойчиво.mv̇ϕ = fϕ ,получаем Ω1 = const с точностью до членов, пропорциональныхΩ2,3 /Ω1 1.
Два других уравнения при этом условии становятся линейными относительно Ω2 и Ω3 . ПредполагаяΩ2,3 ∝ est ,§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчетагде m — масса шара, I = 2 ma2 — его момент инерции, a — радиус ша5ра, проведенный в точку его касания с цилиндром, f — сила, приложеннаяк шару в этой точке (сумма сил реакции и трения), v — скорость и ω —угловая скорость шара.Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами с осью z, направленной по оси цилиндра. При этом необходимо учитывать, что проекция скорости изменения любого вектора A на подвижные оси определяетсяформулами(Ȧ)ϕ = Ȧϕ + [ϕ̇, A]ϕ = Ȧϕ + ϕ̇Ar ,(4)(Ȧ)r = Ȧr + [ϕ̇, A]r = Ȧr − ϕ̇AϕṀ1 +При I1 = I2 , K1,2,39.18]vz − aωϕ = 0,I(ω̇r − ϕ̇ωϕ ) = 0следует(I + ma2 )ω̈ϕ + I ϕ̇2 ωϕ = 0,278Ответы и решенияоткудаωϕ = C cos(Ωt + α),ωr = −5gr+2avϕΩ=Iϕ̇ =I + ma2[9.19§ 9.
Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета279и, подставляя в интеграл энергии, получаем2 vϕ ,7 rM2(MZ − M3 cos θ)2E = 1 (I1 + ma2 cos2 θ)θ̇2 + 3 ++ mga sin θ.22I32I1 sin2 θ7 C sin(Ωt + α),2z = z0 − a C sin(Ωt + α).ΩТаким образом, шар совершает гармонические колебания по высоте,и в такт этим колебаниям изменяется радиальная компонента угловой скорости.9.19. а) В качестве обобщённых координат выбираем координатыX, Y центра и эйлеровы углы ϕ, θ, ψ ([1], § 35). Ось Z вертикальна, подвижная ось x3 направлена по оси диска. Линия пересечения плоскостидиска с плоскостью XY (линия узлов) составляет угол ϕ с осью X. Функция ЛагранжаmẎ = pY ,I1 ϕ̇ sin θ + I3 cos θ (ϕ̇ cos θ + ψ̇) = pϕ ≡ MZ ,Отсюда через квадратуры определяется зависимость θ(t), а затем с помощью (2) зависимость ϕ(t), ψ(t).Угол наклона диска совершает колебания, и в такт с ними изменяютсяскорости прецессии ϕ̇ и вращения вокруг оси ψ̇.
Уравнения (2), (3) подобныуравнениям движения тяжёлого симметрического волчка (см., например,уравнения (4)–(7) из [1], § 35, задача 1).Качение диска устойчиво при Ω23 > mgaI1 /I32 , верчение — при2ΩZ > mga/I1 .б) В отсутствие проскальзывания на диск, кроме сил тяжести mg и реакции опоры R, действует еще сила трения f .УравнениеṀ − [a, R] = [a, f ]ṀZ = fη a cos θ,где I1 = I2 и I3 — моменты инерции диска относительно осей x1 , x2 , x3 ,a — радиус, m — масса диска (высота центра диска над плоскостью Z == a sin θ).Интегралами движения являются обобщённые импульсы2(3)удобно записать в проекциях на оси Z, x3 и ξ (ось ξ — линия узлов)1 :L = m (Ẋ 2 + Ẏ 2 + a2 θ̇2 cos2 θ) + 1 I1 (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ)+22+ 1 I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 − mga sin θ,2mẊ = pX ,9.19](1)Ṁ3 = fξ a,d ∂L − ∂L = f a sin θ.ξdt ∂ θ̇∂θ(4)(5)Здесь a — вектор, проведённый из центра диска в точку его соприкосновения с плоскостью.Запишем уравнениеmV = f + R + mgI3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇) = pψ ≡ M3в проекциях на оси ξ и η, где ось η горизонтальна и перпендикулярна оси ξ(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
