1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом случае имеем)x(N= (−1)N +1 BNnsh nψcos(ωN t + αN ),sh N ψkN +1ψ,ch2 =24k2ωN7.8. Пусть ϕn — угол отклонения n-гомаятника от вертикали.a) s-e нормальное колебаниеϕn = As cos n − 1 ψs · cos(ωs t + αs ),2где спектр частот (рис. 141) начинается со значения ω0 = g/l:ψsg 4k+ m sin2,2lψs = πs ,s = 0, 1, 2, . . . , N − 1.Рис. 141Nб) В области собственных частот системы ω0 < γ <ω02 + 4k/mвынужденные колебанияωs2 =F cos[(n − 1 )ψ]ϕn =22kl sin N ψ sinγ2 =g 4kψ+ m sin2 ,2l2χ2kl sin N χ sh2ψ2sin γt;0 < ψ < π.При γ → ωs возникают резонансы, так как sin N ψ → sin N ψs → 0.sin γt;γ2 =g 4k 2 χ− m sh> 0.2lЕсли при этом жёсткость пружин мала+ = ε 1,* 2km ω0 − γ 2kN +1= m ,т. е.
амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки.Каким образом можно получить это последнее колебание, используярезультаты задачи 7.5?247§ 7. Колебания линейных цепочекто амплитуды колебаний быстро убывают к левому концуϕn = ϕN εN −n .В области высоких частот γ > ω02 + 4k/m соседние маятники колеблются в противофазе+*(−1)N −n F sh n − 1 χϕn =2χ2kl sh N χ ch2sin γt,γ2 =g 4k 2 χ+ m ch .2lПри очень высокой частоте mγ 2 /k 1 амплитуды колебаний также быстроубывают к левому концуN −nϕN .ϕn = − k 2mγв) Ясно, что при b − a = 0 все маятники (в линейномприближении)колеблются независимо друг от друга с частотой ω0 = g/l.С ростом параметра b−a пружинки сначала ослабляют возвращающуюв положение равновесия силу тяжести, а затем начинают «расталкивать»соседние маятники, так что малые колебания маятников вблизи вертикалистановятся неустойчивыми.Функция Лагранжа системыL = 1 ml2ϕ̇2n − U,22Nn=1U=2N n=1−mgl cos ϕn +krn2 ,2248Ответы и решения[7.8где удлинение n-й пружинки (принимаем l|Δn | a)2l2 (a2 + 3l2 ) 4Δrn = a2 + 4l2 sin2 n − b ≈ a − b + l Δ2n −Δn ,22a24a3(b − a)klamg ,ϕn − α(2ϕn − ϕn+1 − ϕn−1 ) − 1 ϕ3n + 2β(ϕn − ϕn+1 )3 + 2β(ϕn − ϕn−1 )3 = 0,6(5)что даёт6(4α − 1)ϕ=±.192β − 1(1)3β = 1 α + kbl 3 .124mgaРассмотрим теперь малые колебания вблизи нового положения равновесия (4).
Введём малые смещенияxn = ϕn − ϕn0 ,Уравнения движения в линейном по ϕn приближенииgϕ̈n + [ϕn − α(2ϕn − ϕn+1 − ϕn−1 )] = 0lтогда с точностью до x2n включительно потенциальная энергия (1) равнаU = 1 mgl1 − 1 ϕ2 x2n − (α − 24βϕ2 )(xn − xn+1 )2 + const. (6)22имеют решения в виде бегущих волнСравнивая (1) и (6), легко увидеть, что xn имеет решение такого же вида,как и ϕn (2) с частотамиϕn = Aei(ωt±nψ)(2)Рис.
142gψs 1 − 4α sin2,2lψs = πs ,Ns = 0, 1, . . . , N,илиb−a>mga,4kl(3)колебания неустойчивы — некоторые ωs2 становятся отрицательными. Раньше всех обращается в нуль частота ωN . Ей соответствует ψN = π, т. е.нормальное колебание типа «гармошки», при котором соседние частицыколеблются в противофазе: ϕn = −ϕn−1 .
Естественно поэтому и новоеположение равновесия ϕn0 искать в виде «гармошки»:ϕ10 = −ϕ20 = ϕ30 = −ϕ40 = . . . = −ϕ2N 0 = ϕ.ψs g1 − 1 ϕ2 − 4(α − 24βϕ2 ) sin2.22lОднако теперь для малых ϕ2 < α < 1 все ωs2 положительны (см. (3)):причём частоты ω0 и ωN невырождены, а остальные частоты двукратновырождены.Отсюда видно, что при4α − 1 > 0,nωs2 =с частотами (см.
рис. 142)ωs2 =249∂ϕnС точностью до членов ϕ4n включительноϕ2n − αΔ2n − 1 ϕ4n + βΔ4n + const,U = 1 mgl212α=§ 7. Колебания линейных цепочекЗначение ϕ найдем из условия равновесия ∂U = 0 илиΔn = ϕn − ϕn+1 .n7.8](4)ωs2 >gl24β1−2 2gϕ(4α − 1) > 0,− 4(α − 24βϕ2 ) =2l2т. е. малые колебания вблизи нового положения равновесия (4) устойчивы.Таким образом, с ростом параметра α первоначальная конфигурациявертикальных маятников сменяется «гармошкой».
Такое изменение симметрии подобно изменению симметрии термодинамических систем при фазовых переходах второго рода. Аналогом α при этом является внешний параметр типа температуры, магнитного поля и т. д. (см., например, [23]).Конечно, уравнение (5) может иметь и другие ненулевые решения,√кроме найденного (4). Например, ему удовлетворяет значение ϕn = 6,которое, однако, не является физическим, так как отвечает большим угламотклонения, а само разложение (1) справедливо лишь при малых ϕ.250Ответы и решения7.9.[7.9а) Ток в n-й катушке обозначим q̇n . Функция ЛагранжаN2[L q̇n2 − 1 (qn − qn+1 )2 ] + 1 L0 q̇NL= 1+1 + U q1 cos γt22Cn=1(ток через цепочку Z обозначен q̇N +1 ). Сопротивление R можно ввестив уравнения движения с помощью диссипативной функции2F = 1 Rq̇N+1 .2Уравнения движенияL q̈1 + 1 (q1 − q2 ) = U cos γt,C(1)L q̈n + 1 (2qn − qn−1 − qn+1 ) = 0, n = 2, 3, .
. . , N,CL0 q̈N +1 + 1 (qN +1 − qN ) = Rq̇N +1 .C(2)7.9]§ 7. Колебания линейных цепочекс точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) в задаче 7.4.Кроме того,(7)L1 q̈n + 1 (q1 − q2 ) = U cos γt,CL0 q̈2N +1 + 1 (q2N +1 − q2N ) = −Rq̇2N +1 .(8)CРешение ищем в видеq2n−1 = Aeiγt−i(2n−1)ϕ ,q2n = Beiγt−i2nϕ .(1 − γ 2 /γ12 )A − cos ϕ · B = 0,cos ϕ · A − (1 − γ 2 /γ22 )B = 0,(3)2γ1,2причём можем считать, не ограничивая общности, что −π ϕ π. Из (2),(3) получаем(4)(5)Отсюда1 − cos ϕ 2 LL0 =.γ =2CПоскольку R > 0, должно быть ϕ > 0 — волна бежит в сторону L Rцепочки. Амплитуда может быть определена из уравнения (1).При γ 2 > L C/4 распространение бегущих волн по искусственнойлинии невозможно (ср.
с задачей 7.5 а).б) Уравнения движенияsin ϕR = γ C,L1 q̈2n−1 + 1 (2q2n−1 − q2n−2 − q2n ) = 0, n = 2, 3, . . . , N,C1L2 q̈2n + (2q2n − q2n−1 − q2n+1 ) = 0, n = 1, 2, . . . , N,C=2L1,2 C(10),откудаqn = Re(Aeiγt−inϕ ),4 sin2 (ϕ/2),LC−γ 2 L0 + 1 (1 − e−iϕ ) = iγR.C(9)Не ограничивая общности, считаем −π ϕ π. Из (6)Решение ищем в видеγ2 =251(6)cos2 ϕ = (1 − γ 2 /γ12 )(1 − γ 2 /γ22 ).Пусть, например, γ1 < γ2 . Условия 0 cos2 ϕ 1 выполняются при0 γ γ1 (область «акустических» волн, ср. с задачей 7.4) и приγ2 γ γ12 + γ22 (область «оптических» волн). Вне этой области распространение бегущих волн невозможно (ср.
с задачей 7.6).Из формулы (8)sin ϕR + iγL0 = i − i B eiϕ = i 1 − B cos γ + B.γCγC AγCAA γC(11)Здесь должно быть B sin ϕ > 0. В области γ γ1 амплитуды A и B имеютAодинаковые знаки, так что ϕ > 0. В области γ2 γ γ12 + γ22 , наоборот,B/A < 0 и ϕ < 0. Подставив в (11) значения B/A, cos ϕ и sin ϕ, получаемокончательноL L C γ 2 2 − L1 Cγ 2LL1 + L2 1− 1 2 ·R=, L0 = 1 .22CL1 + L2 2 2 − L2 Cγ 2Отрицательное значение ϕ в области «оптических» колебаний означает, что фазовая скорость бегущей по линии волны направлена от Z-цепочки252Ответы и решения[7.10к источнику напряжения. Групповая же скорость имеет противоположноенаправление (см., например, рис.
137, где vгр7.10.Уравнения колебаний дискретной системы (см. формулу (3)задачи 7.1) преобразуем к видуa xn+1 − xn − xn − xn−1 1 = 0.(1)ẍn − ka maaaNmВеличина ma = N a в пределе имеет смысл линейной плотности стержня ρ.x −xОтносительное удлинение отрезка a, т. е. величинанально действующей на него силеnn−1a, пропорцио-xn − xn−1,aпоэтому в пределе ka имеет смысл модуля упругости стержня κ. Такимобразом, уравнение (1) в пределе переходит в волновое уравнение2∂ 2 x(ξ, t)2 ∂ x(ξ, t)−v= 0,∂t2∂ξ 2(2)где v = κ/ρ имеет смысл фазовой скорости волны.Вместо системы N обыкновенных дифференциальных уравнений мыполучили одно уравнение в частных производных (ср. с задачей 4.29).Отметим, что для данного вывода необходимо важное предположениео том, что функция xn (t) стремится к определенному пределу x(ξ, t), являющемуся достаточно гладкой функцией.7.11.
При малых a можно приближенно представить смещения в видеxn = x(ξ, t),xn±1 = x(ξ ± a, t) = x(ξ, t) ± a3 ∂ 3 x(ξ, t)+ ...±a6∂ξ 3§ 8. Нелинейные колебания253При этом уравнение (2) задачи 7.10 переходит в уравнениеdω(+)∝< 0) (ср. с задаdsчей 7.3). Групповая скорость — это скорость волнового пакета. Если поцепочке движется волновой пакет, то энергия колебаний локализована в области, где волновой пакет в данный момент находится, так что естественно,что групповая скорость определяет поток энергии.F = ka8.1]∂ 2 x − κ ∂ 2 x − κa2 ∂ 4 x = 0.ρ ∂ξ 212ρ ∂ξ 4∂t2В то время, как каждое из уравнений (1) задачи 7.10 содержит смещения трех соседних точек (дальнодействие), уравнение (1) содержит лишьсмещение x в данной точке ξ (близкодействие). Член2 4− κa ∂ x412ρ ∂ξв уравнении (1) соответствует приближенному учету дальнодействия. Этоприводит, в частности, к тому, что появляется зависимость фазовой скорости от длины волны.Подставив в уравнение x = a cos (ωt − kξ), получаем 2 2ωκkav = = ρ 1−.12kПодобные явления, обусловленные проявлением дальнодействия, называют пространственной дисперсией.
Подробнее об учете пространственной дисперсии в колебаниях кристаллов и исследовании уравнения (1) см.,например, [19], гл. 4, § 4.§ 8. Нелинейные колебания8.1.а) Уравнение движенияẍ + ω02 x = −βx3(1)решаем методом последовательных приближений (ср.
с задачей 6.34):x = x0 + δx = Aeiω0 t + A∗ e−iω0 t + δx,где комплексная амплитудаA = 1 aeiϕ .2∂x(ξ, t) a2 ∂ 2 x(ξ, t)+±2∂ξ∂ξ 2«Сила»−βx30 = −βA3 e3iω0 t − 3βA2 A∗ eiω0 t − 3βAA∗2 e−iω0 t − βA∗3 e−3iω0 t(2)254Ответы и решения[8.1содержит резонансные слагаемые−3βA2 A∗ eiω0 t − 3βAA∗2 e−iω0 t = −3β|A|2 x,которые удобнее присоединить к слагаемому ω02 x в левой части (1). Этоприводит к заменеω02 → ω 2 = ω02 + 3β|A|2 .Для δx получаем уравнениеδẍ+ω δx = −β(A e23 3iωtβA3 3iωte+ компл. сопряж.8ω 2x = a cos(ωt + ϕ) +βa3cos(3ωt + 3ϕ),32ω 2ω = ω0 +Рис.
144В следующем приближении в «силе» −α(x0 + δx)2 нужно учитыватьслагаемое −2αx0 δx, содержащее резонансные члены2224α2 |A|2x = 10α2 |A|2 x.− 2α2 A2 A∗ eiω0 t − 2α2 AA∗2 e−iω0 t +23ω03ω0ω03ω0Это приводит к замене2 2ω0 → ω0 − 5α a3 .12ω08.2.x = a cos ωt − 1 γa2 cos 2ωt + 1 γa2 ,8.3.ϕ=44ω = ω0 +γ 2 a 2 ω0.16aΩ2 cos Ωt +a2 Ω4sin 2Ωt (обозначенияg − lΩ212(g − lΩ2 )(g − 4lΩ2 )задачи 5.9).Итак,Рис. 143255§ 8. Нелинейные колебания+ компл. сопряж.),откудаδx =8.5]x = x(0) + x(1) + . . .,x(0) =3βa28ω0(ср.
с [1], § 28 и [33], § 29.1). На рис. 143изображены графики x(t).При β > 0 происходит ограничениеколебаний, при β < 0 максимумы становятся более острыми. Эти особенности колебаний и знак поправки к частоте нетрудно усмотреть из графика U (x). Другие способы решения см. в задачах 1.9 и 11.25 в.б) Решая задачу тем же способом, чтои в пункте а), получаем:2∗22α|A|2+ αA 2 e−2iω0 t ,δx = αA2 e2iω0 t −23ω0ω03ω0т.
е.22x=a cos(ω0 t + ϕ) − αa2 + αa2 cos(2ω0 t + 2ϕ).2ω06ω0Искажение колебаний несимметрично (рис. 144).8.4.x(1) = −−f1 cos ω1 tf2 cos ω2 t+,m(ω02 − ω12 ) m(ω02 − ω22 )αf12αf22−−2mω02 (ω02 − ω12 )22mω02 (ω02 − ω22 )2αf12 cos 2ω1 tαf22 cos 2ω2 t−−2m(ω02 − 4ω12 )(ω02 − ω12 )22m(ω02 − 4ω22 )(ω02 − ω22 )2−m[ω02−αf1 f2 cos(ω1 − ω2 )t−− (ω1 − ω2 )2 ](ω02 − ω12 )(ω02 − ω22 )αf1 f2 cos(ω1 + ω2 )tm[ω02− (ω1 + ω2 )2 ](ω02 − ω12 )(ω02 − ω22 ).Какие комбинационные частоты возникают при учете ангармонической поправки δU =mβx4?48.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
