1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 38
Текст из файла (страница 38)
[2], § 53).2p2xp2+ mω (x − x0 )2 + z ,2m22mcpyeB , x =где ω = mc, видим, что для x, px получается такая же функция0eBГамильтона, как для гармонического осциллятора. Поэтому√√p = p0 +F t, x = x0 + A ( p0 + F t− p0 ). Данная функция Га-мильтона приближённо описывает движение заряженного вихревого кольцав жидком гелии при наличии однородного электрического поля вдоль оси x[32].
Характерная особенность такого движения — импульсвихря растёт со√временем, а скорость его движения падает ẋ = A/(2 p0 + F t).10.5.H=x = a cos(ωt + ϕ) + x0 ,px = −mωa sin(ωt + ϕ).Для определения y и z используем уравнения1 p − e Bx = −ωa cos(ωt + ϕ),ẏ = ∂H = myc∂pypzż = m ,откудаpzz = m t + z0 .Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной B. Обобщённыйимпульс py определяет расстояние этой оси от плоскости yz.y = −a sin(ωt + ϕ) + y0 ,10.8. Магнитное поле направлено по оси z и равно 2hx. Движениев направлении оси z равномерное.
Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоскости xy. Функция Гамильтона2p22H = x + 1 py − ehxc2m 2mне зависит от y и t. Поэтому интегралами движения являются обобщённыйимпульс py и энергия E:2py = mẏ + ehc x ,2E = mẋ + Uэфф (x), Uэфф(x) = 122m22x.py − ehc296Ответы и решения[10.810.8]§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона297Для py 0 график Uэфф(x) изображён нарис. 153, а примерный вид траектории — нарис.
154. Следует учесть, что скорость|py |eh x2ẏ = − m − mcвсюду отрицательна и колеблется вблизи значенияpy /m.Рис. 153Рис. 154Рис. 155Для py > 0 график2 2Uэфф(x) = e h 2 (x2 − x20 )2 ,2mcx0 =Рис. 156py cehизображён на рис. 155. Скоростьeh (x2 − x2 )ẏ = mc0при любом значении E принимает как положительные, так и отрицательные значения. Примерный вид траекторий изображён на рис. 156, случаяма–д соответствуют уменьшающиеся значения энергии.При больших энергиях E Um = p2y /2m размах колебаний по оси xвелик и среднее за период значение x2 больше x20 . Поэтому среднее значениеeh (x2 − x2 )ẏ = mc0отрицательно (см. рис.
156, а). При уменьшении энергии ẏ возрастает донуля (рис. 156, б), а затем становится положительным (рис. 156, в). Приэнергии E = Um частица, имеющая в начальный момент x > x0 и ẋ < 0,асимптотически приближается к оси y (рис. 156, г).Наконец, при E < Um частица движется либо в области вблизи (−x0 ),либо в области вблизи x0 (рис. 156, д).Можно показать, что ẏ при этом больше нуля. При |x − x0 | x0частица движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдольоси y. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении x2 учитывать первые ангармонические поправки2x = x0 + a cos ωt − a (3 − cos 2ωt),4x0что даётẏ =(ср. с задачей 8.14).cE2hx20 e298Ответы и решения[10.910.9.
Введя координаты центра масс R и относительного движения r(ср. с задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в видеL = M Ṙ2 + e [B, r] Ṙ + L1 (r, ṙ) + e [B, R] ṙ,22c2cM = m1 + m2 ,(1)10.14]§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки ПуассонаПосле нахождения r(t) закон движения центра масс определяется из уравнения (2)⎤⎡tR(t) = Pt − e ⎣B,r(t) dt⎦ + R0 .MMc010.10.где2L1 (r, ṙ) = m ṙ2 + e [B , r] ṙ + er ,22cm−m21B =Bm2 + m1и m — приведённая масса.Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде10.11.Отбрасывая полную производную по времени, имеемL = M Ṙ2 + ec [B, r]Ṙ + L1 (r, ṙ).2Эта функция Лагранжа не зависит явно от R, поэтому сохраняетсяобобщённый импульс2U = − er + 1 mω 2 [(x − a)2 + (y − b)2 ] + const,2cPycPω = √ eB , a = − x , b =.eBeBc m1 m2ṗ = eE + ec [v, B] .110.12.
а) ε(p) = E, pB = const, где pB — проекция импульса нанаправление магнитного поля B. Траектория в импульсном пространствеопределяется линией пересечения двух поверхностей: ε(p) = E и pB == const.б) Из уравнения движения ṗ = ec [ṙ, B] видно, что проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю B, получается из траектории в импульсном пространстве поворотом на угол π/2вокруг B и изменением масштаба в c раз.eB(2)Отсюда с учётом (2) видно, что частица массы m движется в однородноммагнитном поле B и в силовом поле с потенциальной энергией22U = − er + 1 P − ec [B, r] .2mЕсли направить ось z по B, тоp = p0 + eEt, ε(p) − eEr = ε0 ,(r − r0 )eE = ε(p0 + eEt) − ε(p0 ).Здесь r0 , p0 и ε0 — постоянные.e [B, R] ṙ = e [B, r] Ṙ + d e [B, R]ṙ.2c2cdt 2cP = ∂L = M Ṙ + ec [B, r] = const .∂RФункция Гамильтона системы имеет вид222H = 1 P − ec [B, r] + 1 p − e [B , r] − er .2m2c2M29910.13.T =− ceBdp,|v⊥ |ES=dEEmindp,|v⊥ |T = − ∂S ,∂Eгде v⊥ — ортогональная к B составляющая вектора ∂ε .10.14.а) −eijk xk ,2−k1 Подробнееeijk pk ,k−∂peijk Mk .kо движении электронов в металле (задачи 10.9–10.13) см., например, [18], [25],§ 4.2eijk— полностью антисимметричный тензор,e123 = e231 = e321 = 1,остальные компоненты eijk равны нулю.e132 = e321 = e213 = −1;300Ответы и решения[10.15б) ab,{aM, br} =⎧⎨ai M i ,⎫⎬bj xj=⎭⎩ij=−ai bj eijk xk = −[a, b] r,ai bj {Mi , xj } =10.20]§ 10.
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона30110.19.Полагая во второй формуле предыдущей задачи f = eζ иl = eξ , где eζ и eξ — орты осей ζ и ξ в подвижной системе координат,получим{Mζ , Mξ } = +Mη .(1)ij−[a, b]M.Это равенство отличается знаком правой части от аналогичного соотношения для проекций момента на оси неподвижной системы координатijkв) 0, n r rn−2 , 2a (ar).eijk Ak , {Ai , A4 } = 0, здесь i, j, k принима10.15. {Ai , Aj } = −kют значения 1, 2, 3 (ср. с задачей 10.14 а).{Mz , Mx } = −My .Как было показано в задаче 10.17 (см.
также [4], § 8.7), скобки Пуассона (2)характеризуют изменение компоненты Mx при повороте системы как целого на бесконечно малый угол ε (рис. 157, а)δMx = ε{Mz , Mx } = −εMy .10.16.{Mi , Λjk } = −eijl Λlk −l(2)eikl Λij ,Скобки Пуассона (1), равныеl{eζ M, eξ M} = {Mζ , eξ } M,{Λjk , Λil } = δij Mlk + δik Mlj + δjl Mik + δkl Mij ,где Mkl = pk xl − pl xk10.17.
При повороте системы как целого на бесконечно малый угол εвокруг оси z изменение δϕ любой функции координат и импульсов в первом порядке по ε равнохарактеризуют изменение проекции неподвижного вектора M на ось eξ прибесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси ζ(рис. 157, б; на рисунке оси ξ, η, ζ совпадают до поворота с осями x, y, z).δϕ = ϕ(x−εy, y + εx, z, px −εpy , py + εpx , pz ) − ϕ(x, y, z, px , py , pz ) =#"∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕx−py +px = ε{Mz , ϕ}.=ε − y+∂x∂y∂px∂pyЕсли ϕ — скаляр, то его изменение при повороте равно нулю.
Поэтому{ϕ, Mz } = 0. Если ϕ = fx — компонента векторной функции, то её изменение при повороте δfx = −εfy , значит,{Mz , fx } = −fyилиРис. 157{Mz , f } = [n, f ](ср. [1], § 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона {Mz , Txx }, где Txx —компонента тензорной функции?10.18. [f , aM] = [f , a], {fM, lM} = [f , l] M + Mi Mk {fi , lk }.ik10.20.Ṁα =eαβγ (I −1 )γδ Mβ Mδ , в частности, если выбрать по-βγδдвижную систему так, чтобы тензор инерции I αβ был диагонален, получимуравнения Эйлера (см. [1], § 36 с учетом соотношения Mα = Iα Ωα ).302Ответы и решенияУравнения движенияṀi = {H, Mi } = γeijk Mj Bk ,[10.2110.21.илиṀ = −γ [B, M],10.26]§ 10. Уравнения Гамильтона.
Скобки Пуассона= |ω + γB0 | γB1 они резко возрастают, достигая значений ∼ M0 . В частности, при ω = −γB0Mx = −M0 sin γB1 t sin γB0 t,jkт. е. вектор M вращается с угловой скоростью −γB.а) Вектор M прецессирует вокруг направления B:10.22.Mx = Mx (0) cos γB0 t + My (0) sin γB0 t,My = −Mx (0) sin γB0 t + My (0) cos γB0 t,Mz = Mz (0).б) Вектор M вращается с угловой скоростью −γB, которая в своюочередь вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω. Удобно воспользоваться вращающейся системой отсчёта, в которой вектор B неподвижен.В этой системе компоненты угловой скорости вектора M равныωx = −γB1 ,ωy = 0,ωz = −γB1 − ω ≡ ε.%ε2 + γ 2 B12 ,γB1a= .2ε + γ 2 B12В неподвижной системеMx = Mx cos ωt − My sin ωt,My = Mx sin ωt + My cos ωt,Mz = Mz .При B1 B0 зависимость амплитуд Mx,y от ω носит резонансный характер: вообще говоря, эти амплитуды малы ∼ M0 B1 /B0 , но при |ε| =m ckpt210.23.б)a) p(t) = p + Ft, r(t) = r + m + Ft ;2m10.25.а) Согласно предыдущей задачеdf= {H, f } = ∂H {f, f } = 0.dt∂fMx = −a ε M0 (1 − cos λt),λMy = aM0 sin λt,2Mz = ε 2 + a2 cos λt M0 ,λλ=My = M0 sin γB1 t cos γB0 t,Mz = M0 cos γB1 t.eijk Bk .{vi , vj } = − e2p(t) = p cos ωt − mωq sin ωt,pq(t) = q cos ωt + mω sin ωt.Разумеется, эти величины проще вычислить, не используя скобокПуассона.
Но предложенный метод легко может быть перенесён в квантовую механику (см. [26], § 34).При заданном начальном условии компоненты M во вращающейся системегде303б) Функция ГамильтонаH=p2r+ 1 f (θ, pθ , pϕ ),2m 2mr2гдеf (θ, pθ , pϕ ) = p2θ +p2ϕ+ 2ma cos θ.sin2 θИнтегралы движения: E, pϕ и, согласно предыдущему, f .10.26.а)3{Ai , Aj } = 2Hεijk Mk ,mk=1{Ai , Mj } = −3k=1εijk Ak ;304Ответы и решения[11.1б) {H, J1,2 } = 0, {J1i , J2j } = 0,{J1i , J1j } = −3εijk J1k ,{J2i , J2j } = −k=1311.6]§ 11. Канонические преобразования305Для системы с одной степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.εijk J2k ,k=12H = − mα.4(J21 + J22 )11.5.
Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены ax2 P и bP 3 в производящей функции малы. Чтобыразрешить соотношенияp = P + 2axP,Q = x + ax2 + 3bP 2 ,Векторы J1 и J2 — независимые интегралы движения. Каждый из них имеет такие же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный моментимпульса. Наличие двух таких «моментов» тесно связано с так называемой«скрытой симметрией» атома водорода (см. [27], гл.
I, § 5).определяющие каноническое преобразование, относительно x и p, заменяем в малых членах x на Q и p на P :§ 11. Канонические преобразованияПодобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных:11.1.а)q=2Pmω sin Q,p=Q̇ = ω + ω̇ sin 2Q,2ω√2mωP cos Q,Ṗ = −P ω̇ω cos 2Q.В данном случае P и Q — переменные действие-угол. Эти переменныеудобнее, чем p и q для решения задачи методом теории возмущений, есличастота ω меняется медленно: |ω̇| ω 2 (см. задачу 13.10).б)√F2P sin Q,q=p = 2mωP cos Q,+ mω2mω√Q̇ = ω + Ḟ mω cos Q,Ṗ = Ḟ 2mωP sin Q.2Pp2.11.2. Ψ(p, Q) = −Q 1 + lnp = P + 2aQP,Функция Φ(q1 , q2 , .
. . , qs , P1 , P2 , . . . , Ps ) определяет канони2ческое преобразование, если det ∂ Φ∂qi ∂Pk11.4.= 0.ПустьQ = q cos α − p sin α,P = q sin α + p cos α.Тогда{P, Q}p,q = −{q, p}p,q sin2 α + {p, q}p,q cos2 α = 1.(1)2ω 2 Q2H (Q, P ) = P ++ αQ3 + βQP 2 + 2aQP 2 − aω 2 Q3 −22−3bω 2QP 2 + члены четвертой степени по Q, P.Полагаяα − aω 2 = 0,β + 2a − 3bω 2 = 0,обратим в нуль и члены третьей степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
