1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть x и y — отклонения маятника от положения равновесияв горизонтальном и вертикальном направлениях. Функцию ЛагранжаL = m (ẋ2 + ẏ 2 ) − k ( (l − y)2 + x2 − l0 )2 − mgy22256Ответы и решения[8.6разлагаем в ряд по малым отклонениям до третьего порядка включительноL = m (ẋ2 + ẏ 2 − ω12 x2 − ω22 y 2 + 2αx2 y) + . . . ,2mg,kищем в видеkl0.2ml2Действуя далее так же, как и в задаче 8.1, получаемω12 =l = l0 +x = a cos(ω1 t + ϕ) −+k,ω22 = mα=αabcos(ω1 t + ω2 t + ϕ + ψ)+2ω2 (2ω1 + ω2 )откудаа) Решение уравнения ищем в видеx = Ae+A e.(ω02 − ω 2 + 2iλω + 3β|A|2 )A = 1 f,222h ω22 02− (2ωλ)2 .(5)Из (3) получаем1где A = 1 aeiϕ .а) Решение уравнения колебанийẍ + 2λẋ + ω02 (1 + h cos 2ωt)x + βx3 = 0Зависимость |A| от ω изображена на рис.
145 (для определенностисчитаем β > 0). В некоторых областях частот возможны две или три (считаянулевую) различные амплитуды установившихся колебаний.Амплитуды, соответствующие участкам AD и CD, реально не осуществляются, так как такие колебания неустойчивы (доказательство этого2Исследование этого уравнения, кубического относительно |A| , можно провести подобно исследованию аналогичного уравнения (29.4) в [1].Это уравнение, квадратное относительно ω 2 , так что зависимость |A|22от ω несложно представить графически (см. [33], § 30).(1)(7)Рис. 1452228.7.|A|2 = 1 ω 2 − ω02 ±3βx = a cos(ωt + ϕ),f2.− ω + 3β|A| ) + 4λ ω ]|A| =42 2(4)Итак,откуда2(3)sin 2ϕ = Im A∗ = − 4λ ,Ahω0(6)22h22ωcos 2ϕ = ∓− (2ωλ) .2 0hω0Приравнивая коэффициенты при eiωt , получаем[(ω02(2)2Ангармонические поправки резко возрастают при 2ω1 ≈ ω2 .
Случай2ω1 = ω2 рассмотрен в задаче 8.10.∗ −iωtx = Aeiωt + A∗ e−iωt ,Не равное нулю A возможно при условии$$$$h ω2ω 2 − ω02 − 2iωλ − 3β|A|2 $$02$ = 0,$$$ 2h ω2$$ω − ω02 + 2iωλ − 3β|A|20αabcos(ω1 t − ω2 t + ϕ − ψ),2ω2 (2ω1 − ω2 )iωt257h ω 2 A + (ω 2 − ω 2 − 2iωλ − 3β|A|2 )A∗ = 0,02 0h ω 2 A∗ + (ω 2 − ω 2 + 2iωλ − 3β|A|2 )A = 0.02 02αa2y = b cos(ω2 t + ψ) + αa2 + βb2 +cos(2ω1 t + 2ϕ).22ω22(ω2 − 4ω12 )8.6.§ 8. Нелинейные колебанияпричём сохраняем только члены, содержащие e±iωt .1 Приравнивая нулюкоэффициенты при e±iωt находимгдеg,l8.7]21 Предполагаем, что члены с e±3iωt значительно меньшие, будут компенсированы вкладомв (2) третьей гармоники, как это видно из дальнейшего.1 Формулы (6) определяют фазу с точностью до слагаемого nπ.
Определение фазы сбо́льшей точностью не имеет смысла, так как изменение фазы на π соответствует простосдвигу начала отсчета времени.258Ответы и решения[8.8относительного участка AD см. в следующей задаче, а исследование устойчивости колебаний на участках ABC, CD и DE см. в [8]).б) С учетом третьей гармоники x имеет видx = Aeiωt∗ −iωt+A e+ Be3iωt∗ −3iωt+B e.(8)Мы предполагаем, что |B| |A|, что будет подтверждено результатом.Подставляя (8) в (1), выделим члены, содержащие e3iωt ; при этом опускаемпроизведения B на малые параметры.
Оказывается,βA2 A(9)B= h +168ω 2и, действительно, |B| |A|.Таким образом,x = a cos(ωt + ϕ) + b cos(3ωt + ψ),где b = 2|B|, ψ = arg B.Нетрудно заметить, что пятая гармоника окажется малой второго порядка (∼ h2 A), седьмая — третьего (h3 A) и т. д. Это служит обоснованиемиспользуемого способа вычисления амплитуд.
Чётные гармоники не возникают.8.8.а) Ищем решение уравнения в видеx(t) = a(t) cos ωt + b(t) sin ωt,(1)где a(t) и b(t) — медленно изменяющиеся функции времени. Для определения a(t) и b(t) получаем систему уравнений (см. [1], § 27)hω0 b = 0,ȧ + ω − ω0 +4hω0 a = 0.ḃ − ω − ω0 −4b(t) = α2 (C1 e−st − C2 est ),гдеs = 1 (hω0 )2 − 16(ω − ω0 )2 ,4α1,2 =hω0 ± 4(ω − ω0 ).259Отсюдаx = C est cos(ωt − ϕ) + C e−st cos(ωt + ϕ),(4)где tg ϕ = α1 /α2 (рис. 146).Таким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают. Скорость их роста, характеризуемая величиной s, действительно мала. В реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается,например, если становится существенной роль ангармонических поправок(см. задачу 8.7) или обратное влияние колебаний на устройство, периодически изменяющее частоту.Полезно обратить внимание на аналогию между полученным результатом и особым решением задачи о нормальных колебаниях цепочки частиц,соединенных пружинками различной жёсткости (задача 7.4 в).
Неоднородность с периодом 2a вдоль цепочки приводит к нарастанию вдоль цепочкиамплитуды установившегося колебания, причём «длина волны» равна 4a(рис. 140), подобно тому как периодическое изменение со временем частоты осциллятора приводит к возрастанию со временем амплитуды.Еще более полную аналогию можно обнаружить с задачей 7.6. Областинеустойчивости относительно параметрического резонанса соответствуетзапрещенная зона спектра колебаний цепочки.К подобным же уравнениям приводит в квантовой механике задачао движении частицы в периодическом поле.
В этой задаче также появляются «запрещенные зоны» и «поверхностные состояния»,б) Если |ω − ω0 | > hω0 /4, тоx = Cβ1 sin(Ωt + ψ) cos ωt − Cβ2 cos(Ωt + ψ) sin ωt,где Ω = 1 16(ω − ω0 )2 − (hω0 )2 ,4(2)β1,23 4(ω − ω0 ) ± hω0 при ω > ω0 ,=± 4(ω − ω0 ) ± hω0 при ω < ω0 .Колебания представляют собой биения:x = C 4|ω − ω0 | − hω0 cos(2Ωt + ψ) cos(ωt + θ),Если |ω1 − ω0 | < hω0 /4, то её решениеa(t) = α1 (C1 e−st + C2 est ),§ 8. Нелинейные колебания8.8](3)где θ — медленно меняющаяся фаза (см. рис. 147). Если частота приближается к границе области неустойчивости, то глубина модуляции колебанийприближается к полной, а период их неограниченно растет.Каков вид колебаний при |ω − ω0 | = hω0 /4?260Ответы и решения[8.98.9]261§ 8. Нелинейные колебанияНайдем такую линейную комбинацию (1), чтобы через период 2τ колебаниесохраняло свой вид с точностью до постоянного множителя:(αA + β ∗ B)eiω1 t + (βA + α∗ B)e−iω1 t = μ(Aeiω1 t + Be−iω1 t ),здесь t = t − 2τ ,Рис.
146αA + β ∗ B = μe−2iω1 τ A,βA + α∗ B = μe2iω1 τ B.Рис. 1478.9. Пусть при 0 < t < τ колебание x = eiω1 t . Тогда на отрезкеτ < t < 2τ ,x = aeiω2 t + be−iω2 t ,x(τ − 0) = x(τ + 0),Система (2) имеет нетривиальное решение при условии(α − μe−2iω1 τ )(α∗ − μe2iω1 τ ) − ββ ∗ = 0,откудагде a и b определяются условием «сшивания» при t = τ :μ1,2 = γ ±ẋ(τ − 0) = ẋ(τ + 0),γ 2 − 1,гдеоткудаω1 + ω2 i(ω1 −ω2 )τe,2ω2ω − ω1 i(ω1 +ω2 )τb= 2e.2ω2γ = Re(αe2iω1 τ ) = cos ω1 τ cos ω2 τ −a=x1,2 = A1,2 (eiω1 t + λ1,2 e−iω1 t ),x = αeiω1 t + βe−iω1 t ,λ1,2 = μ1,2ω12 − ω22.2ω1 ω2(1)при 0 < t < τ переходит через период 2τ в колебаниеx(t) = Aeiω1 t + A∗ e−iω1 t ,−α0 < t = t − 2nτ < τ.∗+ (βA + α B)e−iω1 t0 < t < τ,есть сумма x1 (t) + x2 (t) сA(αeiω1 t + βe−iω1 t ) + B(α∗ e−iω1 t + β ∗ eiω1 t ) == (αA + β B)e0 < t < τ,Любое колебание представляет собой суперпозицию колебаний вида x1,2в частности, действительное колебание (только и имеющее непосредственный физический смысл)Aeiω1 t + Be−iω1 tiω1 tβ∗x1,2 (t) = μn1,2 A1,2 (eiω1 t + λ1,2 e−iω1 t ),Ясно, что колебание вида∗e−2iω1 τпереходит вω 2 + ω22sin ω2 τ ,α = e−iω1 τ cos ω2 τ + i 12ω1 ω2β = i sin ω2 τ e3iω1 τω12 + ω22sin ω1 τ sin ω2 τ.2ω1 ω2Через n периодов колебаниеАналогично находим, что при 2τ < t < 3τгде(2).A1 =A∗ − λ2 A,λ1 − λ2A2 =λ1 A − A∗.λ1 − λ2262Ответы и решения[8.10Если γ < 1, то |μ1,2 | = 1 и колебания x1,2 (t) (а с ними и x(t)) остаютсяограниченными.Если же γ > 1, то μ1 > 1, и амплитуда колебаний неограниченновозрастает.
Это и есть случай возникновения параметрического резонанса.Нетрудно убедиться, что при малой разности частот |ω1 − ω2 | ω1 этоусловие выполняется, если частоты близки к πn/τ :|(ω1 + ω2 )τ − 2πn| <8.10]§ 8. Нелинейные колебанияСохраняя только слагаемые с eiωt (соответственно e2iωt ) и пренебрегая|Ä|, |B̈|, получаемω Ȧ − iαBA∗ = 0,(1)4ω Ḃ − iαA2 = 0.Легко видеть, что из (1) следует(ω1 − ω2 )2 τ.ω1 + ω2На рис. 148 (взятом из [20]) показаны области неустойчивости относительно параметрического резонанса.263|A|2 + 4|B|2 = C = const(2)(это закон сохранения энергии) иA∗ 2 B + A2 B ∗ = D = const.(3)ω d |A|2 = iα(A∗ 2 B − A2 B ∗ ).dt(4)Используя (1), находимВозведем (4) в квадрат и учтем (2), (3):d |A|2 2 = − α2 [(A∗ 2 B + A2 B ∗ )2 − 4|A|4 |B|2 ] =dtω2Рис.
1488.10.Уравнения движенияẍ + ω 2 x − 2αxy = 0,ÿ + 4ω 2 y − αx2 = 0.Решение ищем в видеx = Aeiωt + A∗ e−iωt + δx,y = Be2iωt + B ∗ e−2iωt + δy,принимая, что A и B — медленно меняющиеся амплитуды колебаний,а более быстро осциллирующими слагаемыми δx и δy можно пренебречь:|Ä| ω|Ȧ| ω 2 |A|, |B̈| ω|Ḃ| ω 2 |B|, δx ∼ δy |A|.(5)2= α2 [|A|4 (C − |A|2 ) − D2 ].ωУравнение (5), аналогичное закону сохранения энергии для задачи об одномерном движении частицы с координатой |A|2 , удобно исследовать с помощью графика U (|A|2 ) = (|A|2 − C)|A|4 (рис. 149).Видно, что амплитуда |A| испытывает колебания — происходят биения. Зависимость амплитуд |A| и |B| от времени можетбыть выражена через эллиптические функции (мы не будем этого делать).Отметим, что, в отличие от колебаний осцилляторов с линейной связью (заРис.
149дача 6.8), в данном случае от начальныхамплитуд и фаз зависит не только глубинабиений, но и период.Эта задача имеет отношение. например, к связи продольных и изгибных колебаний молекулы CO2 (так называемый резонанс Ферми, см. [21])и к удвоению и делению частоты света в нелинейной оптике (см. [22]).264Ответы и решения8.11.ω2 =[8.11a2 γ 2ga2 γ 2g+ .
При> появляется второе устойчивое2ll2l2l28.15]Ищем закон движения в видеx = X + ξ,положение равновесия — вертикально вверх, частота колебаний около него2 2ω2 =a γg− (см. [1], § 30 задача 1).l2l28.12. 223(ar)2,a) Uэфф = α 2 a6 +mω rr82α2a2 + 3(ar) ,б) Uэфф =2268m(ω − ω0 ) r265§ 8. Нелинейные колебанияy = Y + η,(1)где слагаемые ξ, η описывают быстрое движение по почти круговой орбите, а X, Y — медленное смещение её центра (сравните с [1], § 30). Подставляя (1) в уравнения движения, разлагаем B(X + ξ) по степеням ξ:e B (X)ξ(Ẏ + η̇),Ẍ + ξ¨ = ω Ẏ + ω η̇ + mce B (X)ξ(Ẋ + ξ)˙Ÿ + η̈ = −ω Ẋ − ω ξ̇ − mcrгде ω0 — собственная частота осциллятора.Обратим внимание на то, что зависимость Uэфф ∝ r−6 характерна для межмолекулярных сил.
Если подставить в (1) значения величин1 :α ∼ e2 ∼ (5 · 10−10 ед. СГСЭ)2 , a ∼ 10−8 см, ω ∼ 1016 сек−1 типичныедля атомов, а в качестве массы выбрать массу электрона, m ∼ 10−27 г,то получим Uэфф ∼ 10−59 эрг · см6 /r6 , что по порядку величины близко к правильному значению для ван-дер-ваальсова взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
