1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ПолучаемδL1 = 1 δm1 q̇12 + 1 δm2 q̇22 + 1 (δm1 + δm2 )(q̇32 + q̇42 ).448Функция Лагранжа L + δL1 , как и функция Лагранжа исходной системы,разделяется на слагаемые, каждое из которых содержит только одну из координат ql . Координаты ql остаются, таким образом, нормальными, а длявычисления поправок к частотам можно воспользоваться формулой (4) иззадачи 6.34:δω1 = −ε1ω ,4 1δω2 = −δω4 = 0,ε2ω ,4 3δω3 = −ε1 + ε2ω3 ,8δmεi = m i .Все собственные частоты системы стали различными, исчезла неоднозначность выбора векторов нормальных колебании: с точностью до εi это векторы (1) из задачи 6.21.Интересно, что при δm1 = δm2 частоты ω1 + δω1 и ω2 + δω2вновь совпадают друг с другом (с точностью до поправок второго порядка|δω1 − δω2 | ∼ ε21 ω1 ).
В этом случае функция Лагранжа L + δL1 снова приводит к неоднозначному выбору векторов нормальных колебаний. Однаков точном решении задачи при δm1 = δm2 векторы нормальных колебанийимеют вид⎛⎞⎞⎛ ⎞⎛111⎜ 1 ⎟⎟⎜1 ⎟⎜−1⎜⎟⎟⎜ ⎟⎜ √⎝−1 − ε⎠ , ⎝∓ 1 + ε + 9ε2 ± 3ε⎠ , ⎝1⎠√−1 − ε1± 1 + ε + 9ε2 ∓ 3ε218Ответы и решения[6.42и при малых ε близки к векторам (2) задачи 6.21 (с точностью до опущенных здесь нормировочных множителей). Резкое изменение вида нормальных колебаний происходит в очень узком интервале изменения масс|δm1 − δm2 | ε2 m (ср. с задачей 6.5 а). Для определения векторов нормальных колебаний в этом интервале значений δm1 , δm2 можно былобы воспользоваться следующим приближением в методе последовательныхприближений.6.43 а.
Очевидно, движения частиц в направлении осей AA и BBнезависимы. Будем рассматривать движение в направлении оси AA.Для первой и четвертой частиц положительными считаем отклонениявлево, для второй и третьей — вправо. Согласно результату задачи 6.39 нормальные колебания r = (x1 , x2 , x3 , x4 ) могут быть выбраны симметричными или антисимметричными относительно осей AA и BB. Для симметричного относительно оси AA колебания x1 = x4 , x2 = x3 . Если к тому жеэто колебание симметрично относительно оси BB, то x1 = x2 , x3 = x4 , такчто для этого дважды симметричного колебания имеем rss = (1, 1, 1, 1)qss .Для колебания, симметричного относительно оси AA и антисимметричного относительно оси BB, имеем x1 = x4 , x2 = x3 и x1 = −x2 ,x4 = −x3 , так чтоrsa = (1, −1, −1, 1)qsa .Подобным же образом находимras = (1, 1, −1, −1)qas ,6.42]2196.43 б.
Соображения симметрии позволяют свести эту систему с7 степенями свободы к нескольким простым (не более чем с двумя степенями свободы) системам. Действительно, вследствие симметрии системыотносительно плоскости, перпендикулярной плоскости весов, все нормальные колебания могут быть выбраны либо симметричными, либо антисимметричными относительно этой плоскости. Далее, нормальные колебанияразделяются на выводящие частицы из плоскости весов и сохраняющиевесы плоскими. Рассмотрим эти последние колебания.Пусть α, β и γ — углы отклонения от вертикали центра рамки, нитиBA и нити DE соответственно.
Кромеочевидного симметричного колебания α = 0, β = −γ с частотой g/3l имеется два антисимметричныхколебания, для которых β = γ. Так как вклады различных нормальныхколебаний в функцию Лагранжа аддитивны, то для нахождения антисимметричных колебаний достаточно знать лишь слагаемоеLa = ml2 (2α̇2 + 9β̇ 2 + 3α̇β̇) − mgl(α2 + 3β 2 ),отвечающее данному типу колебаний.
В итоге получаем два антисимметричных колебания:α=β=γсчастотой2g/7l и α = −3β = −3γс частотой 2g/3l.Для описания колебаний, выводящих частицы из плоскости весов, используем декартовы координаты отклонения частиц от положения равновесия в направлении оси x, которую направим перпендикулярно равновеснойплоскости весов. Очевидно, что симметричные колебанияraa = (1, −1, 1, −1)qaa .Аналогично находятся векторы нормальных колебаний в вертикальном направлении.Частоты колебаний можно найти, подставив найденные векторыв уравнения движения.При наличии вырождения, кроме найденных нормальных колебаний,существует множество нормальных колебаний, не обладающих указанными свойствами симметрии.
Нетрудно сообразить,например, что частоты ssи aa колебаний совпадают ωss = ωaa = 2 k/m, если натяжение пружинокне произвольно, а равно kl (где l — длина каждой из пружинок в положенииравновесия). Но тогда нормальным колебанием будет любая суперпозициявекторов raa и rss , например вектор (1, 0, 1, 0)qss .Аналогично можно найти векторы нормальных колебании в направлении оси BB.§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыxA = xE ,xB = xDсовпадают с колебаниями двойного плоского маятника1 , поэтому√ g√, xA = (6 ± 37)xB .ωs2 = 7 ∓ 373lСреди двух антисимметричных колебанийxA = −xE ,xB = −xDодно очевидное — вращение весов вокруг вертикальной оси: xA = xB .Другое антисимметричное колебание ортогонально к указанному и потому1 см.[1], задача 2 к § 23 с параметрами2xBx − xBm1 = m2 = 2m, l1 = l , l2 = 3l, ϕ1 =, ϕ2 = A.2l3l220Ответы и решения[6.44для него xA = −xB = xD = −xE .
Но при таком колебании центр каждойнити в первом приближении не смещается, следовательно, частота такихколебаний совпадает с частотой маятника длиной 3l/2, т. е. равна 2g/3l.6.44. Очевидно, колебания в направлениях AA, BB и в направлении,перпендикулярном плоскости рамки, независимы. Рассмотрим, например,первые.Компоненты вектора колебания удобно размещать в таблице, соответствующей форме рамки. Для частиц, расположенных слева от оси BB,положительными считаем отклонения влево, для частиц, расположенныхсправа — вправо. Колебание ss, симметричное относительно обеих осей AAи BB, имеет видx X X x.x X X xКолебания x, X сводятся к колебаниям системы, рассмотренной в задаче 6.7 с m1 = m, m2 = M , где следует положить k1 = k + k , k2 = k,k3 = 2k + k , k = f /l.
Таким образом, имеется два ss колебания.Колебания sa, симметричные относительно оси AA и антисимметричные относительно оси BB, имеют видx X −X −x,x X −X −xпричём теперь k3 = k , k1 = k + k .Аналогично для as- и aa-колебаний:xXXx, k1 = k + 3k , k3 = 2k + 3k ,−x −X −X −xxX −X −x, k1 = k + 3k , k3 = 3k .−x −X XxПодобным же образом можно найти остальные шестнадцать нормальных колебаний.6.45.В обозначениях предыдущей задачи вектор силы−k − k , −k , k , k + k a cos γt.−k − k , −k , k , k + k 6.46]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы221Он ортогонален всем нормальным колебаниям, кроме симметрично-антисимметричных (sa). Поэтому резонанс возникает лишь при двух частотахsaγ = ω1,2, где3f(M + m)±l⎫2⎬f±k(2M − m) + (M − m) + 4k 2 M m .⎭lsa 2(ω1,2)= 12mMk(2M + m) +6.46.Линейная молекула C2 H2 имеет всего семь нормальных колебаний: три продольных колебания и по два изгибных колебания в двухвзаимно перпендикулярных плоскостях (см., например [1], § 24).Задача об определении двух симметричных продольных колебанийx1 = −x4 , x2 = −x3 сводится к задаче 6.7 с параметрами k2 = kHC , k3 == 2kCC , k1 = 0, где kHC и kCC — жёсткости связей HC и CC.
Антисимметричное продольное колебание x1 = x4 , x2 = x3 , mH x1 + mC x2 = 0 имеетkHC (mH + mC )(такую же, как и «молекула» CH). Заметим,частоту ωa1 =mH mCчто продольное смещение молекулы как целого x1 = x2 = x3 = x4 можно рассматривать как второе антисимметричное колебание, причём условиеортогональности к нему первого антисимметричного колебания совпадаетс условием равенства нулю полного импульса молекулы.Поперечное симметричное колебание y1 = y4 , y2 = y3 ,mH y1 + mC y2 = 0,2ωs3=kHCC (mH + mC ).2lHCmH mCЗдесь kHCC — жёсткость молекулы при изгибе: при изгибе связи HCC наугол δ потенциальная энергия возрастает на kHCC δ 2 /2.Поперечное антисимметричное колебание y1 = −y4 , y2 = −y3 ,mC lCC y2 + mH (lCC + 2lHC )y1 = 0,2ωa2=2+ mH (2lHC + lCC )2 ]kHCC [mC lCC2 2mH mC lHClCC,где lHC и lCC — равновесное расстояние между атомами H–C и C–C соответственно.
Отметим, что соотношение между смещениями атомов этого222Ответы и решения[6.476.48]§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы223колебания может быть найдено из условия равенства нулю полного момента импульса молекулы (или ортогональности вектору чистого вращениямолекулы как целого y1 = −y4 , y2 = −y3 , y2 (2lHC + lCC ) = y1 lCC , котороеможно рассматривать как второе антисимметричное колебание).6.47.
Обозначим отклонения частиц от положения равновесия в направлении BD через x1 и x2 , а в направлении CF — через y1 и y2 . Поворотвокруг оси симметрии CF на 180◦ приводит к заменам:x1 −x2 ,Рис. 130y1 y2 ,т. е. преобразование Ŝ поворота вектора колебания r = (x1 , y1 , x2 , y2 ) имеет видŜr = (−x2 , y2 , −x1 , y1 ).Вследствие симметрии системы в ней возможны нормальные колебаниядвух видов: rs — симметричные относительно оси CF , для которыхŜrs = rs , и антисимметричные ra , для которых Ŝra = −ra .
Для симметричного колебания (−x2 , y2 , −x1 , y1 ) = (x1 , y1 , x2 , y2 ), откудаrs = (x, y, −x, y).Аналогичноra = (x, y, x, −y).(Для антисимметричного колебания поворот вокруг оси симметрии равносилен изменению фазы колебания на π.)Возможны два симметричных и два антисимметричных колебания; дляопределения частот и векторов каждой пары колебаний достаточно использовать два уравнения движения.Можно получить еще некоторые сведения о виде нормальных колебаний, не зная жёсткостей пружинок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
