1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (829487), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Повторяя подобные рассуждения для случаев, когда покоится вторая или третья частица, получаем,что при вырождении частот коэффициенты ki с необходимостью удовлетворяют условию(5)m1 k1 = m2 k2 = m3 k3 .fa3 ;klb4 = kl a4 .f6.29. В данном случае ответ может быть получен простым обобщением результатов задачи 6.20 без явного вычисления собственных частот ωi .Пусть в системе имеется вырождение: ω1 = 0, а ω2 = ω3 . Частотеω1 = 0 отвечает вращение частиц по кольцу⎛ ⎞1r1 = ⎝1⎠ (Ct + C1 ).1С другой стороны, из приведенных рассуждений видно, что (5) являетсяи достаточным условием вырождения частот. В самом деле, если выполнено условие (5), то в системе существуют три различных нормальных колебания с частотами, отличными от нуля. Из этих трех колебаний в силу (2)лишь два линейно независимы. Отсюда однозначно следует, что эти триколебания имеют одну и ту же частоту.Таким образом, (5) является необходимым и достаточным условиемвырождения частот.Из-за вырождения частоты ω2 любой вектор⎛ ⎞A1r1 = ⎝A2 ⎠ cos(ωt + ϕ),A36.30.Для решения удобно воспользоваться методом, изложеннымв задаче 6.27.а) Нормальные колебания⎛ ⎞⎛ ⎞11r1 = ⎝1⎠ (C1 t + C2 ), r2 = ⎝−1⎠ A2 cos(ω2 t + ϕ2 ),10⎛ ⎞1(1)r3 = ⎝ 1⎠ A3 cos(ω3 t + ϕ3 ),−2(1)удовлетворяющий условиюm1 A1 + m2 A2 + m3 A3 = 0,(2)представляет собой нормальное колебание с частотой ω = ω2 .
(Равенство (2) есть условие ортогональности вектору r1 в метрике, определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии — см. задачу 6.22). В частности, можно выбрать такое нормальное колебание (1),чтобы первая частица покоилась:A1 = 0,m2 A2 + m3 A3 = 0.Подставляя (3) в уравнения движения(m1 ω 2 − k2 − k3 )A1 + k3 A2 + k2 A3 = 0,k3 A1 + (m2 ω 2 − k1 − k3 )A2 + k1 A3 = 0,k2 A1 + k1 A2 + (m3 ω 2 − k1 − k2 )A3 = 0,(3)(3 + 2ε)k,mε = δkkблизки при малых ε к колебаниям (6) задачи 6.18 — амплитуды векторов колебаний совпадают, однако частоты различны. Поэтому, если в задаче 6.18любая суперпозиция векторов r2 и r3 давала также нормальные колебания,теперь выбор вектора r2 и r3 вполне однозначен.б) Нормальные колебания⎛ ⎞⎛ ⎞11r1 = ⎝1⎠ (C1 t + C2 ), r2 = ⎝−1⎠ A2 cos(ω2 t + ϕ2 ),(2)10ω22 =ω32 = 3km,204Ответы и решения⎛⎜r3 = ⎝11− 21+ε[6.31⎞⎟⎠ A3 cos(ω3 t + ϕ3 ),ṙ(0) = ṙ1 (0) + ṙ2 (0) + ṙ3 (0).(2)ω32 =1(2)Из системы уравнений (1) и (2) получим следующие значения констант:A2 = A3 = a/2, C1 = C2 = ϕ2 = ϕ3 = 0 или⎛⎞εω t⎞⎛cos 3 cos ω3 tcos ω2 t + cos ω3 t6⎜⎟⎟.εω3 tr = a ⎝− cos ω2 t + cos ω3 t⎠ ≈ a ⎜sinωtsin⎝3 ⎠26−2 cos ω3 t− cos ω3 tТаким образом, движение частиц 1 и 2 имеет характер биений, частотакоторых определяется возмущением δk, а частица 3 участвует в простомколебании с частотой ω3 .
Подчеркнем, что даже очень малая добавка δkприводит к накапливающимся изменениям, которые для достаточно больших времен становятся существенными (ср. с задачей 2.36).а), б)⎛ ⎞1⎜−1⎟⎟r1 = ⎜⎝−1⎠ q1 (t),1⎛⎞1⎜ 1⎟⎟r2 = ⎜⎝−1⎠ q2 (t),−1⎛r3,4⎞1⎜∓1⎟⎟=⎜⎝ 1⎠ q3,4 (t);∓1в) то же, что и в задаче 6.21, формула (1).6.33.ε1 − ε2 ± ε21 + ε22 − ε1 ε2b2,3,a2,3 =ε1 + ε2 ∓ ε21 + ε22 − ε1 ε2%k222ω2,3 ≈ m 3 − ε1 − ε2 ∓ ε1 + ε2 − ε1 ε2 ,x1,2 = −x3,42k + 2δkt + a cosm2= ± a cos2%2k t;mколебания частиц имеют характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).εi⎛δm= mi .⎞aа) Вектор начального смещения r(0) = ⎝ 0⎠ представляем−aв виде суперпозиции векторов ri (см.
формулу (1) предыдущей задачи),взятых в начальный момент времени t = 0:6.31.r(0) = r1 (0) + r2 (0) + r3 (0).2056.32.близки к суперпозициинормальных колебаний (6) задачи 6.18.⎛ ⎞1в) r1 = ⎝1⎠ (C1 t + C2 ),1⎧⎛ ⎞⎛ ⎞⎫0−2 ⎬⎨r2,3 = a2,3 ⎝ 1⎠ + b2,3 ⎝ 1⎠ cos(ω2,3 t + ϕ2,3 ),⎭⎩−11где§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыАналогично представим вектор начальной скорости3+ε k, ε = δmm1+εmблизки при малых ε к колебаниям (6) задачи 6.18. Если перегрузок былдобавлен к частице 2, то нормальные колебания⎛ ⎞⎛ ⎞11r1 = ⎝1⎠ (C1 t + C2 ), r2 = ⎝ 0⎠ A2 cos(ω2 t + ϕ2 ),1−1⎛⎞1⎜− 2 ⎟r3 = ⎝ 1 + ε ⎠ A3 cos(ω3 t + ϕ3 ),ω22 = 3km,6.34](1)6.34.
Можно ожидать, что изменения частот и векторов нормальныхколебаний окажутся малыми, и воспользоваться методом последовательных приближений. Удобно перейти к нормальным координатам исходнойсистемы (см. задачу 6.24) (l)Ai ql .xi =lПри этом δL принимает видδL = 1(δMls q̇l q̇s − δKls ql qs ),2l,s(1)206Ответы и решениягдеδMls =(l)(s)δmij Ai Aj ,δKls =i,j[6.34(l)(s)δkij Ai Aj ,(2)i,j(3)Предполагая, что в нулевом приближении возбуждено только колебание qn ,можем оставить в правых частях уравнения (3) только слагаемые с s = n.Для определения добавки к частоте ωn достаточно выписать одно уравнение (с l = n):(Mn + δMnn )q̈n + (Mnn ωn2 + δKnn )qn = 0,откудаMnn ωn2 + δKnn,Mn + δMnnδKnnω δMnn− n.2ωn Mn2Mn(5)Ясно, что сказанное относится и к случаю ωp ≈ ωn .Итак, для определения поправок ко всем собственным частотам (включая и вырожденные) в добавке (1) к функции Лагранжа можно отброситьвсе члены, содержащие произведения нормальных координат, относящихсяк различным частотам исходной системы.6.35.
Используем обозначения и результаты задач 6.27 и 6.34. Яснозаранее, что δω1 = 0. Для остальных частот(rn )i δmij (rn )jωn i,jδωn = −, n = 2, 3, 4.(1)2(r ) m (r )n iijn ji,jтак чтоδωn =207в этом случае нужно использовать уравнения (3) совместно с l = n, p,оставив в правых частях только слагаемые с s = n, pMp (q̈p + ωp2 qp ) = −δMpn q̈n − δMpp q̈p − δKpn qn − δKpp qp .s(ωn + δωn )2 =§ 6.
Малые колебания систем с несколькими степенями свободыMn (q̈n + ωn2 qn ) = −δMnn q̈n − δMnp q̈p − δKnn qn − δKnp qp ,а уравнения движения(δMls q̈s + δKls qs ).Ml (q̈l + ωl2 ql ) = −6.36]Матрица кинетической энергии mij диагональна, причём(4)Уравнения с l = n позволяют найти поправки к вектору нормального колебания. При этом правые части уравнений можно рассматривать как заданные силы частоты ωn . Возбуждение колебаний ql , как мы и ожидали,оказывается слабым, так как эти «силы» малы.Можно получить и следующие приближения, уточняющие поправкик ωn и векторам нормальных колебаний (см., например, [13], гл. 1, § 5).Полезно заметить, что величина δMnn в (2) представляет собой добавку к удвоенной кинетической энергии системы при условии, что скорости(n)ẋi = Ai .
Отсюда следует, в частности, что при увеличении масс частицδMnn 0 и, согласно (4), δωn 0. Подобным же образом легко видеть, чтопри увеличении коэффициентов жёсткости пружинок собственные частотымогут только возрастать (ср. [6], § 24; [15]).Важно понять, что изменится когда мы ищем поправку к вырожденнойчастоте (пусть ωp = ωn ).
В этом случае «сила» в правой части уравнений (3)оказывается резонансной. Поэтому координата qp возрастает со временем,и её тоже нужно учитывать в правых частях уравнений (3). Таким образом,m11 = m22 = m33 = m,m44 = 2m.(2)Матрица δmij имеет единственный отличный от нуля элементδm11 = δm.(3)Подставляя в (1) выражения (2) и (3), а также компоненты векторов нормальных колебаний rn , найденные в задаче 6.27, получим√3∓ 5εω3,4 .δω2 = − 1 εω2 , δω3,4 = −4406.36.Векторный потенциал выбираем в видеA = B (−y, x, 0),2функция Лагранжа++ mωB**(xẏ − y ẋ),L = m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 − m ω12 x2 + ω22 y 2 + ω32 z 2 +222208Ответы и решения[6.36eB . Для x и y получаем уравнениягде ωB = mcẍ + ω12 x − ωB ẏ = 0,ÿ + ω22 y + ωB ẋ = 0.Удобно искать колебания в видеx = Re(AeiΩt ),6.36]Привести функцию Лагранжа к диагональному виду с помощью линейногопреобразования только координат невозможно, так как переход к нормальным координатам связан в этом случае с каноническим преобразованием(см.
задачи 11.7–11.9).а) Если магнитное поле мало́, ωB ω1 − ω2 , то эллипсы нормальныхколебаний сильно вытянуты, а частотыy = Re(BeiΩt ).Система уравнений(ω12 − Ω2 )A − iωB ΩB = 0,iωB ΩA + (ω22 − Ω2 )B = 0приводит к колебаниям*+x = Re Ak eiΩk t = ak cos(Ωk t + ϕk ),#"− iωB Ωk iΩk tω Ωke= ak 2 B 2 sin(Ωk t + ϕk ),y = Re Ak 2ω2 − Ω2kω 2 − ΩkAk = ak eiϕk ,k = 1, 2,с частотами%22 )2 − 4ω 2 ω 2Ω21,2 = 1 ω12 + ω22 + ωB± (ω12 + ω22 + ωB,1 22для которых справедливо соотношениеΩ1 Ω2 = ω 1 ω 2 .Пусть для определенности ω1 > ω2 , ωB > 0. Тогда первое из найденных колебаний представляет собой движение по эллипсу с большой осью,направленной вдоль оси x, по часовой стрелке, а второе — по эллипсу сбольшой осью, лежащей вдоль оси y, в обратном направлении.Движение вдоль оси z оказывается гармоническим колебанием, не зависящим от магнитного поля,z = a3 cos(ω3 t + ϕ3 ).Свободное движение осциллятора представляет собой суперпозицию найденных колебаний.
Эти колебания можно назвать нормальными, обобщаятем самым понятие нормального колебания: движения в направленияхосей x и y происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз.209§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободыΩ1,2 ≈ ω1,2 ±2ω1,2ωB2(ω12 − ω22 )близки к ω1,2 . Траектория осциллятора без магнитного поля заполняет прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат (см. задачу 6.4);влияние слабого магнитного поля приводит только к небольшой деформации области, заполняемой траекторией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
